Theorem txtopon 13544

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txtopon	|- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )

Proof of Theorem txtopon

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 13294	. . 3 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> R e. Top )
2		topontop 13294	. . 3 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> S e. Top )
3		txtop 13542	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( R tX S ) e. Top )
5		eqid 2177	. . . . 5 |- ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) )
6		eqid 2177	. . . . 5 |- U. R = U. R
7		eqid 2177	. . . . 5 |- U. S = U. S
8	5, 6, 7	txuni2 13538	. . . 4 |- ( U. R X. U. S ) = U. ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) )
9		toponuni 13295	. . . . 5 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> X = U. R )
10		toponuni 13295	. . . . 5 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. S )
11		xpeq12 4643	. . . . 5 |- ( ( X = U. R /\ Y = U. S ) -> ( X X. Y ) = ( U. R X. U. S ) )
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( X X. Y ) = ( U. R X. U. S ) )
13	5	txbasex 13539	. . . . 5 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V )
14		unitg 13344	. . . . 5 |- ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. _V -> U. ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = U. ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> U. ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) = U. ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) )
16	8, 12, 15	3eqtr4a 2236	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
17	5	txval 13537	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
18	17	unieqd 3819	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> U. ( R tX S ) = U. ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
19	16, 18	eqtr4d 2213	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) )
20		istopon 13293	. 2 |- ( ( R tX S ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) <-> ( ( R tX S ) e. Top /\ ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) ) )
21	4, 19, 20	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   U.cuni 3808   X. cxp 4622   ran crn 4625   ` cfv 5213  (class class class)co 5870   e. cmpo 5872   topGenctg 12689   Topctop 13277  TopOnctopon 13290   tX ctx 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-topgen 12695  df-top 13278  df-topon 13291  df-bases 13323  df-tx 13535

This theorem is referenced by:  txuni  13545  tx1cn  13551  tx2cn  13552  txcnp  13553  txcnmpt  13555  txdis1cn  13560  txlm  13561  lmcn2  13562  cnmpt12  13569  cnmpt2c  13572  cnmpt21  13573  cnmpt2t  13575  cnmpt22  13576  cnmpt22f  13577  cnmpt2res  13579  cnmptcom  13580  txmetcn  13801  limccnp2lem  13927  limccnp2cntop  13928  dvcnp2cntop  13945  dvaddxxbr  13947  dvmulxxbr  13948  dvcoapbr  13953