Theorem cvg1nlemf 11727

Description: Lemma for cvg1n 11730. The modified sequence G is a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
cvg1nlem.g	|- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
cvg1nlem.z	|- ( ph -> Z e. NN )
cvg1nlem.start	|- ( ph -> C < Z )

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemf	|- ( ph -> G : NN --> RR )

Distinct variable group:   ph, j

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   C( j, k, n)   F( j, k, n)   G( j, k, n)   Z( j, k, n)

Proof of Theorem cvg1nlemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> F : NN --> RR )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
4		cvg1nlem.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. NN )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Z e. NN )
6	3, 5	nnmulcld 9332	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j x. Z ) e. NN )
7	2, 6	ffvelcdmd 5835	. 2 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` ( j x. Z ) ) e. RR )
8		cvg1nlem.g	. 2 |- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
9	7, 8	fmptd 5853	1 |- ( ph -> G : NN --> RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   / cdiv 8992   NNcn 9283   ZZ>=cuz 9900   RR+crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-1rid 8276  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  11729