Theorem cvg1nlemf 11543

Description: Lemma for cvg1n 11546. The modified sequence 𝐺 is a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
cvg1nlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
cvg1nlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlem.start	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemf	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)

Distinct variable group:   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem cvg1nlemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
4		cvg1nlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℕ)
6	3, 5	nnmulcld 9191	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · 𝑍) ∈ ℕ)
7	2, 6	ffvelcdmd 5783	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) ∈ ℝ)
8		cvg1nlem.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
9	7, 8	fmptd 5801	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℝcr 8030   + caddc 8034   · cmul 8036   < clt 8213   / cdiv 8851  ℕcn 9142  ℤ_≥cuz 9754  ℝ⁺crp 9887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-1rid 8138  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  11545