Theorem grpnpcan 13640

Description: Cancellation law for subtraction (npcan 8366 analog). (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpnpcan	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )

Proof of Theorem grpnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
3	1, 2	grpinvcl 13596	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
4	3	3adant2 1040	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
5		grpsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
6	1, 5	grpcl 13556	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
7	4, 6	syld3an3 1316	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
8		grpsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
9	1, 5, 2, 8	grpsubval 13594	. . 3 |- ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .- ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) )
10	7, 4, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .- ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) )
11	1, 5, 8	grppncan 13639	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .- ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = X )
12	4, 11	syld3an3 1316	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .- ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = X )
13	1, 5, 2, 8	grpsubval 13594	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
14	13	3adant1 1039	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
15	14	eqcomd 2235	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = ( X .- Y ) )
16	1, 2	grpinvinv 13615	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Y )
17	16	3adant2 1040	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Y )
18	15, 17	oveq12d 6025	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) = ( ( X .- Y ) .+ Y ) )
19	10, 12, 18	3eqtr3rd 2271	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13047   +g cplusg 13125   Grpcgrp 13548   invgcminusg 13549   -gcsg 13550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-plusg 13138  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-sbg 13553

This theorem is referenced by:  grpsubsub4  13641  grpnpncan  13643  grpnnncan2  13645  dfgrp3m  13647  nsgconj  13758  conjghm  13828  conjnmz  13831  ablpncan3  13869  lmodvnpcan  14320