ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvg1nlemf GIF version

Theorem cvg1nlemf 10987
Description: Lemma for cvg1n 10990. The modified sequence 𝐺 is a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
cvg1nlem.g 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
cvg1nlem.z (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlem.start (𝜑𝐶 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemf (𝜑𝐺:ℕ⟶ℝ)
Distinct variable group:   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑗,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem cvg1nlemf
StepHypRef Expression
1 cvg1n.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
21adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3 simpr 110 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
4 cvg1nlem.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
54adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℕ)
63, 5nnmulcld 8966 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · 𝑍) ∈ ℕ)
72, 6ffvelcdmd 5652 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) ∈ ℝ)
8 cvg1nlem.g . 2 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
97, 8fmptd 5670 1 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455   class class class wbr 4003  cmpt 4064  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  cr 7809   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7990   / cdiv 8627  cn 8917  cuz 9526  +crp 9651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-1rid 7917  ax-cnre 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-inn 8918
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10989
  Copyright terms: Public domain W3C validator