Theorem grplid 13744

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	|- B = ( Base ` G )
grplid.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplid.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplid	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13720	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpbn0.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grplid.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4		grplid.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
5	2, 3, 4	mndlid 13648	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )
6	1, 5	sylan 283	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   0gc0g 13469   Mndcmnd 13629   Grpcgrp 13713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716

This theorem is referenced by:  grplidd  13746  grprcan  13750  grpid  13752  isgrpid2  13753  grprinv  13764  grpinvid1  13765  grpinvid2  13766  grpidinv2  13771  grpinvid  13773  grpressid  13774  grplcan  13775  grpasscan1  13776  grpidlcan  13779  grplmulf1o  13787  grpidssd  13789  grpinvadd  13791  grpinvval2  13796  grplactcnv  13815  imasgrp  13828  mulgaddcom  13863  mulgdirlem  13870  subg0  13897  issubg2m  13906  issubg4m  13910  isnsg3  13924  nmzsubg  13927  ssnmz  13928  eqger  13941  eqgid  13943  qusgrp  13949  qus0  13952  ghmid  13966  conjghm  13993  abladdsub4  14031  ablpncan2  14033  ablpnpcan  14037  ablnncan  14038  rnglz  14089  rngrz  14090  ringlz  14187  ringrz  14188  lmod0vlid  14466  lmod0vs  14469  psr0lid  14837