Theorem brtpos2 6397

Description: Value of the transposition at a pair <. A , B >.. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos2	|- ( B e. V -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )

Proof of Theorem brtpos2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 6396	. . . 4 |- Rel tpos F
2	1	brrelex1i 4762	. . 3 |- ( Atpos F B -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( Atpos F B -> A e. _V ) )
4		elex 2811	. . . 4 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> A e. _V )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) -> A e. _V )
6	5	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) -> A e. _V ) )
7		df-tpos 6391	. . . . . 6 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
8	7	breqi 4089	. . . . 5 |- ( Atpos F B <-> A ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) B )
9		brcog 4889	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) B <-> E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) ) )
10	8, 9	bitrid 192	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( Atpos F B <-> E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) ) )
11		funmpt 5356	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
12		funbrfv2b 5678	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) -> ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) )
14		vex 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
15		snexg 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. _V -> { x } e. _V )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x } e. _V
17	16	cnvex 5267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' { x } e. _V
18	17	uniex 4528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. `' { x } e. _V
19		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
20	18, 19	dmmpti 5453	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( `' dom F u. { (/) } )
21	20	eleq2i 2296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) <-> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
22		eqcom 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y <-> y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) )
23	21, 22	anbi12i 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) ) )
24		snexg 4268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> { A } e. _V )
25		cnvexg 5266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A } e. _V -> `' { A } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> `' { A } e. _V )
27		uniexg 4530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' { A } e. _V -> U. `' { A } e. _V )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> U. `' { A } e. _V )
29		sneq 3677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = A -> { x } = { A } )
30	29	cnveqd 4898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = A -> `' { x } = `' { A } )
31	30	unieqd 3899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> U. `' { x } = U. `' { A } )
32	31, 19	fvmptg 5710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } e. _V ) -> ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = U. `' { A } )
33	28, 32	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = U. `' { A } )
34	33	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) <-> y = U. `' { A } ) )
35	34	pm5.32i 454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) )
36	23, 35	bitri 184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) )
37	13, 36	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) )
38		ancom 266	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) <-> ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
39	37, 38	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
40	39	anbi1i 458	. . . . . . 7 |- ( ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> ( ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) /\ y F B ) )
41		anass 401	. . . . . . 7 |- ( ( ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) /\ y F B ) <-> ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) )
42	40, 41	bitri 184	. . . . . 6 |- ( ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) )
43	42	exbii 1651	. . . . 5 |- ( E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) )
44		exsimpr 1664	. . . . . . 7 |- ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) -> E. y ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) )
45		exsimpl 1663	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) -> E. y A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
46		19.9v 1917	. . . . . . . 8 |- ( E. y A e. ( `' dom F u. { (/) } ) <-> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
47	45, 46	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( E. y ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) -> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
48	44, 47	syl 14	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) -> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
49		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) -> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
50		breq1 4086	. . . . . . . . 9 |- ( y = U. `' { A } -> ( y F B <-> U. `' { A } F B ) )
51	50	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( y = U. `' { A } -> ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
52	51	ceqsexgv 2932	. . . . . . 7 |- ( U. `' { A } e. _V -> ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
53	28, 52	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
54	48, 49, 53	pm5.21nii 709	. . . . 5 |- ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) )
55	43, 54	bitri 184	. . . 4 |- ( E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) )
56	10, 55	bitrdi 196	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
57	56	expcom 116	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. _V -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) ) )
58	3, 6, 57	pm5.21ndd 710	1 |- ( B e. V -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   (/)c0 3491   {csn 3666   U.cuni 3888   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   `'ccnv 4718   dom cdm 4719   o. ccom 4723   Fun wfun 5312   ` cfv 5318  tpos ctpos 6390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-tpos 6391

This theorem is referenced by:  brtpos0  6398  reldmtpos  6399  brtposg  6400  dftpos4  6409  tpostpos  6410