Theorem brtpos0 6483

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴))

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 6482	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ (∅ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{∅}𝐹𝐴)))
2		ssun2 3383	. . . . 5 ⊢ {∅} ⊆ (◡dom 𝐹 ∪ {∅})
3		0ex 4237	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	snid 3720	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
5	2, 4	sselii 3235	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅})
6	5	biantrur 303	. . 3 ⊢ (∪ ◡{∅}𝐹𝐴 ↔ (∅ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{∅}𝐹𝐴))
7		cnvsn0 5231	. . . . . 6 ⊢ ◡{∅} = ∅
8	7	unieqi 3924	. . . . 5 ⊢ ∪ ◡{∅} = ∪ ∅
9		uni0 3941	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
10	8, 9	eqtri 2253	. . . 4 ⊢ ∪ ◡{∅} = ∅
11	10	breq1i 4116	. . 3 ⊢ (∪ ◡{∅}𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴)
12	6, 11	bitr3i 186	. 2 ⊢ ((∅ ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{∅}𝐹𝐴) ↔ ∅𝐹𝐴)
13	1, 12	bitrdi 196	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203   ∪ cun 3209  ∅c0 3508  {csn 3689  ∪ cuni 3914   class class class wbr 4109  ^◡ccnv 4748  dom cdm 4749  tpos ctpos 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-tpos 6476

This theorem is referenced by:  reldmtpos  6484  tpostpos  6495