Theorem cvg1nlemf 10934

Description: Lemma for cvg1n 10937. The modified sequence G is a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
cvg1nlem.g	|- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
cvg1nlem.z	|- ( ph -> Z e. NN )
cvg1nlem.start	|- ( ph -> C < Z )

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemf	|- ( ph -> G : NN --> RR )

Distinct variable group:   ph, j

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   C( j, k, n)   F( j, k, n)   G( j, k, n)   Z( j, k, n)

Proof of Theorem cvg1nlemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> F : NN --> RR )
3		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
4		cvg1nlem.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. NN )
5	4	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Z e. NN )
6	3, 5	nnmulcld 8914	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j x. Z ) e. NN )
7	2, 6	ffvelrnd 5629	. 2 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` ( j x. Z ) ) e. RR )
8		cvg1nlem.g	. 2 |- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
9	7, 8	fmptd 5647	1 |- ( ph -> G : NN --> RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   class class class wbr 3987   |-> cmpt 4048   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   RRcr 7760   + caddc 7764   x. cmul 7766   < clt 7941   / cdiv 8576   NNcn 8865   ZZ>=cuz 9474   RR+crp 9597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-1rid 7868  ax-cnre 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5853  df-inn 8866

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10936