Theorem cnrehmeocntop 13387

Description: The canonical bijection from ( RR X. RR ) to CC described in cnref1o 9609 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if ( RR X. RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrehmeo.1	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
cnrehmeo.2	|- J = ( topGen ` ran (,) )
cnrehmeocntop.3	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
cnrehmeocntop	|- F e. ( ( J tX J ) Homeo K )

Distinct variable group:   x, y, K

Allowed substitution hints:   F( x, y)   J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeocntop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrehmeo.1	. . . 4 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
2		cnrehmeo.2	. . . . . . 7 |- J = ( topGen ` ran (,) )
3		retopon 13320	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
4	2, 3	eqeltri 2243	. . . . . 6 |- J e. (TopOn ` RR )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> J e. (TopOn ` RR ) )
6		cnrehmeocntop.3	. . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
7	6	cntoptop 13327	. . . . . . 7 |- K e. Top
8		cnrest2r 13031	. . . . . . 7 |- ( K e. Top -> ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) C_ ( ( J tX J ) Cn K ) )
9	7, 8	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) C_ ( ( J tX J ) Cn K ) )
10	5, 5	cnmpt1st 13082	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
11	6	tgioo2cntop 13343	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( K ↾t RR )
12	2, 11	eqtri 2191	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t RR )
13	12	oveq2i 5864	. . . . . . 7 |- ( ( J tX J ) Cn J ) = ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) )
14	10, 13	eleqtrdi 2263	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) )
15	9, 14	sseldd 3148	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
16	6	cntoptopon 13326	. . . . . . . 8 |- K e. (TopOn ` CC )
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> K e. (TopOn ` CC ) )
18		ax-icn 7869	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> _i e. CC )
20	5, 5, 17, 19	cnmpt2c 13084	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> _i ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
21	5, 5	cnmpt2nd 13083	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
22	21, 13	eleqtrdi 2263	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) )
23	9, 22	sseldd 3148	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
24	6	mulcncntop 13348	. . . . . . 7 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
25	24	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
26	5, 5, 20, 23, 25	cnmpt22f 13089	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> ( _i x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
27	6	addcncntop 13346	. . . . . 6 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
28	27	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
29	5, 5, 15, 26, 28	cnmpt22f 13089	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
30	1, 29	eqeltrid 2257	. . 3 |- ( T. -> F e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
31	1	cnrecnv 10874	. . . 4 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
32		ref 10819	. . . . . . . 8 |- Re : CC --> RR
33	32	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> Re : CC --> RR )
34	33	feqmptd 5549	. . . . . 6 |- ( T. -> Re = ( z e. CC |-> ( Re ` z ) ) )
35		recncf 13367	. . . . . . 7 |- Re e. ( CC -cn-> RR )
36		ssid 3167	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
37		ax-resscn 7866	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
38	16	toponrestid 12813	. . . . . . . . 9 |- K = ( K ↾t CC )
39	6, 38, 12	cncfcncntop 13374	. . . . . . . 8 |- ( ( CC C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) = ( K Cn J ) )
40	36, 37, 39	mp2an 424	. . . . . . 7 |- ( CC -cn-> RR ) = ( K Cn J )
41	35, 40	eleqtri 2245	. . . . . 6 |- Re e. ( K Cn J )
42	34, 41	eqeltrrdi 2262	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( Re ` z ) ) e. ( K Cn J ) )
43		imf 10820	. . . . . . . 8 |- Im : CC --> RR
44	43	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> Im : CC --> RR )
45	44	feqmptd 5549	. . . . . 6 |- ( T. -> Im = ( z e. CC |-> ( Im ` z ) ) )
46		imcncf 13368	. . . . . . 7 |- Im e. ( CC -cn-> RR )
47	46, 40	eleqtri 2245	. . . . . 6 |- Im e. ( K Cn J )
48	45, 47	eqeltrrdi 2262	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( Im ` z ) ) e. ( K Cn J ) )
49	17, 42, 48	cnmpt1t 13079	. . . 4 |- ( T. -> ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) e. ( K Cn ( J tX J ) ) )
50	31, 49	eqeltrid 2257	. . 3 |- ( T. -> `' F e. ( K Cn ( J tX J ) ) )
51		ishmeo 13098	. . 3 |- ( F e. ( ( J tX J ) Homeo K ) <-> ( F e. ( ( J tX J ) Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn ( J tX J ) ) ) )
52	30, 50, 51	sylanbrc 415	. 2 |- ( T. -> F e. ( ( J tX J ) Homeo K ) )
53	52	mptru 1357	1 |- F e. ( ( J tX J ) Homeo K )

Syntax hints:   = wceq 1348   T. wtru 1349   e. wcel 2141   C_ wss 3121   <.cop 3586   |-> cmpt 4050   `'ccnv 4610   ran crn 4612   o. ccom 4615   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   CCcc 7772   RRcr 7773   _ici 7776   + caddc 7777   x. cmul 7779   - cmin 8090   (,)cioo 9845   Recre 10804   Imcim 10805   abscabs 10961   ↾_t crest 12579   topGenctg 12594   MetOpencmopn 12779   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979   tX ctx 13046   Homeochmeo 13094   -cn->ccncf 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-hmeo 13095  df-cncf 13352

This theorem is referenced by: (None)