Theorem ablnsg 13670

Description: Every subgroup of an abelian group is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ablnsg	|- ( G e. Abel -> (NrmSGrp ` G ) = (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem ablnsg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3	1, 2	ablcom 13639	. . . . . 6 |- ( ( G e. Abel /\ y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) )
4	3	3expb 1207	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) )
5	4	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. x <-> ( z ( +g ` G ) y ) e. x ) )
6	5	ralrimivva 2588	. . 3 |- ( G e. Abel -> A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( y ( +g ` G ) z ) e. x <-> ( z ( +g ` G ) y ) e. x ) )
7	1, 2	isnsg 13538	. . . 4 |- ( x e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( x e. (SubGrp ` G ) /\ A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( y ( +g ` G ) z ) e. x <-> ( z ( +g ` G ) y ) e. x ) ) )
8	7	rbaib 923	. . 3 |- ( A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( y ( +g ` G ) z ) e. x <-> ( z ( +g ` G ) y ) e. x ) -> ( x e. (NrmSGrp ` G ) <-> x e. (SubGrp ` G ) ) )
9	6, 8	syl 14	. 2 |- ( G e. Abel -> ( x e. (NrmSGrp ` G ) <-> x e. (SubGrp ` G ) ) )
10	9	eqrdv 2203	1 |- ( G e. Abel -> (NrmSGrp ` G ) = (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909  SubGrpcsubg 13503  NrmSGrpcnsg 13504   Abelcabl 13621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-subg 13506  df-nsg 13507  df-cmn 13622  df-abl 13623

This theorem is referenced by:  rngansg  13712  qus2idrng  14287  qus1  14288  qusrhm  14290