ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brtpos0 GIF version

Theorem brtpos0 6255
Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
brtpos0 (𝐴𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴))

Proof of Theorem brtpos0
StepHypRef Expression
1 brtpos2 6254 . 2 (𝐴𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ (∅ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {∅}𝐹𝐴)))
2 ssun2 3301 . . . . 5 {∅} ⊆ (dom 𝐹 ∪ {∅})
3 0ex 4132 . . . . . 6 ∅ ∈ V
43snid 3625 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
52, 4sselii 3154 . . . 4 ∅ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅})
65biantrur 303 . . 3 ( {∅}𝐹𝐴 ↔ (∅ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {∅}𝐹𝐴))
7 cnvsn0 5099 . . . . . 6 {∅} = ∅
87unieqi 3821 . . . . 5 {∅} =
9 uni0 3838 . . . . 5 ∅ = ∅
108, 9eqtri 2198 . . . 4 {∅} = ∅
1110breq1i 4012 . . 3 ( {∅}𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴)
126, 11bitr3i 186 . 2 ((∅ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {∅}𝐹𝐴) ↔ ∅𝐹𝐴)
131, 12bitrdi 196 1 (𝐴𝑉 → (∅tpos 𝐹𝐴 ↔ ∅𝐹𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2148  cun 3129  c0 3424  {csn 3594   cuni 3811   class class class wbr 4005  ccnv 4627  dom cdm 4628  tpos ctpos 6247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-tpos 6248
This theorem is referenced by:  reldmtpos  6256  tpostpos  6267
  Copyright terms: Public domain W3C validator