ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrehmeocntop Unicode version

Theorem cnrehmeocntop 13986
Description: The canonical bijection from  ( RR  X.  RR ) to  CC described in cnref1o 9648 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if  ( RR  X.  RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
cnrehmeo.2  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnrehmeocntop.3  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
Assertion
Ref Expression
cnrehmeocntop  |-  F  e.  ( ( J  tX  J ) Homeo K )
Distinct variable group:    x, y, K
Allowed substitution hints:    F( x, y)    J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeocntop
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 retopon 13919 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
42, 3eqeltri 2250 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
54a1i 9 . . . . 5  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  RR ) )
6 cnrehmeocntop.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
76cntoptop 13926 . . . . . . 7  |-  K  e. 
Top
8 cnrest2r 13630 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
97, 8mp1i 10 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )  C_  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
105, 5cnmpt1st 13681 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
116tgioo2cntop 13942 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
122, 11eqtri 2198 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  RR )
1312oveq2i 5885 . . . . . . 7  |-  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  =  ( ( J  tX  J )  Cn  ( Kt  RR ) )
1410, 13eleqtrdi 2270 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
159, 14sseldd 3156 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
166cntoptopon 13925 . . . . . . . 8  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1716a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
18 ax-icn 7905 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1918a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
205, 5, 17, 19cnmpt2c 13683 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  _i )  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
215, 5cnmpt2nd 13682 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
2221, 13eleqtrdi 2270 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  ( Kt  RR ) ) )
239, 22sseldd 3156 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
246mulcncntop 13947 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2524a1i 9 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 13688 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( _i  x.  y
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
276addcncntop 13945 . . . . . 6  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
2827a1i 9 . . . . 5  |-  ( T. 
->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 13688 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
301, 29eqeltrid 2264 . . 3  |-  ( T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
311cnrecnv 10914 . . . 4  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
32 ref 10859 . . . . . . . 8  |-  Re : CC
--> RR
3332a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  Re : CC --> RR )
3433feqmptd 5569 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  Re  =  ( z  e.  CC  |->  ( Re
`  z ) ) )
35 recncf 13966 . . . . . . 7  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
36 ssid 3175 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
37 ax-resscn 7902 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3816toponrestid 13412 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Kt  CC )
396, 38, 12cncfcncntop 13973 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( K  Cn  J ) )
4036, 37, 39mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( K  Cn  J )
4135, 40eleqtri 2252 . . . . . 6  |-  Re  e.  ( K  Cn  J
)
4234, 41eqeltrrdi 2269 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Re `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
43 imf 10860 . . . . . . . 8  |-  Im : CC
--> RR
4443a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  Im : CC --> RR )
4544feqmptd 5569 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  Im  =  ( z  e.  CC  |->  ( Im
`  z ) ) )
46 imcncf 13967 . . . . . . 7  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
4746, 40eleqtri 2252 . . . . . 6  |-  Im  e.  ( K  Cn  J
)
4845, 47eqeltrrdi 2269 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  ( Im `  z ) )  e.  ( K  Cn  J ) )
4917, 42, 48cnmpt1t 13678 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.
)  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
5031, 49eqeltrid 2264 . . 3  |-  ( T. 
->  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) )
51 ishmeo 13697 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J 
tX  J ) Homeo K )  <->  ( F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  ( J  tX  J ) ) ) )
5230, 50, 51sylanbrc 417 . 2  |-  ( T. 
->  F  e.  (
( J  tX  J
) Homeo K ) )
5352mptru 1362 1  |-  F  e.  ( ( J  tX  J ) Homeo K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1353   T. wtru 1354    e. wcel 2148    C_ wss 3129   <.cop 3595    |-> cmpt 4064   `'ccnv 4625   ran crn 4627    o. ccom 4630   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874    e. cmpo 5876   CCcc 7808   RRcr 7809   _ici 7812    + caddc 7813    x. cmul 7815    - cmin 8126   (,)cioo 9886   Recre 10844   Imcim 10845   abscabs 11001   ↾t crest 12678   topGenctg 12693   MetOpencmopn 13336   Topctop 13388  TopOnctopon 13401    Cn ccn 13578    tX ctx 13645   Homeochmeo 13693   -cn->ccncf 13950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-addf 7932  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-ioo 9890  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-rest 12680  df-topgen 12699  df-psmet 13338  df-xmet 13339  df-met 13340  df-bl 13341  df-mopn 13342  df-top 13389  df-topon 13402  df-bases 13434  df-cn 13581  df-cnp 13582  df-tx 13646  df-hmeo 13694  df-cncf 13951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator