Theorem cvg1nlemf 11727

Description: Lemma for cvg1n 11730. The modified sequence 𝐺 is a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
cvg1nlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
cvg1nlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlem.start	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemf	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)

Distinct variable group:   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem cvg1nlemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
4		cvg1nlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℕ)
6	3, 5	nnmulcld 9332	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · 𝑍) ∈ ℕ)
7	2, 6	ffvelcdmd 5835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) ∈ ℝ)
8		cvg1nlem.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
9	7, 8	fmptd 5853	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℝcr 8168   + caddc 8172   · cmul 8174   < clt 8350   / cdiv 8992  ℕcn 9283  ℤ_≥cuz 9900  ℝ⁺crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-1rid 8276  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  11729