Theorem cnmpt12f 12458

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt1t.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
cnmpt12f.f	|- ( ph -> F e. ( ( K tX L ) Cn M ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt12f	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( A F B ) ) e. ( J Cn M ) )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x   x, J   x, M   x, X   x, K   x, L

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem cnmpt12f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5777	. . 3 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
2	1	mpteq2i 4015	. 2 |- ( x e. X |-> ( A F B ) ) = ( x e. X |-> ( F ` <. A , B >. ) )
3		cnmptid.j	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
4		cnmpt11.a	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
5		cnmpt1t.b	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
6	3, 4, 5	cnmpt1t 12457	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
7		cnmpt12f.f	. . 3 |- ( ph -> F e. ( ( K tX L ) Cn M ) )
8	3, 6, 7	cnmpt11f 12456	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( F ` <. A , B >. ) ) e. ( J Cn M ) )
9	2, 8	eqeltrid 2226	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A F B ) ) e. ( J Cn M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   <.cop 3530   |-> cmpt 3989   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  TopOnctopon 12180   Cn ccn 12357   tX ctx 12424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-topgen 12144  df-top 12168  df-topon 12181  df-bases 12213  df-cn 12360  df-tx 12425

This theorem is referenced by:  cnmpt12  12459  fsumcncntop  12728  cncfmpt2fcntop  12757