Theorem brtpos2 6482

Description: Value of the transposition at a pair <. A , B >.. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos2	|- ( B e. V -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )

Proof of Theorem brtpos2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 6481	. . . 4 |- Rel tpos F
2	1	brrelex1i 4793	. . 3 |- ( Atpos F B -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( Atpos F B -> A e. _V ) )
4		elex 2825	. . . 4 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> A e. _V )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) -> A e. _V )
6	5	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) -> A e. _V ) )
7		df-tpos 6476	. . . . . 6 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
8	7	breqi 4115	. . . . 5 |- ( Atpos F B <-> A ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) B )
9		brcog 4922	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) B <-> E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) ) )
10	8, 9	bitrid 192	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( Atpos F B <-> E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) ) )
11		funmpt 5390	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
12		funbrfv2b 5721	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) -> ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) )
14		vex 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
15		snexg 4297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. _V -> { x } e. _V )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x } e. _V
17	16	cnvex 5301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' { x } e. _V
18	17	uniex 4558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. `' { x } e. _V
19		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
20	18, 19	dmmpti 5488	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( `' dom F u. { (/) } )
21	20	eleq2i 2299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) <-> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
22		eqcom 2234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y <-> y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) )
23	21, 22	anbi12i 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) ) )
24		snexg 4297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> { A } e. _V )
25		cnvexg 5300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A } e. _V -> `' { A } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> `' { A } e. _V )
27		uniexg 4560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' { A } e. _V -> U. `' { A } e. _V )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> U. `' { A } e. _V )
29		sneq 3700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = A -> { x } = { A } )
30	29	cnveqd 4931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = A -> `' { x } = `' { A } )
31	30	unieqd 3925	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> U. `' { x } = U. `' { A } )
32	31, 19	fvmptg 5753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } e. _V ) -> ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = U. `' { A } )
33	28, 32	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = U. `' { A } )
34	33	eqeq2d 2244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) <-> y = U. `' { A } ) )
35	34	pm5.32i 454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) )
36	23, 35	bitri 184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) )
37	13, 36	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) )
38		ancom 266	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) <-> ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
39	37, 38	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
40	39	anbi1i 458	. . . . . . 7 |- ( ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> ( ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) /\ y F B ) )
41		anass 401	. . . . . . 7 |- ( ( ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) /\ y F B ) <-> ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) )
42	40, 41	bitri 184	. . . . . 6 |- ( ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) )
43	42	exbii 1654	. . . . 5 |- ( E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) )
44		exsimpr 1667	. . . . . . 7 |- ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) -> E. y ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) )
45		exsimpl 1666	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) -> E. y A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
46		19.9v 1920	. . . . . . . 8 |- ( E. y A e. ( `' dom F u. { (/) } ) <-> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
47	45, 46	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( E. y ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) -> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
48	44, 47	syl 14	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) -> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
49		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) -> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
50		breq1 4112	. . . . . . . . 9 |- ( y = U. `' { A } -> ( y F B <-> U. `' { A } F B ) )
51	50	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( y = U. `' { A } -> ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
52	51	ceqsexgv 2946	. . . . . . 7 |- ( U. `' { A } e. _V -> ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
53	28, 52	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
54	48, 49, 53	pm5.21nii 712	. . . . 5 |- ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) )
55	43, 54	bitri 184	. . . 4 |- ( E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) )
56	10, 55	bitrdi 196	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
57	56	expcom 116	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. _V -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) ) )
58	3, 6, 57	pm5.21ndd 713	1 |- ( B e. V -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   u. cun 3209   (/)c0 3508   {csn 3689   U.cuni 3914   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   `'ccnv 4748   dom cdm 4749   o. ccom 4753   Fun wfun 5346   ` cfv 5352  tpos ctpos 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-tpos 6476

This theorem is referenced by:  brtpos0  6483  reldmtpos  6484  brtposg  6485  dftpos4  6494  tpostpos  6495