Theorem cvg1nlemf 11509

Description: Lemma for cvg1n 11512. The modified sequence 𝐺 is a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
cvg1nlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
cvg1nlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlem.start	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemf	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)

Distinct variable group:   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem cvg1nlemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
4		cvg1nlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℕ)
6	3, 5	nnmulcld 9170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · 𝑍) ∈ ℕ)
7	2, 6	ffvelcdmd 5773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) ∈ ℝ)
8		cvg1nlem.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
9	7, 8	fmptd 5791	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℝcr 8009   + caddc 8013   · cmul 8015   < clt 8192   / cdiv 8830  ℕcn 9121  ℤ_≥cuz 9733  ℝ⁺crp 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-1rid 8117  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  11511