Theorem cvg1nlemf 10984

Description: Lemma for cvg1n 10987. The modified sequence 𝐺 is a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
cvg1nlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
cvg1nlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlem.start	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemf	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)

Distinct variable group:   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem cvg1nlemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
4		cvg1nlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℕ)
6	3, 5	nnmulcld 8963	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · 𝑍) ∈ ℕ)
7	2, 6	ffvelcdmd 5650	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) ∈ ℝ)
8		cvg1nlem.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
9	7, 8	fmptd 5668	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4002   ↦ cmpt 4063  ⟶wf 5210  ‘cfv 5214  (class class class)co 5871  ℝcr 7806   + caddc 7810   · cmul 7812   < clt 7987   / cdiv 8624  ℕcn 8914  ℤ_≥cuz 9523  ℝ⁺crp 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-1rid 7914  ax-cnre 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-ov 5874  df-inn 8915

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10986