Theorem cvg1nlemcau 10926

Description: Lemma for cvg1n 10928. By selecting spaced out terms for the modified sequence G, the terms are within 1 / n (without the constant C). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
cvg1nlem.g	|- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
cvg1nlem.z	|- ( ph -> Z e. NN )
cvg1nlem.start	|- ( ph -> C < Z )

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemcau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

Distinct variable groups:   C, n, k   n, F, j, k   j, Z   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( j)   C( j)   G( j, k, n)   Z( k, n)

Proof of Theorem cvg1nlemcau

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
2		cvg1n.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR )
3	2	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> RR )
4		cvg1nlem.z	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. NN )
5	4	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> Z e. NN )
6	1, 5	nnmulcld 8906	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) e. NN )
7	3, 6	ffvelrnd 5621	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` ( n x. Z ) ) e. RR )
8		oveq1 5849	. . . . . . . . 9 |- ( j = n -> ( j x. Z ) = ( n x. Z ) )
9	8	fveq2d 5490	. . . . . . . 8 |- ( j = n -> ( F ` ( j x. Z ) ) = ( F ` ( n x. Z ) ) )
10		cvg1nlem.g	. . . . . . . 8 |- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
11	9, 10	fvmptg 5562	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( F ` ( n x. Z ) ) e. RR ) -> ( G ` n ) = ( F ` ( n x. Z ) ) )
12	1, 7, 11	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) = ( F ` ( n x. Z ) ) )
13	12, 7	eqeltrd 2243	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) e. RR )
14		eluznn 9538	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
15	14	adantll 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
16	15, 5	nnmulcld 8906	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k x. Z ) e. NN )
17	3, 16	ffvelrnd 5621	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` ( k x. Z ) ) e. RR )
18		oveq1 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( j x. Z ) = ( k x. Z ) )
19	18	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( F ` ( j x. Z ) ) = ( F ` ( k x. Z ) ) )
20	19, 10	fvmptg 5562	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( F ` ( k x. Z ) ) e. RR ) -> ( G ` k ) = ( F ` ( k x. Z ) ) )
21	15, 17, 20	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) = ( F ` ( k x. Z ) ) )
22	21, 17	eqeltrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
23		cvg1n.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR+ )
24	23	rpred 9632	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
25	24	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C e. RR )
26	25, 6	nndivred 8907	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / ( n x. Z ) ) e. RR )
27	22, 26	readdcld 7928	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) e. RR )
28	1	nnrecred 8904	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
29	22, 28	readdcld 7928	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
30		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( F ` b ) = ( F ` ( k x. Z ) ) )
31	30	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) = ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
32	31	breq2d 3994	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
33	30	breq1d 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
34	32, 33	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
35		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ZZ>= ` a ) = ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) )
36		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( n x. Z ) ) )
37		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( C / a ) = ( C / ( n x. Z ) ) )
38	37	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) = ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
39	36, 38	breq12d 3995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) <-> ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
40	36, 37	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) = ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
41	40	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) <-> ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
42	39, 41	anbi12d 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) <-> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
43	35, 42	raleqbidv 2673	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) <-> A. b e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
44		cvg1n.cau	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
45		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = b -> ( F ` k ) = ( F ` b ) )
46	45	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = b -> ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) )
47	46	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = b -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) ) )
48	45	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = b -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
49	47, 48	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = b -> ( ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) ) )
50	49	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. b e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
51	50	ralbii 2472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. n e. NN A. b e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
52		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = a -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` a ) )
53		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> ( F ` n ) = ( F ` a ) )
54		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = a -> ( C / n ) = ( C / a ) )
55	54	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) )
56	53, 55	breq12d 3995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = a -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) ) )
57	53, 54	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) )
58	57	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = a -> ( ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
59	56, 58	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = a -> ( ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) ) )
60	52, 59	raleqbidv 2673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = a -> ( A. b e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) ) )
61	60	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN A. b e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
62	51, 61	bitri 183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
63	44, 62	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
64	63	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
65	43, 64, 6	rspcdva 2835	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. b e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
66		eluzle 9478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> n <_ k )
67	66	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n <_ k )
68	1	nnred 8870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR )
69	15	nnred 8870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. RR )
70	5	nnrpd 9630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> Z e. RR+ )
71	68, 69, 70	lemul1d 9676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n <_ k <-> ( n x. Z ) <_ ( k x. Z ) ) )
72	67, 71	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) <_ ( k x. Z ) )
73	6	nnzd 9312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) e. ZZ )
74	16	nnzd 9312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k x. Z ) e. ZZ )
75		eluz 9479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n x. Z ) e. ZZ /\ ( k x. Z ) e. ZZ ) -> ( ( k x. Z ) e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) <-> ( n x. Z ) <_ ( k x. Z ) ) )
76	73, 74, 75	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k x. Z ) e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) <-> ( n x. Z ) <_ ( k x. Z ) ) )
77	72, 76	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k x. Z ) e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) )
78	34, 65, 77	rspcdva 2835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
79	21	oveq1d 5857	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) = ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
80	79	breq2d 3994	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
81	21	breq1d 3992	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
82	80, 81	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
83	78, 82	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
84	12	breq1d 3992	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
85	12	oveq1d 5857	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) = ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
86	85	breq2d 3994	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
87	84, 86	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
88	83, 87	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
89	88	simpld 111	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
90	5	nnred 8870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> Z e. RR )
91	1	nnrpd 9630	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
92		cvg1nlem.start	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < Z )
93	92	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C < Z )
94	25, 90, 91, 93	ltmul1dd 9688	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C x. n ) < ( Z x. n ) )
95	6	nncnd 8871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) e. CC )
96	95	mulid2d 7917	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 1 x. ( n x. Z ) ) = ( n x. Z ) )
97	96	breq2d 3994	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( C x. n ) < ( 1 x. ( n x. Z ) ) <-> ( C x. n ) < ( n x. Z ) ) )
98		1red 7914	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. RR )
99	6	nnrpd 9630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) e. RR+ )
100	25, 91, 98, 99	lt2mul2divd 9701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( C x. n ) < ( 1 x. ( n x. Z ) ) <-> ( C / ( n x. Z ) ) < ( 1 / n ) ) )
101	1	nncnd 8871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. CC )
102	5	nncnd 8871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> Z e. CC )
103	101, 102	mulcomd 7920	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) = ( Z x. n ) )
104	103	breq2d 3994	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( C x. n ) < ( n x. Z ) <-> ( C x. n ) < ( Z x. n ) ) )
105	97, 100, 104	3bitr3d 217	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( C / ( n x. Z ) ) < ( 1 / n ) <-> ( C x. n ) < ( Z x. n ) ) )
106	94, 105	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / ( n x. Z ) ) < ( 1 / n ) )
107	26, 28, 22, 106	ltadd2dd 8320	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) )
108	13, 27, 29, 89, 107	lttrd 8024	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) )
109	13, 26	readdcld 7928	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) e. RR )
110	13, 28	readdcld 7928	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
111	88	simprd 113	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
112	26, 28, 13, 106	ltadd2dd 8320	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) )
113	22, 109, 110, 111, 112	lttrd 8024	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) )
114	108, 113	jca 304	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
115	114	ralrimiva 2539	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
116	115	ralrimiva 2539	1 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RRcr 7752   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   / cdiv 8568   NNcn 8857   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10927