Theorem cnmpt12f 14139

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt1t.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
cnmpt12f.f	|- ( ph -> F e. ( ( K tX L ) Cn M ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt12f	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A F B ) ) e. ( J Cn M ) )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x   x, J   x, M   x, X   x, K   x, L

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem cnmpt12f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5891	. . 3 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2	1	mpteq2i 4102	. 2 |- ( x e. X |-> ( A F B ) ) = ( x e. X |-> ( F ` <. A , B >. ) )
3		cnmptid.j	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
4		cnmpt11.a	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
5		cnmpt1t.b	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
6	3, 4, 5	cnmpt1t 14138	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
7		cnmpt12f.f	. . 3 |- ( ph -> F e. ( ( K tX L ) Cn M ) )
8	3, 6, 7	cnmpt11f 14137	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( F ` <. A , B >. ) ) e. ( J Cn M ) )
9	2, 8	eqeltrid 2274	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A F B ) ) e. ( J Cn M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2158   <.cop 3607   |-> cmpt 4076   ` cfv 5228  (class class class)co 5888  TopOnctopon 13863   Cn ccn 14038   tX ctx 14105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-map 6664  df-topgen 12727  df-top 13851  df-topon 13864  df-bases 13896  df-cn 14041  df-tx 14106

This theorem is referenced by:  cnmpt12  14140  fsumcncntop  14409  cncfmpt2fcntop  14438