Theorem grpnpcan 13539

Description: Cancellation law for subtraction (npcan 8316 analog). (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpnpcan	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )

Proof of Theorem grpnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2207	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 13495	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
4	3	3adant2 1019	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
5		grpsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
6	1, 5	grpcl 13455	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
7	4, 6	syld3an3 1295	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
8		grpsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
9	1, 5, 2, 8	grpsubval 13493	. . 3 |- ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .- ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) )
10	7, 4, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .- ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) )
11	1, 5, 8	grppncan 13538	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .- ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = X )
12	4, 11	syld3an3 1295	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .- ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = X )
13	1, 5, 2, 8	grpsubval 13493	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
14	13	3adant1 1018	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
15	14	eqcomd 2213	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = ( X .- Y ) )
16	1, 2	grpinvinv 13514	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Y )
17	16	3adant2 1019	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Y )
18	15, 17	oveq12d 5985	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) = ( ( X .- Y ) .+ Y ) )
19	10, 12, 18	3eqtr3rd 2249	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   Grpcgrp 13447   invgcminusg 13448   -gcsg 13449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-sbg 13452

This theorem is referenced by:  grpsubsub4  13540  grpnpncan  13542  grpnnncan2  13544  dfgrp3m  13546  nsgconj  13657  conjghm  13727  conjnmz  13730  ablpncan3  13768  lmodvnpcan  14218