Theorem cvg1nlemf 10787

Description: Lemma for cvg1n 10790. The modified sequence G is a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
cvg1nlem.g	|- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
cvg1nlem.z	|- ( ph -> Z e. NN )
cvg1nlem.start	|- ( ph -> C < Z )

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemf	|- ( ph -> G : NN --> RR )

Distinct variable group:   ph, j

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   C( j, k, n)   F( j, k, n)   G( j, k, n)   Z( j, k, n)

Proof of Theorem cvg1nlemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> F : NN --> RR )
3		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
4		cvg1nlem.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. NN )
5	4	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Z e. NN )
6	3, 5	nnmulcld 8793	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j x. Z ) e. NN )
7	2, 6	ffvelrnd 5564	. 2 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` ( j x. Z ) ) e. RR )
8		cvg1nlem.g	. 2 |- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
9	7, 8	fmptd 5582	1 |- ( ph -> G : NN --> RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   + caddc 7647   x. cmul 7649   < clt 7824   / cdiv 8456   NNcn 8744   ZZ>=cuz 9350   RR+crp 9470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-1rid 7751  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-inn 8745

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10789