Theorem cnrehmeocntop 14096

Description: The canonical bijection from ( RR X. RR ) to CC described in cnref1o 9650 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if ( RR X. RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrehmeo.1	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
cnrehmeo.2	|- J = ( topGen ` ran (,) )
cnrehmeocntop.3	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
cnrehmeocntop	|- F e. ( ( J tX J ) Homeo K )

Distinct variable group:   x, y, K

Allowed substitution hints:   F( x, y)   J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeocntop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrehmeo.1	. . . 4 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
2		cnrehmeo.2	. . . . . . 7 |- J = ( topGen ` ran (,) )
3		retopon 14029	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
4	2, 3	eqeltri 2250	. . . . . 6 |- J e. (TopOn ` RR )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> J e. (TopOn ` RR ) )
6		cnrehmeocntop.3	. . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
7	6	cntoptop 14036	. . . . . . 7 |- K e. Top
8		cnrest2r 13740	. . . . . . 7 |- ( K e. Top -> ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) C_ ( ( J tX J ) Cn K ) )
9	7, 8	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) C_ ( ( J tX J ) Cn K ) )
10	5, 5	cnmpt1st 13791	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
11	6	tgioo2cntop 14052	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( K ↾t RR )
12	2, 11	eqtri 2198	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t RR )
13	12	oveq2i 5886	. . . . . . 7 |- ( ( J tX J ) Cn J ) = ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) )
14	10, 13	eleqtrdi 2270	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) )
15	9, 14	sseldd 3157	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
16	6	cntoptopon 14035	. . . . . . . 8 |- K e. (TopOn ` CC )
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> K e. (TopOn ` CC ) )
18		ax-icn 7906	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> _i e. CC )
20	5, 5, 17, 19	cnmpt2c 13793	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> _i ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
21	5, 5	cnmpt2nd 13792	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
22	21, 13	eleqtrdi 2270	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) )
23	9, 22	sseldd 3157	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
24	6	mulcncntop 14057	. . . . . . 7 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
25	24	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
26	5, 5, 20, 23, 25	cnmpt22f 13798	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> ( _i x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
27	6	addcncntop 14055	. . . . . 6 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
28	27	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
29	5, 5, 15, 26, 28	cnmpt22f 13798	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
30	1, 29	eqeltrid 2264	. . 3 |- ( T. -> F e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
31	1	cnrecnv 10919	. . . 4 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
32		ref 10864	. . . . . . . 8 |- Re : CC --> RR
33	32	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> Re : CC --> RR )
34	33	feqmptd 5570	. . . . . 6 |- ( T. -> Re = ( z e. CC |-> ( Re ` z ) ) )
35		recncf 14076	. . . . . . 7 |- Re e. ( CC -cn-> RR )
36		ssid 3176	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
37		ax-resscn 7903	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
38	16	toponrestid 13524	. . . . . . . . 9 |- K = ( K ↾t CC )
39	6, 38, 12	cncfcncntop 14083	. . . . . . . 8 |- ( ( CC C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) = ( K Cn J ) )
40	36, 37, 39	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( CC -cn-> RR ) = ( K Cn J )
41	35, 40	eleqtri 2252	. . . . . 6 |- Re e. ( K Cn J )
42	34, 41	eqeltrrdi 2269	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( Re ` z ) ) e. ( K Cn J ) )
43		imf 10865	. . . . . . . 8 |- Im : CC --> RR
44	43	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> Im : CC --> RR )
45	44	feqmptd 5570	. . . . . 6 |- ( T. -> Im = ( z e. CC |-> ( Im ` z ) ) )
46		imcncf 14077	. . . . . . 7 |- Im e. ( CC -cn-> RR )
47	46, 40	eleqtri 2252	. . . . . 6 |- Im e. ( K Cn J )
48	45, 47	eqeltrrdi 2269	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( Im ` z ) ) e. ( K Cn J ) )
49	17, 42, 48	cnmpt1t 13788	. . . 4 |- ( T. -> ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) e. ( K Cn ( J tX J ) ) )
50	31, 49	eqeltrid 2264	. . 3 |- ( T. -> `' F e. ( K Cn ( J tX J ) ) )
51		ishmeo 13807	. . 3 |- ( F e. ( ( J tX J ) Homeo K ) <-> ( F e. ( ( J tX J ) Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn ( J tX J ) ) ) )
52	30, 50, 51	sylanbrc 417	. 2 |- ( T. -> F e. ( ( J tX J ) Homeo K ) )
53	52	mptru 1362	1 |- F e. ( ( J tX J ) Homeo K )

Syntax hints:   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   C_ wss 3130   <.cop 3596   |-> cmpt 4065   `'ccnv 4626   ran crn 4628   o. ccom 4631   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   e. cmpo 5877   CCcc 7809   RRcr 7810   _ici 7813   + caddc 7814   x. cmul 7816   - cmin 8128   (,)cioo 9888   Recre 10849   Imcim 10850   abscabs 11006   ↾_t crest 12688   topGenctg 12703   MetOpencmopn 13448   Topctop 13500  TopOnctopon 13513   Cn ccn 13688   tX ctx 13755   Homeochmeo 13803   -cn->ccncf 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-addf 7933  ax-mulf 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-hmeo 13804  df-cncf 14061

This theorem is referenced by: (None)