Theorem cnrehmeocntop 15115

Description: The canonical bijection from ( RR X. RR ) to CC described in cnref1o 9774 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if ( RR X. RR ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrehmeo.1	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
cnrehmeo.2	|- J = ( topGen ` ran (,) )
cnrehmeocntop.3	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
cnrehmeocntop	|- F e. ( ( J tX J ) Homeo K )

Distinct variable group:   x, y, K

Allowed substitution hints:   F( x, y)   J( x, y)

Proof of Theorem cnrehmeocntop

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrehmeo.1	. . . 4 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
2		cnrehmeo.2	. . . . . . 7 |- J = ( topGen ` ran (,) )
3		retopon 15031	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
4	2, 3	eqeltri 2278	. . . . . 6 |- J e. (TopOn ` RR )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> J e. (TopOn ` RR ) )
6		cnrehmeocntop.3	. . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
7	6	cntoptop 15038	. . . . . . 7 |- K e. Top
8		cnrest2r 14742	. . . . . . 7 |- ( K e. Top -> ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) C_ ( ( J tX J ) Cn K ) )
9	7, 8	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) C_ ( ( J tX J ) Cn K ) )
10	5, 5	cnmpt1st 14793	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
11	6	tgioo2cntop 15062	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( K ↾t RR )
12	2, 11	eqtri 2226	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t RR )
13	12	oveq2i 5957	. . . . . . 7 |- ( ( J tX J ) Cn J ) = ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) )
14	10, 13	eleqtrdi 2298	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) )
15	9, 14	sseldd 3194	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> x ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
16	6	cntoptopon 15037	. . . . . . . 8 |- K e. (TopOn ` CC )
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> K e. (TopOn ` CC ) )
18		ax-icn 8022	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> _i e. CC )
20	5, 5, 17, 19	cnmpt2c 14795	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> _i ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
21	5, 5	cnmpt2nd 14794	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
22	21, 13	eleqtrdi 2298	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn ( K ↾t RR ) ) )
23	9, 22	sseldd 3194	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> y ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
24	6	mulcncntop 15069	. . . . . . 7 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
25	24	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
26	5, 5, 20, 23, 25	cnmpt22f 14800	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> ( _i x. y ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
27	6	addcncntop 15067	. . . . . 6 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
28	27	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
29	5, 5, 15, 26, 28	cnmpt22f 14800	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) ) e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
30	1, 29	eqeltrid 2292	. . 3 |- ( T. -> F e. ( ( J tX J ) Cn K ) )
31	1	cnrecnv 11254	. . . 4 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
32		ref 11199	. . . . . . . 8 |- Re : CC --> RR
33	32	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> Re : CC --> RR )
34	33	feqmptd 5634	. . . . . 6 |- ( T. -> Re = ( z e. CC |-> ( Re ` z ) ) )
35		recncf 15091	. . . . . . 7 |- Re e. ( CC -cn-> RR )
36		ssid 3213	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
37		ax-resscn 8019	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
38	16	toponrestid 14526	. . . . . . . . 9 |- K = ( K ↾t CC )
39	6, 38, 12	cncfcncntop 15098	. . . . . . . 8 |- ( ( CC C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) = ( K Cn J ) )
40	36, 37, 39	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( CC -cn-> RR ) = ( K Cn J )
41	35, 40	eleqtri 2280	. . . . . 6 |- Re e. ( K Cn J )
42	34, 41	eqeltrrdi 2297	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( Re ` z ) ) e. ( K Cn J ) )
43		imf 11200	. . . . . . . 8 |- Im : CC --> RR
44	43	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> Im : CC --> RR )
45	44	feqmptd 5634	. . . . . 6 |- ( T. -> Im = ( z e. CC |-> ( Im ` z ) ) )
46		imcncf 15092	. . . . . . 7 |- Im e. ( CC -cn-> RR )
47	46, 40	eleqtri 2280	. . . . . 6 |- Im e. ( K Cn J )
48	45, 47	eqeltrrdi 2297	. . . . 5 |- ( T. -> ( z e. CC |-> ( Im ` z ) ) e. ( K Cn J ) )
49	17, 42, 48	cnmpt1t 14790	. . . 4 |- ( T. -> ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) e. ( K Cn ( J tX J ) ) )
50	31, 49	eqeltrid 2292	. . 3 |- ( T. -> `' F e. ( K Cn ( J tX J ) ) )
51		ishmeo 14809	. . 3 |- ( F e. ( ( J tX J ) Homeo K ) <-> ( F e. ( ( J tX J ) Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn ( J tX J ) ) ) )
52	30, 50, 51	sylanbrc 417	. 2 |- ( T. -> F e. ( ( J tX J ) Homeo K ) )
53	52	mptru 1382	1 |- F e. ( ( J tX J ) Homeo K )

Syntax hints:   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2176   C_ wss 3166   <.cop 3636   |-> cmpt 4106   `'ccnv 4675   ran crn 4677   o. ccom 4680   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948   CCcc 7925   RRcr 7926   _ici 7929   + caddc 7930   x. cmul 7932   - cmin 8245   (,)cioo 10012   Recre 11184   Imcim 11185   abscabs 11341   ↾_t crest 13104   topGenctg 13119   MetOpencmopn 14336   Topctop 14502  TopOnctopon 14515   Cn ccn 14690   tX ctx 14757   Homeochmeo 14805   -cn->ccncf 15075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047  ax-addf 8049  ax-mulf 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-map 6739  df-sup 7088  df-inf 7089  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-xneg 9896  df-xadd 9897  df-ioo 10016  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-rest 13106  df-topgen 13125  df-psmet 14338  df-xmet 14339  df-met 14340  df-bl 14341  df-mopn 14342  df-top 14503  df-topon 14516  df-bases 14548  df-cn 14693  df-cnp 14694  df-tx 14758  df-hmeo 14806  df-cncf 15076

This theorem is referenced by: (None)