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Theorem brtpos2 6251
Description: Value of the transposition at a pair  <. A ,  B >.. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
brtpos2  |-  ( B  e.  V  ->  ( Atpos  F B  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )

Proof of Theorem brtpos2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reltpos 6250 . . . 4  |-  Rel tpos  F
21brrelex1i 4669 . . 3  |-  ( Atpos 
F B  ->  A  e.  _V )
32a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( Atpos  F B  ->  A  e.  _V ) )
4 elex 2748 . . . 4  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  A  e.  _V )
54adantr 276 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B )  ->  A  e.  _V )
65a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B )  ->  A  e.  _V ) )
7 df-tpos 6245 . . . . . 6  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
87breqi 4009 . . . . 5  |-  ( Atpos 
F B  <->  A ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) B )
9 brcog 4794 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( A ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) B  <->  E. y
( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) y  /\  y F B ) ) )
108, 9bitrid 192 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( Atpos  F B  <->  E. y ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B ) ) )
11 funmpt 5254 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )
12 funbrfv2b 5560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  ->  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( A  e. 
dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( A  e. 
dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y ) )
14 vex 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
15 snexg 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  { x }  e.  _V )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x }  e.  _V
1716cnvex 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' {
x }  e.  _V
1817uniex 4437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. `' { x }  e.  _V
19 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )
2018, 19dmmpti 5345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  =  ( `' dom  F  u.  { (/) } )
2120eleq2i 2244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  <->  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
22 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) `
 A )  =  y  <->  y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) `
 A ) )
2321, 22anbi12i 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y )  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
) ) )
24 snexg 4184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  { A }  e.  _V )
25 cnvexg 5166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A }  e.  _V  ->  `' { A }  e.  _V )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  `' { A }  e.  _V )
27 uniexg 4439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' { A }  e.  _V  ->  U. `' { A }  e.  _V )
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  U. `' { A }  e.  _V )
29 sneq 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  A  ->  { x }  =  { A } )
3029cnveqd 4803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  `' { x }  =  `' { A } )
3130unieqd 3820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  U. `' { x }  =  U. `' { A } )
3231, 19fvmptg 5592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A }  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) `
 A )  = 
U. `' { A } )
3328, 32mpdan 421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  U. `' { A } )
3433eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) `
 A )  <->  y  =  U. `' { A } ) )
3534pm5.32i 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
) )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y  =  U. `' { A } ) )
3623, 35bitri 184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  /\  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) `  A
)  =  y )  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  U. `' { A } ) )
3713, 36bitri 184 . . . . . . . . 9  |-  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y  =  U. `' { A } ) )
38 ancom 266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y  =  U. `' { A } )  <->  ( y  =  U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
3937, 38bitri 184 . . . . . . . 8  |-  ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  <->  ( y  = 
U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
4039anbi1i 458 . . . . . . 7  |-  ( ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  ( (
y  =  U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  /\  y F B ) )
41 anass 401 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  =  U. `' { A }  /\  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  /\  y F B )  <->  ( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) ) )
4240, 41bitri 184 . . . . . 6  |-  ( ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  ( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) ) )
4342exbii 1605 . . . . 5  |-  ( E. y ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  E. y
( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y F B ) ) )
44 exsimpr 1618 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( y  = 
U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) )  ->  E. y ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) )
45 exsimpl 1617 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B )  ->  E. y  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
46 19.9v 1871 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  <->  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
4745, 46sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B )  ->  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )
4844, 47syl 14 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  = 
U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) )  ->  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
49 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B )  ->  A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )
50 breq1 4006 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  U. `' { A }  ->  ( y F B  <->  U. `' { A } F B ) )
5150anbi2d 464 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U. `' { A }  ->  ( ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y F B )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
5251ceqsexgv 2866 . . . . . . 7  |-  ( U. `' { A }  e.  _V  ->  ( E. y
( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y F B ) )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
5328, 52syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( E. y
( y  =  U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  y F B ) )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
5448, 49, 53pm5.21nii 704 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  = 
U. `' { A }  /\  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  y F B ) )  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B ) )
5543, 54bitri 184 . . . 4  |-  ( E. y ( A ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) y  /\  y F B )  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) )
5610, 55bitrdi 196 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( Atpos  F B  <-> 
( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
5756expcom 116 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  _V  ->  ( Atpos  F B  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) ) )
583, 6, 57pm5.21ndd 705 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( Atpos  F B  <->  ( A  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { A } F B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    u. cun 3127   (/)c0 3422   {csn 3592   U.cuni 3809   class class class wbr 4003    |-> cmpt 4064   `'ccnv 4625   dom cdm 4626    o. ccom 4630   Fun wfun 5210   ` cfv 5216  tpos ctpos 6244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-tpos 6245
This theorem is referenced by:  brtpos0  6252  reldmtpos  6253  brtposg  6254  dftpos4  6263  tpostpos  6264
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