Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrehmeocntop Unicode version

Theorem cnrehmeocntop 12776
 Description: The canonical bijection from to described in cnref1o 9452 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if is metrized with the l2 norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1
cnrehmeo.2
cnrehmeocntop.3
Assertion
Ref Expression
cnrehmeocntop
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem cnrehmeocntop
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7
3 retopon 12709 . . . . . . 7 TopOn
42, 3eqeltri 2212 . . . . . 6 TopOn
54a1i 9 . . . . 5 TopOn
6 cnrehmeocntop.3 . . . . . . . 8
76cntoptop 12716 . . . . . . 7
8 cnrest2r 12420 . . . . . . 7 t
97, 8mp1i 10 . . . . . 6 t
105, 5cnmpt1st 12471 . . . . . . 7
116tgioo2cntop 12732 . . . . . . . . 9 t
122, 11eqtri 2160 . . . . . . . 8 t
1312oveq2i 5785 . . . . . . 7 t
1410, 13eleqtrdi 2232 . . . . . 6 t
159, 14sseldd 3098 . . . . 5
166cntoptopon 12715 . . . . . . . 8 TopOn
1716a1i 9 . . . . . . 7 TopOn
18 ax-icn 7727 . . . . . . . 8
1918a1i 9 . . . . . . 7
205, 5, 17, 19cnmpt2c 12473 . . . . . 6
215, 5cnmpt2nd 12472 . . . . . . . 8
2221, 13eleqtrdi 2232 . . . . . . 7 t
239, 22sseldd 3098 . . . . . 6
246mulcncntop 12737 . . . . . . 7
2524a1i 9 . . . . . 6
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 12478 . . . . 5
276addcncntop 12735 . . . . . 6
2827a1i 9 . . . . 5
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 12478 . . . 4
301, 29eqeltrid 2226 . . 3
311cnrecnv 10694 . . . 4
32 ref 10639 . . . . . . . 8
3332a1i 9 . . . . . . 7
3433feqmptd 5474 . . . . . 6
35 recncf 12756 . . . . . . 7
36 ssid 3117 . . . . . . . 8
37 ax-resscn 7724 . . . . . . . 8
3816toponrestid 12202 . . . . . . . . 9 t
396, 38, 12cncfcncntop 12763 . . . . . . . 8
4036, 37, 39mp2an 422 . . . . . . 7
4135, 40eleqtri 2214 . . . . . 6
4234, 41eqeltrrdi 2231 . . . . 5
43 imf 10640 . . . . . . . 8
4443a1i 9 . . . . . . 7
4544feqmptd 5474 . . . . . 6
46 imcncf 12757 . . . . . . 7
4746, 40eleqtri 2214 . . . . . 6
4845, 47eqeltrrdi 2231 . . . . 5
4917, 42, 48cnmpt1t 12468 . . . 4
5031, 49eqeltrid 2226 . . 3
51 ishmeo 12487 . . 3
5230, 50, 51sylanbrc 413 . 2
5352mptru 1340 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1331   wtru 1332   wcel 1480   wss 3071  cop 3530   cmpt 3989  ccnv 4538   crn 4540   ccom 4543  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774   cmpo 5776  cc 7630  cr 7631  ci 7634   caddc 7635   cmul 7637   cmin 7945  cioo 9683  cre 10624  cim 10625  cabs 10781   ↾t crest 12134  ctg 12149  cmopn 12168  ctop 12178  TopOnctopon 12191   ccn 12368   ctx 12435  chmeo 12483  ccncf 12740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752  ax-addf 7754  ax-mulf 7755 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-ioo 9687  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-rest 12136  df-topgen 12155  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-met 12172  df-bl 12173  df-mopn 12174  df-top 12179  df-topon 12192  df-bases 12224  df-cn 12371  df-cnp 12372  df-tx 12436  df-hmeo 12484  df-cncf 12741 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator