Theorem cvg1nlemcau 11694

Description: Lemma for cvg1n 11696. By selecting spaced out terms for the modified sequence G, the terms are within 1 / n (without the constant C). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
cvg1nlem.g	|- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
cvg1nlem.z	|- ( ph -> Z e. NN )
cvg1nlem.start	|- ( ph -> C < Z )

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemcau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

Distinct variable groups:   C, n, k   n, F, j, k   j, Z   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( j)   C( j)   G( j, k, n)   Z( k, n)

Proof of Theorem cvg1nlemcau

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
2		cvg1n.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR )
3	2	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> RR )
4		cvg1nlem.z	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. NN )
5	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> Z e. NN )
6	1, 5	nnmulcld 9303	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) e. NN )
7	3, 6	ffvelcdmd 5818	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` ( n x. Z ) ) e. RR )
8		oveq1 6065	. . . . . . . . 9 |- ( j = n -> ( j x. Z ) = ( n x. Z ) )
9	8	fveq2d 5679	. . . . . . . 8 |- ( j = n -> ( F ` ( j x. Z ) ) = ( F ` ( n x. Z ) ) )
10		cvg1nlem.g	. . . . . . . 8 |- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
11	9, 10	fvmptg 5758	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( F ` ( n x. Z ) ) e. RR ) -> ( G ` n ) = ( F ` ( n x. Z ) ) )
12	1, 7, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) = ( F ` ( n x. Z ) ) )
13	12, 7	eqeltrd 2311	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) e. RR )
14		eluznn 9950	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
15	14	adantll 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
16	15, 5	nnmulcld 9303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k x. Z ) e. NN )
17	3, 16	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` ( k x. Z ) ) e. RR )
18		oveq1 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( j x. Z ) = ( k x. Z ) )
19	18	fveq2d 5679	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( F ` ( j x. Z ) ) = ( F ` ( k x. Z ) ) )
20	19, 10	fvmptg 5758	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( F ` ( k x. Z ) ) e. RR ) -> ( G ` k ) = ( F ` ( k x. Z ) ) )
21	15, 17, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) = ( F ` ( k x. Z ) ) )
22	21, 17	eqeltrd 2311	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
23		cvg1n.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR+ )
24	23	rpred 10047	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C e. RR )
26	25, 6	nndivred 9304	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / ( n x. Z ) ) e. RR )
27	22, 26	readdcld 8319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) e. RR )
28	1	nnrecred 9301	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
29	22, 28	readdcld 8319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
30		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( F ` b ) = ( F ` ( k x. Z ) ) )
31	30	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) = ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
32	31	breq2d 4126	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
33	30	breq1d 4124	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
34	32, 33	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
35		fveq2 5675	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ZZ>= ` a ) = ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) )
36		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( n x. Z ) ) )
37		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( C / a ) = ( C / ( n x. Z ) ) )
38	37	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) = ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
39	36, 38	breq12d 4127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) <-> ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
40	36, 37	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) = ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
41	40	breq2d 4126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) <-> ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
42	39, 41	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) <-> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
43	35, 42	raleqbidv 2759	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) <-> A. b e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
44		cvg1n.cau	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
45		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = b -> ( F ` k ) = ( F ` b ) )
46	45	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = b -> ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) )
47	46	breq2d 4126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = b -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) ) )
48	45	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = b -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
49	47, 48	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = b -> ( ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) ) )
50	49	cbvralv 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. b e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
51	50	ralbii 2550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. n e. NN A. b e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
52		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = a -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` a ) )
53		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> ( F ` n ) = ( F ` a ) )
54		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = a -> ( C / n ) = ( C / a ) )
55	54	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) )
56	53, 55	breq12d 4127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = a -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) ) )
57	53, 54	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) )
58	57	breq2d 4126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = a -> ( ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
59	56, 58	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = a -> ( ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) ) )
60	52, 59	raleqbidv 2759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = a -> ( A. b e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) ) )
61	60	cbvralv 2780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN A. b e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
62	51, 61	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
63	44, 62	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
64	63	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
65	43, 64, 6	rspcdva 2928	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. b e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
66		eluzle 9884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> n <_ k )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n <_ k )
68	1	nnred 9267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR )
69	15	nnred 9267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. RR )
70	5	nnrpd 10045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> Z e. RR+ )
71	68, 69, 70	lemul1d 10091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n <_ k <-> ( n x. Z ) <_ ( k x. Z ) ) )
72	67, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) <_ ( k x. Z ) )
73	6	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) e. ZZ )
74	16	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k x. Z ) e. ZZ )
75		eluz 9885	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n x. Z ) e. ZZ /\ ( k x. Z ) e. ZZ ) -> ( ( k x. Z ) e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) <-> ( n x. Z ) <_ ( k x. Z ) ) )
76	73, 74, 75	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k x. Z ) e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) <-> ( n x. Z ) <_ ( k x. Z ) ) )
77	72, 76	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k x. Z ) e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) )
78	34, 65, 77	rspcdva 2928	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
79	21	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) = ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
80	79	breq2d 4126	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
81	21	breq1d 4124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
82	80, 81	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
83	78, 82	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
84	12	breq1d 4124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
85	12	oveq1d 6073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) = ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
86	85	breq2d 4126	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
87	84, 86	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
88	83, 87	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
89	88	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
90	5	nnred 9267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> Z e. RR )
91	1	nnrpd 10045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
92		cvg1nlem.start	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < Z )
93	92	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C < Z )
94	25, 90, 91, 93	ltmul1dd 10103	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C x. n ) < ( Z x. n ) )
95	6	nncnd 9268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) e. CC )
96	95	mullidd 8308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 1 x. ( n x. Z ) ) = ( n x. Z ) )
97	96	breq2d 4126	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( C x. n ) < ( 1 x. ( n x. Z ) ) <-> ( C x. n ) < ( n x. Z ) ) )
98		1red 8305	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. RR )
99	6	nnrpd 10045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) e. RR+ )
100	25, 91, 98, 99	lt2mul2divd 10116	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( C x. n ) < ( 1 x. ( n x. Z ) ) <-> ( C / ( n x. Z ) ) < ( 1 / n ) ) )
101	1	nncnd 9268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. CC )
102	5	nncnd 9268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> Z e. CC )
103	101, 102	mulcomd 8311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) = ( Z x. n ) )
104	103	breq2d 4126	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( C x. n ) < ( n x. Z ) <-> ( C x. n ) < ( Z x. n ) ) )
105	97, 100, 104	3bitr3d 218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( C / ( n x. Z ) ) < ( 1 / n ) <-> ( C x. n ) < ( Z x. n ) ) )
106	94, 105	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / ( n x. Z ) ) < ( 1 / n ) )
107	26, 28, 22, 106	ltadd2dd 8713	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) )
108	13, 27, 29, 89, 107	lttrd 8415	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) )
109	13, 26	readdcld 8319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) e. RR )
110	13, 28	readdcld 8319	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
111	88	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
112	26, 28, 13, 106	ltadd2dd 8713	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) )
113	22, 109, 110, 111, 112	lttrd 8415	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) )
114	108, 113	jca 306	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
115	114	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
116	115	ralrimiva 2617	1 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RRcr 8142   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   / cdiv 8963   NNcn 9254   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   RR+crp 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  11695