Theorem brtpos0 6249

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴))

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 6248	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ (∅ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{∅}𝐹𝐴)))
2		ssun2 3299	. . . . 5 ⊢ {∅} ⊆ (◡dom 𝐹 ∪ {∅})
3		0ex 4129	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	snid 3623	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
5	2, 4	sselii 3152	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅})
6	5	biantrur 303	. . 3 ⊢ (∪ ◡{∅}𝐹𝐴 ↔ (∅ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{∅}𝐹𝐴))
7		cnvsn0 5095	. . . . . 6 ⊢ ◡{∅} = ∅
8	7	unieqi 3819	. . . . 5 ⊢ ∪ ◡{∅} = ∪ ∅
9		uni0 3836	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
10	8, 9	eqtri 2198	. . . 4 ⊢ ∪ ◡{∅} = ∅
11	10	breq1i 4009	. . 3 ⊢ (∪ ◡{∅}𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴)
12	6, 11	bitr3i 186	. 2 ⊢ ((∅ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{∅}𝐹𝐴) ↔ ∅𝐹𝐴)
13	1, 12	bitrdi 196	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3127  ∅c0 3422  {csn 3592  ∪ cuni 3809   class class class wbr 4002  ^◡ccnv 4624  dom cdm 4625  tpos ctpos 6241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-fv 5222  df-tpos 6242

This theorem is referenced by:  reldmtpos  6250  tpostpos  6261