Theorem brtpos2 6156

Description: Value of the transposition at a pair <. A , B >.. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos2	|- ( B e. V -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )

Proof of Theorem brtpos2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 6155	. . . 4 |- Rel tpos F
2	1	brrelex1i 4590	. . 3 |- ( Atpos F B -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( Atpos F B -> A e. _V ) )
4		elex 2700	. . . 4 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> A e. _V )
5	4	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) -> A e. _V )
6	5	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) -> A e. _V ) )
7		df-tpos 6150	. . . . . 6 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
8	7	breqi 3943	. . . . 5 |- ( Atpos F B <-> A ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) B )
9		brcog 4714	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) B <-> E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) ) )
10	8, 9	syl5bb 191	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( Atpos F B <-> E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) ) )
11		funmpt 5169	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
12		funbrfv2b 5474	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) -> ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) )
14		vex 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
15		snexg 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. _V -> { x } e. _V )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x } e. _V
17	16	cnvex 5085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' { x } e. _V
18	17	uniex 4367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. `' { x } e. _V
19		eqid 2140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
20	18, 19	dmmpti 5260	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = ( `' dom F u. { (/) } )
21	20	eleq2i 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) <-> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
22		eqcom 2142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y <-> y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) )
23	21, 22	anbi12i 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) ) )
24		snexg 4116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> { A } e. _V )
25		cnvexg 5084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A } e. _V -> `' { A } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> `' { A } e. _V )
27		uniexg 4369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' { A } e. _V -> U. `' { A } e. _V )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> U. `' { A } e. _V )
29		sneq 3543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = A -> { x } = { A } )
30	29	cnveqd 4723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = A -> `' { x } = `' { A } )
31	30	unieqd 3755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> U. `' { x } = U. `' { A } )
32	31, 19	fvmptg 5505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } e. _V ) -> ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = U. `' { A } )
33	28, 32	mpdan 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = U. `' { A } )
34	33	eqeq2d 2152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) <-> y = U. `' { A } ) )
35	34	pm5.32i 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) )
36	23, 35	bitri 183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ` A ) = y ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) )
37	13, 36	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) )
38		ancom 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y = U. `' { A } ) <-> ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
39	37, 38	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y <-> ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
40	39	anbi1i 454	. . . . . . 7 |- ( ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> ( ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) /\ y F B ) )
41		anass 399	. . . . . . 7 |- ( ( ( y = U. `' { A } /\ A e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) /\ y F B ) <-> ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) )
42	40, 41	bitri 183	. . . . . 6 |- ( ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) )
43	42	exbii 1585	. . . . 5 |- ( E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) )
44		exsimpr 1598	. . . . . . 7 |- ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) -> E. y ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) )
45		exsimpl 1597	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) -> E. y A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
46		19.9v 1844	. . . . . . . 8 |- ( E. y A e. ( `' dom F u. { (/) } ) <-> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
47	45, 46	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( E. y ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) -> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
48	44, 47	syl 14	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) -> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
49		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) -> A e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
50		breq1 3940	. . . . . . . . 9 |- ( y = U. `' { A } -> ( y F B <-> U. `' { A } F B ) )
51	50	anbi2d 460	. . . . . . . 8 |- ( y = U. `' { A } -> ( ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
52	51	ceqsexgv 2818	. . . . . . 7 |- ( U. `' { A } e. _V -> ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
53	28, 52	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) -> ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
54	48, 49, 53	pm5.21nii 694	. . . . 5 |- ( E. y ( y = U. `' { A } /\ ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ y F B ) ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) )
55	43, 54	bitri 183	. . . 4 |- ( E. y ( A ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) y /\ y F B ) <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) )
56	10, 55	syl6bb 195	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )
57	56	expcom 115	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. _V -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) ) )
58	3, 6, 57	pm5.21ndd 695	1 |- ( B e. V -> ( Atpos F B <-> ( A e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { A } F B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   u. cun 3074   (/)c0 3368   {csn 3532   U.cuni 3744   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   `'ccnv 4546   dom cdm 4547   o. ccom 4551   Fun wfun 5125   ` cfv 5131  tpos ctpos 6149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139  df-tpos 6150

This theorem is referenced by:  brtpos0  6157  reldmtpos  6158  brtposg  6159  dftpos4  6168  tpostpos  6169