Theorem brtpos2 6030

Description: Value of the transposition at a pair <. A , B >.. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos2	|- ( B e. V -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )

Proof of Theorem brtpos2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 6029	. . . 4 |- Rel tpos F
2	1	brrelex1i 4494	. . 3 |- ( Atpos F B -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( Atpos F B -> A e. _V ) )
4		elex 2631	. . . 4 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> A e. _V )
5	4	adantr 271	. . 3 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) -> A e. _V )
6	5	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) -> A e. _V ) )
7		df-tpos 6024	. . . . . 6 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
8	7	breqi 3857	. . . . 5 |- ( Atpos F B <-> A ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) B )
9		brcog 4616	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) B <-> E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) ) )
10	8, 9	syl5bb 191	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( Atpos F B <-> E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) ) )
11		funmpt 5065	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
12		funbrfv2b 5362	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) -> ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) ) )
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) )
14		vex 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
15		snexg 4025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. _V -> { x } e. _V )
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x } e. _V
17	16	cnvex 4982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' { x } e. _V
18	17	uniex 4273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. `' { x } e. _V
19		eqid 2089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
20	18, 19	dmmpti 5156	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( `' dom F u. { (/) } )
21	20	eleq2i 2155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) <-> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
22		eqcom 2091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y <-> y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) )
23	21, 22	anbi12i 449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) ) )
24		snexg 4025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> { A } e. _V )
25		cnvexg 4981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A } e. _V -> `' { A } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> `' { A } e. _V )
27		uniexg 4275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' { A } e. _V -> U. `' { A } e. _V )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> U. `' { A } e. _V )
29		sneq 3461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = A -> { x } = { A } )
30	29	cnveqd 4625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = A -> `' { x } = `' { A } )
31	30	unieqd 3670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> U. `' { x } = U. `' { A } )
32	31, 19	fvmptg 5393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } e. _V ) -> ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = U. `' { A } )
33	28, 32	mpdan 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = U. `' { A } )
34	33	eqeq2d 2100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) <-> y = U. `' { A } ) )
35	34	pm5.32i 443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) )
36	23, 35	bitri 183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) )
37	13, 36	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) )
38		ancom 263	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) <-> ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
39	37, 38	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
40	39	anbi1i 447	. . . . . . 7 |- ( ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> ( ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) /\ y F B ) )
41		anass 394	. . . . . . 7 |- ( ( ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) /\ y F B ) <-> ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) )
42	40, 41	bitri 183	. . . . . 6 |- ( ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) )
43	42	exbii 1542	. . . . 5 |- ( E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) )
44		exsimpr 1555	. . . . . . 7 |- ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) -> E. y ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) )
45		exsimpl 1554	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) -> E. y A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
46		19.9v 1800	. . . . . . . 8 |- ( E. y A e. ( `' dom F u. { (/) } ) <-> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
47	45, 46	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( E. y ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) -> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
48	44, 47	syl 14	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) -> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
49		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) -> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
50		breq1 3854	. . . . . . . . 9 |- ( y = U. `' { A } -> ( y F B <-> U. `' { A } F B ) )
51	50	anbi2d 453	. . . . . . . 8 |- ( y = U. `' { A } -> ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
52	51	ceqsexgv 2747	. . . . . . 7 |- ( U. `' { A } e. _V -> ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
53	28, 52	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
54	48, 49, 53	pm5.21nii 656	. . . . 5 |- ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) )
55	43, 54	bitri 183	. . . 4 |- ( E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) )
56	10, 55	syl6bb 195	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
57	56	expcom 115	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. _V -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) ) )
58	3, 6, 57	pm5.21ndd 657	1 |- ( B e. V -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   _Vcvv 2620   u. cun 2998   (/)c0 3287   {csn 3450   U.cuni 3659   class class class wbr 3851   |-> cmpt 3905   `'ccnv 4451   dom cdm 4452   o. ccom 4456   Fun wfun 5022   ` cfv 5028  tpos ctpos 6023

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-fv 5036  df-tpos 6024

This theorem is referenced by:  brtpos0  6031  reldmtpos  6032  brtposg  6033  dftpos4  6042  tpostpos  6043