Theorem ablnsg 13540

Description: Every subgroup of an abelian group is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ablnsg	|- ( G e. Abel -> (NrmSGrp ` G ) = (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem ablnsg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3	1, 2	ablcom 13509	. . . . . 6 |- ( ( G e. Abel /\ y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) )
4	3	3expb 1206	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) )
5	4	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. x <-> ( z ( +g ` G ) y ) e. x ) )
6	5	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( G e. Abel -> A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( y ( +g ` G ) z ) e. x <-> ( z ( +g ` G ) y ) e. x ) )
7	1, 2	isnsg 13408	. . . 4 |- ( x e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( x e. (SubGrp ` G ) /\ A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( y ( +g ` G ) z ) e. x <-> ( z ( +g ` G ) y ) e. x ) ) )
8	7	rbaib 922	. . 3 |- ( A. y e. ( Base ` G ) A. z e. ( Base ` G ) ( ( y ( +g ` G ) z ) e. x <-> ( z ( +g ` G ) y ) e. x ) -> ( x e. (NrmSGrp ` G ) <-> x e. (SubGrp ` G ) ) )
9	6, 8	syl 14	. 2 |- ( G e. Abel -> ( x e. (NrmSGrp ` G ) <-> x e. (SubGrp ` G ) ) )
10	9	eqrdv 2194	1 |- ( G e. Abel -> (NrmSGrp ` G ) = (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780  SubGrpcsubg 13373  NrmSGrpcnsg 13374   Abelcabl 13491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-subg 13376  df-nsg 13377  df-cmn 13492  df-abl 13493

This theorem is referenced by:  rngansg  13582  qus2idrng  14157  qus1  14158  qusrhm  14160