Theorem brtpos0 6230

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴))

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 6229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ (∅ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{∅}𝐹𝐴)))
2		ssun2 3291	. . . . 5 ⊢ {∅} ⊆ (◡dom 𝐹 ∪ {∅})
3		0ex 4115	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	snid 3613	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
5	2, 4	sselii 3144	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅})
6	5	biantrur 301	. . 3 ⊢ (∪ ◡{∅}𝐹𝐴 ↔ (∅ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{∅}𝐹𝐴))
7		cnvsn0 5078	. . . . . 6 ⊢ ◡{∅} = ∅
8	7	unieqi 3805	. . . . 5 ⊢ ∪ ◡{∅} = ∪ ∅
9		uni0 3822	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
10	8, 9	eqtri 2191	. . . 4 ⊢ ∪ ◡{∅} = ∅
11	10	breq1i 3995	. . 3 ⊢ (∪ ◡{∅}𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴)
12	6, 11	bitr3i 185	. 2 ⊢ ((∅ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{∅}𝐹𝐴) ↔ ∅𝐹𝐴)
13	1, 12	bitrdi 195	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119  ∅c0 3414  {csn 3582  ∪ cuni 3795   class class class wbr 3988  ^◡ccnv 4609  dom cdm 4610  tpos ctpos 6222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4106  ax-nul 4114  ax-pow 4159  ax-pr 4193  ax-un 4417

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3567  df-sn 3588  df-pr 3589  df-op 3591  df-uni 3796  df-br 3989  df-opab 4050  df-mpt 4051  df-id 4277  df-xp 4616  df-rel 4617  df-cnv 4618  df-co 4619  df-dm 4620  df-rn 4621  df-res 4622  df-ima 4623  df-iota 5159  df-fun 5199  df-fn 5200  df-fv 5205  df-tpos 6223

This theorem is referenced by:  reldmtpos  6231  tpostpos  6242