ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvg1nlemf GIF version

Theorem cvg1nlemf 10995
Description: Lemma for cvg1n 10998. The modified sequence 𝐺 is a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
cvg1n.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΉβ€˜π‘›) < ((πΉβ€˜π‘˜) + (𝐢 / 𝑛)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) < ((πΉβ€˜π‘›) + (𝐢 / 𝑛))))
cvg1nlem.g 𝐺 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜(𝑗 Β· 𝑍)))
cvg1nlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ β„•)
cvg1nlem.start (πœ‘ β†’ 𝐢 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemf (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
Distinct variable group:   πœ‘,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜,𝑛)   𝐢(𝑗,π‘˜,𝑛)   𝐹(𝑗,π‘˜,𝑛)   𝐺(𝑗,π‘˜,𝑛)   𝑍(𝑗,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem cvg1nlemf
StepHypRef Expression
1 cvg1n.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
21adantr 276 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
3 simpr 110 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
4 cvg1nlem.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ β„•)
54adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑍 ∈ β„•)
63, 5nnmulcld 8971 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 Β· 𝑍) ∈ β„•)
72, 6ffvelcdmd 5655 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 Β· 𝑍)) ∈ ℝ)
8 cvg1nlem.g . 2 𝐺 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜(𝑗 Β· 𝑍)))
97, 8fmptd 5673 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  β„cr 7813   + caddc 7817   Β· cmul 7819   < clt 7995   / cdiv 8632  β„•cn 8922  β„€β‰₯cuz 9531  β„+crp 9656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-1rid 7921  ax-cnre 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-inn 8923
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10997
  Copyright terms: Public domain W3C validator