Theorem qus1 14490

Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusring.u	|- U = ( R /.s ( R ~QG S ) )
qusring.i	|- I = (2Ideal ` R )
qus1.o	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
qus1	|- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> ( U e. Ring /\ [ .1. ] ( R ~QG S ) = ( 1r ` U ) ) )

Proof of Theorem qus1

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusring.u	. . 3 |- U = ( R /.s ( R ~QG S ) )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> U = ( R /.s ( R ~QG S ) ) )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
5		eqid 2229	. 2 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
6		eqid 2229	. 2 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
7		qus1.o	. 2 |- .1. = ( 1r ` R )
8		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> S e. I )
9		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
10		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
11		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
12		qusring.i	. . . . . . . 8 |- I = (2Ideal ` R )
13	9, 10, 11, 12	2idlvalg 14467	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> I = ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> I = ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
15	8, 14	eleqtrd 2308	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> S e. ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
16	15	elin1d 3393	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> S e. (LIdeal ` R ) )
17	9	lidlsubg 14450	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ S e. (LIdeal ` R ) ) -> S e. (SubGrp ` R ) )
18	16, 17	syldan 282	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> S e. (SubGrp ` R ) )
19		eqid 2229	. . . 4 |- ( R ~QG S ) = ( R ~QG S )
20	3, 19	eqger 13761	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` R ) -> ( R ~QG S ) Er ( Base ` R ) )
21	18, 20	syl 14	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> ( R ~QG S ) Er ( Base ` R ) )
22		ringabl 13995	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. Abel )
23	22	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> R e. Abel )
24		ablnsg 13871	. . . . 5 |- ( R e. Abel -> (NrmSGrp ` R ) = (SubGrp ` R ) )
25	23, 24	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> (NrmSGrp ` R ) = (SubGrp ` R ) )
26	18, 25	eleqtrrd 2309	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> S e. (NrmSGrp ` R ) )
27	3, 19, 5	eqgcpbl 13765	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` R ) -> ( ( a ( R ~QG S ) c /\ b ( R ~QG S ) d ) -> ( a ( +g ` R ) b ) ( R ~QG S ) ( c ( +g ` R ) d ) ) )
28	26, 27	syl 14	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> ( ( a ( R ~QG S ) c /\ b ( R ~QG S ) d ) -> ( a ( +g ` R ) b ) ( R ~QG S ) ( c ( +g ` R ) d ) ) )
29	3, 19, 12, 6	2idlcpbl 14488	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> ( ( a ( R ~QG S ) c /\ b ( R ~QG S ) d ) -> ( a ( .r ` R ) b ) ( R ~QG S ) ( c ( .r ` R ) d ) ) )
30		simpl 109	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> R e. Ring )
31	2, 4, 5, 6, 7, 21, 28, 29, 30	qusring2 14029	1 |- ( ( R e. Ring /\ S e. I ) -> ( U e. Ring /\ [ .1. ] ( R ~QG S ) = ( 1r ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   i^i cin 3196   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Er wer 6677   [cec 6678   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   .rcmulr 13111   /._s cqus 13333  SubGrpcsubg 13704  NrmSGrpcnsg 13705   ~_QG cqg 13706   Abelcabl 13822   1rcur 13922   Ringcrg 13959  opp_rcoppr 14030  LIdealclidl 14431  2Idealc2idl 14463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-tpos 6391  df-er 6680  df-ec 6682  df-qs 6686  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-sca 13126  df-vsca 13127  df-ip 13128  df-0g 13291  df-iimas 13335  df-qus 13336  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-sbg 13538  df-subg 13707  df-nsg 13708  df-eqg 13709  df-cmn 13823  df-abl 13824  df-mgp 13884  df-rng 13896  df-ur 13923  df-srg 13927  df-ring 13961  df-oppr 14031  df-subrg 14183  df-lmod 14253  df-lssm 14317  df-sra 14399  df-rgmod 14400  df-lidl 14433  df-2idl 14464

This theorem is referenced by:  qusring  14491  qusrhm  14492