ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrehmeocntop Unicode version

Theorem cnrehmeocntop 12776
Description: The canonical bijection from  ( RR  X.  RR ) to  CC described in cnref1o 9452 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if  ( RR  X.  RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
cnrehmeo.2  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnrehmeocntop.3  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
Assertion
Ref Expression
cnrehmeocntop  |-  F  e.  ( ( J  tX  J ) Homeo K )
Distinct variable group:    x, y, K
Allowed substitution hints:    F( x, y)    J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeocntop
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 retopon 12709 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
42, 3eqeltri 2212 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
54a1i 9 . . . . 5  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  RR ) )
6 cnrehmeocntop.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
76cntoptop 12716 . . . . . . 7  |-  K  e. 
Top
8 cnrest2r 12420 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
97, 8mp1i 10 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
105, 5cnmpt1st 12471 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
116tgioo2cntop 12732 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
122, 11eqtri 2160 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  RR )
1312oveq2i 5785 . . . . . . 7  |-  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  =  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )
1410, 13eleqtrdi 2232 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
159, 14sseldd 3098 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
166cntoptopon 12715 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1716a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
18 ax-icn 7727 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1918a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
205, 5, 17, 19cnmpt2c 12473 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  _i )  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
215, 5cnmpt2nd 12472 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
2221, 13eleqtrdi 2232 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
239, 22sseldd 3098 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
246mulcncntop 12737 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2524a1i 9 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 12478 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( _i  x.  y
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
276addcncntop 12735 . . . . . 6  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2827a1i 9 . . . . 5  |-  ( T. 
->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 12478 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
301, 29eqeltrid 2226 . . 3  |-  ( T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
311cnrecnv 10694 . . . 4  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
32 ref 10639 . . . . . . . 8  |-  Re : CC
--> RR
3332a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  Re : CC --> RR )
3433feqmptd 5474 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  Re  =  ( z  e.  CC  |->  ( Re
`  z ) ) )
35 recncf 12756 . . . . . . 7  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
36 ssid 3117 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
37 ax-resscn 7724 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3816toponrestid 12202 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Kt  CC )
396, 38, 12cncfcncntop 12763 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( K  Cn  J ) )
4036, 37, 39mp2an 422 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( K  Cn  J )
4135, 40eleqtri 2214 . . . . . 6  |-  Re  e.  ( K  Cn  J
)
4234, 41eqeltrrdi 2231 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Re `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
43 imf 10640 . . . . . . . 8  |-  Im : CC
--> RR
4443a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  Im : CC --> RR )
4544feqmptd 5474 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  Im  =  ( z  e.  CC  |->  ( Im
`  z ) ) )
46 imcncf 12757 . . . . . . 7  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
4746, 40eleqtri 2214 . . . . . 6  |-  Im  e.  ( K  Cn  J
)
4845, 47eqeltrrdi 2231 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Im `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
4917, 42, 48cnmpt1t 12468 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.
)  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
5031, 49eqeltrid 2226 . . 3  |-  ( T. 
->  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
51 ishmeo 12487 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J 
tX  J ) Homeo K )  <->  ( F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) ) )
5230, 50, 51sylanbrc 413 . 2  |-  ( T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
) Homeo K ) )
5352mptru 1340 1  |-  F  e.  ( ( J  tX  J ) Homeo K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1331   T. wtru 1332    e. wcel 1480    C_ wss 3071   <.cop 3530    |-> cmpt 3989   `'ccnv 4538   ran crn 4540    o. ccom 4543   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    e. cmpo 5776   CCcc 7630   RRcr 7631   _ici 7634    + caddc 7635    x. cmul 7637    - cmin 7945   (,)cioo 9683   Recre 10624   Imcim 10625   abscabs 10781   ↾t crest 12134   topGenctg 12149   MetOpencmopn 12168   Topctop 12178  TopOnctopon 12191    Cn ccn 12368    tX ctx 12435   Homeochmeo 12483   -cn->ccncf 12740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752  ax-addf 7754  ax-mulf 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-ioo 9687  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-rest 12136  df-topgen 12155  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-met 12172  df-bl 12173  df-mopn 12174  df-top 12179  df-topon 12192  df-bases 12224  df-cn 12371  df-cnp 12372  df-tx 12436  df-hmeo 12484  df-cncf 12741
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator