ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brtpos0 GIF version

Theorem brtpos0 6031
Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
brtpos0 (𝐴𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴))

Proof of Theorem brtpos0
StepHypRef Expression
1 brtpos2 6030 . 2 (𝐴𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ (∅ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {∅}𝐹𝐴)))
2 ssun2 3165 . . . . 5 {∅} ⊆ (dom 𝐹 ∪ {∅})
3 0ex 3972 . . . . . 6 ∅ ∈ V
43snid 3479 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
52, 4sselii 3023 . . . 4 ∅ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅})
65biantrur 298 . . 3 ( {∅}𝐹𝐴 ↔ (∅ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {∅}𝐹𝐴))
7 cnvsn0 4912 . . . . . 6 {∅} = ∅
87unieqi 3669 . . . . 5 {∅} =
9 uni0 3686 . . . . 5 ∅ = ∅
108, 9eqtri 2109 . . . 4 {∅} = ∅
1110breq1i 3858 . . 3 ( {∅}𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴)
126, 11bitr3i 185 . 2 ((∅ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {∅}𝐹𝐴) ↔ ∅𝐹𝐴)
131, 12syl6bb 195 1 (𝐴𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1439  cun 2998  c0 3287  {csn 3450   cuni 3659   class class class wbr 3851  ccnv 4451  dom cdm 4452  tpos ctpos 6023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-fv 5036  df-tpos 6024
This theorem is referenced by:  reldmtpos  6032  tpostpos  6043
  Copyright terms: Public domain W3C validator