Theorem cvg1nlemf 10479

Description: Lemma for cvg1n 10482. The modified sequence G is a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
cvg1nlem.g	|- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
cvg1nlem.z	|- ( ph -> Z e. NN )
cvg1nlem.start	|- ( ph -> C < Z )

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemf	|- ( ph -> G : NN --> RR )

Distinct variable group:   ph, j

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   C( j, k, n)   F( j, k, n)   G( j, k, n)   Z( j, k, n)

Proof of Theorem cvg1nlemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
2	1	adantr 271	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> F : NN --> RR )
3		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
4		cvg1nlem.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. NN )
5	4	adantr 271	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Z e. NN )
6	3, 5	nnmulcld 8534	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j x. Z ) e. NN )
7	2, 6	ffvelrnd 5451	. 2 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` ( j x. Z ) ) e. RR )
8		cvg1nlem.g	. 2 |- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
9	7, 8	fmptd 5468	1 |- ( ph -> G : NN --> RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   A.wral 2360   class class class wbr 3853   |-> cmpt 3907   -->wf 5026   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   RRcr 7412   + caddc 7416   x. cmul 7418   < clt 7585   / cdiv 8202   NNcn 8485   ZZ>=cuz 9082   RR+crp 9197

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-1rid 7515  ax-cnre 7519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-ov 5671  df-inn 8486

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10481