Theorem cnrehmeocntop 14930

Description: The canonical bijection from ( RR X. RR ) to CC described in cnref1o 9742 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if ( RR X. RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrehmeo.1	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
cnrehmeo.2	|- J = ( topGen ` ran (,) )
cnrehmeocntop.3	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
cnrehmeocntop	|- F e. ( ( J tX J ) Homeo K )

Distinct variable group:   x, y, K

Allowed substitution hints:   F( x, y)   J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeocntop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrehmeo.1	. . . 4 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
2		cnrehmeo.2	. . . . . . 7 |- J = ( topGen ` ran (,) )
3		retopon 14846	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
4	2, 3	eqeltri 2269	. . . . . 6 |- J e. (TopOn ` RR )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> J e. (TopOn ` RR ) )
6		cnrehmeocntop.3	. . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
7	6	cntoptop 14853	. . . . . . 7 |- K e. Top
8		cnrest2r 14557	. . . . . . 7 |- ( K e. Top -> ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) C_ ( ( J tX J ) Cn K ) )
9	7, 8	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) C_ ( ( J tX J ) Cn K ) )
10	5, 5	cnmpt1st 14608	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
11	6	tgioo2cntop 14877	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( K ↾t RR )
12	2, 11	eqtri 2217	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t RR )
13	12	oveq2i 5936	. . . . . . 7 |- ( ( J tX J ) Cn J ) = ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) )
14	10, 13	eleqtrdi 2289	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) )
15	9, 14	sseldd 3185	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
16	6	cntoptopon 14852	. . . . . . . 8 |- K e. (TopOn ` CC )
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> K e. (TopOn ` CC ) )
18		ax-icn 7991	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> _i e. CC )
20	5, 5, 17, 19	cnmpt2c 14610	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> _i ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
21	5, 5	cnmpt2nd 14609	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
22	21, 13	eleqtrdi 2289	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) )
23	9, 22	sseldd 3185	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
24	6	mulcncntop 14884	. . . . . . 7 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
25	24	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
26	5, 5, 20, 23, 25	cnmpt22f 14615	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> ( _i x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
27	6	addcncntop 14882	. . . . . 6 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
28	27	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
29	5, 5, 15, 26, 28	cnmpt22f 14615	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
30	1, 29	eqeltrid 2283	. . 3 |- ( T. -> F e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
31	1	cnrecnv 11092	. . . 4 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
32		ref 11037	. . . . . . . 8 |- Re : CC --> RR
33	32	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> Re : CC --> RR )
34	33	feqmptd 5617	. . . . . 6 |- ( T. -> Re = ( z e. CC |-> ( Re ` z ) ) )
35		recncf 14906	. . . . . . 7 |- Re e. ( CC -cn-> RR )
36		ssid 3204	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
37		ax-resscn 7988	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
38	16	toponrestid 14341	. . . . . . . . 9 |- K = ( K ↾t CC )
39	6, 38, 12	cncfcncntop 14913	. . . . . . . 8 |- ( ( CC C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) = ( K Cn J ) )
40	36, 37, 39	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( CC -cn-> RR ) = ( K Cn J )
41	35, 40	eleqtri 2271	. . . . . 6 |- Re e. ( K Cn J )
42	34, 41	eqeltrrdi 2288	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( Re ` z ) ) e. ( K Cn J ) )
43		imf 11038	. . . . . . . 8 |- Im : CC --> RR
44	43	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> Im : CC --> RR )
45	44	feqmptd 5617	. . . . . 6 |- ( T. -> Im = ( z e. CC |-> ( Im ` z ) ) )
46		imcncf 14907	. . . . . . 7 |- Im e. ( CC -cn-> RR )
47	46, 40	eleqtri 2271	. . . . . 6 |- Im e. ( K Cn J )
48	45, 47	eqeltrrdi 2288	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( Im ` z ) ) e. ( K Cn J ) )
49	17, 42, 48	cnmpt1t 14605	. . . 4 |- ( T. -> ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) e. ( K Cn ( J tX J ) ) )
50	31, 49	eqeltrid 2283	. . 3 |- ( T. -> `' F e. ( K Cn ( J tX J ) ) )
51		ishmeo 14624	. . 3 |- ( F e. ( ( J tX J ) Homeo K ) <-> ( F e. ( ( J tX J ) Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn ( J tX J ) ) ) )
52	30, 50, 51	sylanbrc 417	. 2 |- ( T. -> F e. ( ( J tX J ) Homeo K ) )
53	52	mptru 1373	1 |- F e. ( ( J tX J ) Homeo K )

Syntax hints:   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2167   C_ wss 3157   <.cop 3626   |-> cmpt 4095   `'ccnv 4663   ran crn 4665   o. ccom 4668   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927   CCcc 7894   RRcr 7895   _ici 7898   + caddc 7899   x. cmul 7901   - cmin 8214   (,)cioo 9980   Recre 11022   Imcim 11023   abscabs 11179   ↾_t crest 12941   topGenctg 12956   MetOpencmopn 14173   Topctop 14317  TopOnctopon 14330   Cn ccn 14505   tX ctx 14572   Homeochmeo 14620   -cn->ccncf 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-ioo 9984  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-tx 14573  df-hmeo 14621  df-cncf 14891

This theorem is referenced by: (None)