Theorem cnrehmeocntop 14789

Description: The canonical bijection from ( RR X. RR ) to CC described in cnref1o 9719 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if ( RR X. RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrehmeo.1	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
cnrehmeo.2	|- J = ( topGen ` ran (,) )
cnrehmeocntop.3	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
cnrehmeocntop	|- F e. ( ( J tX J ) Homeo K )

Distinct variable group:   x, y, K

Allowed substitution hints:   F( x, y)   J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeocntop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrehmeo.1	. . . 4 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
2		cnrehmeo.2	. . . . . . 7 |- J = ( topGen ` ran (,) )
3		retopon 14705	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
4	2, 3	eqeltri 2266	. . . . . 6 |- J e. (TopOn ` RR )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> J e. (TopOn ` RR ) )
6		cnrehmeocntop.3	. . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
7	6	cntoptop 14712	. . . . . . 7 |- K e. Top
8		cnrest2r 14416	. . . . . . 7 |- ( K e. Top -> ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) C_ ( ( J tX J ) Cn K ) )
9	7, 8	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) C_ ( ( J tX J ) Cn K ) )
10	5, 5	cnmpt1st 14467	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
11	6	tgioo2cntop 14736	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( K ↾t RR )
12	2, 11	eqtri 2214	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t RR )
13	12	oveq2i 5930	. . . . . . 7 |- ( ( J tX J ) Cn J ) = ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) )
14	10, 13	eleqtrdi 2286	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) )
15	9, 14	sseldd 3181	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
16	6	cntoptopon 14711	. . . . . . . 8 |- K e. (TopOn ` CC )
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> K e. (TopOn ` CC ) )
18		ax-icn 7969	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> _i e. CC )
20	5, 5, 17, 19	cnmpt2c 14469	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> _i ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
21	5, 5	cnmpt2nd 14468	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
22	21, 13	eleqtrdi 2286	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) )
23	9, 22	sseldd 3181	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
24	6	mulcncntop 14743	. . . . . . 7 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
25	24	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
26	5, 5, 20, 23, 25	cnmpt22f 14474	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> ( _i x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
27	6	addcncntop 14741	. . . . . 6 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
28	27	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
29	5, 5, 15, 26, 28	cnmpt22f 14474	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
30	1, 29	eqeltrid 2280	. . 3 |- ( T. -> F e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
31	1	cnrecnv 11057	. . . 4 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
32		ref 11002	. . . . . . . 8 |- Re : CC --> RR
33	32	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> Re : CC --> RR )
34	33	feqmptd 5611	. . . . . 6 |- ( T. -> Re = ( z e. CC |-> ( Re ` z ) ) )
35		recncf 14765	. . . . . . 7 |- Re e. ( CC -cn-> RR )
36		ssid 3200	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
37		ax-resscn 7966	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
38	16	toponrestid 14200	. . . . . . . . 9 |- K = ( K ↾t CC )
39	6, 38, 12	cncfcncntop 14772	. . . . . . . 8 |- ( ( CC C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) = ( K Cn J ) )
40	36, 37, 39	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( CC -cn-> RR ) = ( K Cn J )
41	35, 40	eleqtri 2268	. . . . . 6 |- Re e. ( K Cn J )
42	34, 41	eqeltrrdi 2285	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( Re ` z ) ) e. ( K Cn J ) )
43		imf 11003	. . . . . . . 8 |- Im : CC --> RR
44	43	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> Im : CC --> RR )
45	44	feqmptd 5611	. . . . . 6 |- ( T. -> Im = ( z e. CC |-> ( Im ` z ) ) )
46		imcncf 14766	. . . . . . 7 |- Im e. ( CC -cn-> RR )
47	46, 40	eleqtri 2268	. . . . . 6 |- Im e. ( K Cn J )
48	45, 47	eqeltrrdi 2285	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( Im ` z ) ) e. ( K Cn J ) )
49	17, 42, 48	cnmpt1t 14464	. . . 4 |- ( T. -> ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) e. ( K Cn ( J tX J ) ) )
50	31, 49	eqeltrid 2280	. . 3 |- ( T. -> `' F e. ( K Cn ( J tX J ) ) )
51		ishmeo 14483	. . 3 |- ( F e. ( ( J tX J ) Homeo K ) <-> ( F e. ( ( J tX J ) Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn ( J tX J ) ) ) )
52	30, 50, 51	sylanbrc 417	. 2 |- ( T. -> F e. ( ( J tX J ) Homeo K ) )
53	52	mptru 1373	1 |- F e. ( ( J tX J ) Homeo K )

Syntax hints:   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2164   C_ wss 3154   <.cop 3622   |-> cmpt 4091   `'ccnv 4659   ran crn 4661   o. ccom 4664   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921   CCcc 7872   RRcr 7873   _ici 7876   + caddc 7877   x. cmul 7879   - cmin 8192   (,)cioo 9957   Recre 10987   Imcim 10988   abscabs 11144   ↾_t crest 12853   topGenctg 12868   MetOpencmopn 14040   Topctop 14176  TopOnctopon 14189   Cn ccn 14364   tX ctx 14431   Homeochmeo 14479   -cn->ccncf 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-map 6706  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-ioo 9961  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432  df-hmeo 14480  df-cncf 14750

This theorem is referenced by: (None)