ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brtpos0 GIF version

Theorem brtpos0 6017
Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
brtpos0 (𝐴𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴))

Proof of Theorem brtpos0
StepHypRef Expression
1 brtpos2 6016 . 2 (𝐴𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ (∅ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {∅}𝐹𝐴)))
2 ssun2 3164 . . . . 5 {∅} ⊆ (dom 𝐹 ∪ {∅})
3 0ex 3966 . . . . . 6 ∅ ∈ V
43snid 3475 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
52, 4sselii 3022 . . . 4 ∅ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅})
65biantrur 297 . . 3 ( {∅}𝐹𝐴 ↔ (∅ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {∅}𝐹𝐴))
7 cnvsn0 4899 . . . . . 6 {∅} = ∅
87unieqi 3663 . . . . 5 {∅} =
9 uni0 3680 . . . . 5 ∅ = ∅
108, 9eqtri 2108 . . . 4 {∅} = ∅
1110breq1i 3852 . . 3 ( {∅}𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴)
126, 11bitr3i 184 . 2 ((∅ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {∅}𝐹𝐴) ↔ ∅𝐹𝐴)
131, 12syl6bb 194 1 (𝐴𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1438  cun 2997  c0 3286  {csn 3446   cuni 3653   class class class wbr 3845  ccnv 4437  dom cdm 4438  tpos ctpos 6009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-fv 5023  df-tpos 6010
This theorem is referenced by:  reldmtpos  6018  tpostpos  6029
  Copyright terms: Public domain W3C validator