Theorem grplid 13106

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	|- B = ( Base ` G )
grplid.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplid.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplid	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 13082	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpbn0.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grplid.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4		grplid.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
5	2, 3, 4	mndlid 13019	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )
6	1, 5	sylan 283	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( .0. .+ X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   Mndcmnd 13000   Grpcgrp 13075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078

This theorem is referenced by:  grplidd  13108  grprcan  13112  grpid  13114  isgrpid2  13115  grprinv  13126  grpinvid1  13127  grpinvid2  13128  grpidinv2  13133  grpinvid  13135  grpressid  13136  grplcan  13137  grpasscan1  13138  grpidlcan  13141  grplmulf1o  13149  grpidssd  13151  grpinvadd  13153  grpinvval2  13158  grplactcnv  13177  imasgrp  13184  mulgaddcom  13219  mulgdirlem  13226  subg0  13253  issubg2m  13262  issubg4m  13266  isnsg3  13280  nmzsubg  13283  ssnmz  13284  eqger  13297  eqgid  13299  qusgrp  13305  qus0  13308  ghmid  13322  conjghm  13349  abladdsub4  13387  ablpncan2  13389  ablpnpcan  13393  ablnncan  13394  rnglz  13444  rngrz  13445  ringlz  13542  ringrz  13543  lmod0vlid  13817  lmod0vs  13820