Theorem cnmpt12f 14454

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt11.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmpt1t.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
cnmpt12f.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt12f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt12f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5921	. . 3 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2	1	mpteq2i 4116	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		cnmptid.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		cnmpt11.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		cnmpt1t.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
6	3, 4, 5	cnmpt1t 14453	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ×t 𝐿)))
7		cnmpt12f.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝑀))
8	3, 6, 7	cnmpt11f 14452	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)) ∈ (𝐽 Cn 𝑀))
9	2, 8	eqeltrid 2280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3621   ↦ cmpt 4090  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  TopOnctopon 14178   Cn ccn 14353   ×_t ctx 14420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-topgen 12871  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-cn 14356  df-tx 14421

This theorem is referenced by:  cnmpt12  14455  fsumcncntop  14724  cncfmpt2fcntop  14753