Theorem txtopon 13732

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txtopon	|- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )

Proof of Theorem txtopon

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 13484	. . 3 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> R e. Top )
2		topontop 13484	. . 3 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> S e. Top )
3		txtop 13730	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( R tX S ) e. Top )
5		eqid 2177	. . . . 5 |- ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) )
6		eqid 2177	. . . . 5 |- U. R = U. R
7		eqid 2177	. . . . 5 |- U. S = U. S
8	5, 6, 7	txuni2 13726	. . . 4 |- ( U. R X. U. S ) = U. ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) )
9		toponuni 13485	. . . . 5 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> X = U. R )
10		toponuni 13485	. . . . 5 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. S )
11		xpeq12 4645	. . . . 5 |- ( ( X = U. R /\ Y = U. S ) -> ( X X. Y ) = ( U. R X. U. S ) )
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( X X. Y ) = ( U. R X. U. S ) )
13	5	txbasex 13727	. . . . 5 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V )
14		unitg 13532	. . . . 5 |- ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V -> U. ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = U. ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> U. ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = U. ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) )
16	8, 12, 15	3eqtr4a 2236	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
17	5	txval 13725	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
18	17	unieqd 3820	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> U. ( R tX S ) = U. ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
19	16, 18	eqtr4d 2213	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) )
20		istopon 13483	. 2 |- ( ( R tX S ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) <-> ( ( R tX S ) e. Top /\ ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) ) )
21	4, 19, 20	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   U.cuni 3809   X. cxp 4624   ran crn 4627   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   e. cmpo 5876   topGenctg 12702   Topctop 13467  TopOnctopon 13480   tX ctx 13722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-topgen 12708  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-tx 13723

This theorem is referenced by:  txuni  13733  tx1cn  13739  tx2cn  13740  txcnp  13741  txcnmpt  13743  txdis1cn  13748  txlm  13749  lmcn2  13750  cnmpt12  13757  cnmpt2c  13760  cnmpt21  13761  cnmpt2t  13763  cnmpt22  13764  cnmpt22f  13765  cnmpt2res  13767  cnmptcom  13768  txmetcn  13989  limccnp2lem  14115  limccnp2cntop  14116  dvcnp2cntop  14133  dvaddxxbr  14135  dvmulxxbr  14136  dvcoapbr  14141