Theorem ablnsg 13892

Description: Every subgroup of an abelian group is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ablnsg	⊢ (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem ablnsg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	ablcom 13861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑧(+g‘𝐺)𝑦))
4	3	3expb 1228	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑧(+g‘𝐺)𝑦))
5	4	eleq1d 2298	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑧(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑥))
6	5	ralrimivva 2612	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑧(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑥))
7	1, 2	isnsg 13760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑧(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑥)))
8	7	rbaib 926	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝑧(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
9	6, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
10	9	eqrdv 2227	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Basecbs 13053  +_gcplusg 13131  SubGrpcsubg 13725  NrmSGrpcnsg 13726  Abelcabl 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-fv 5329  df-ov 6013  df-inn 9127  df-2 9185  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-subg 13728  df-nsg 13729  df-cmn 13844  df-abl 13845

This theorem is referenced by:  rngansg  13934  qus2idrng  14510  qus1  14511  qusrhm  14513