Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvg1nlemcau Unicode version

Theorem cvg1nlemcau 10749
 Description: Lemma for cvg1n 10751. By selecting spaced out terms for the modified sequence , the terms are within (without the constant ). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f
cvg1n.c
cvg1n.cau
cvg1nlem.g
cvg1nlem.z
cvg1nlem.start
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemcau
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   (,)

Proof of Theorem cvg1nlemcau
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 519 . . . . . . 7
2 cvg1n.f . . . . . . . . 9
32ad2antrr 479 . . . . . . . 8
4 cvg1nlem.z . . . . . . . . . 10
54ad2antrr 479 . . . . . . . . 9
61, 5nnmulcld 8762 . . . . . . . 8
73, 6ffvelrnd 5549 . . . . . . 7
8 oveq1 5774 . . . . . . . . 9
98fveq2d 5418 . . . . . . . 8
10 cvg1nlem.g . . . . . . . 8
119, 10fvmptg 5490 . . . . . . 7
121, 7, 11syl2anc 408 . . . . . 6
1312, 7eqeltrd 2214 . . . . 5
14 eluznn 9387 . . . . . . . . 9
1514adantll 467 . . . . . . . 8
1615, 5nnmulcld 8762 . . . . . . . . 9
173, 16ffvelrnd 5549 . . . . . . . 8
18 oveq1 5774 . . . . . . . . . 10
1918fveq2d 5418 . . . . . . . . 9
2019, 10fvmptg 5490 . . . . . . . 8
2115, 17, 20syl2anc 408 . . . . . . 7
2221, 17eqeltrd 2214 . . . . . 6
23 cvg1n.c . . . . . . . . 9
2423rpred 9476 . . . . . . . 8
2524ad2antrr 479 . . . . . . 7
2625, 6nndivred 8763 . . . . . 6
2722, 26readdcld 7788 . . . . 5
281nnrecred 8760 . . . . . 6
2922, 28readdcld 7788 . . . . 5
30 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . 12
3130oveq1d 5782 . . . . . . . . . . 11
3231breq2d 3936 . . . . . . . . . 10
3330breq1d 3934 . . . . . . . . . 10
3432, 33anbi12d 464 . . . . . . . . 9
35 fveq2 5414 . . . . . . . . . . 11
36 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . 13
37 oveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . 14
3837oveq2d 5783 . . . . . . . . . . . . 13
3936, 38breq12d 3937 . . . . . . . . . . . 12
4036, 37oveq12d 5785 . . . . . . . . . . . . 13
4140breq2d 3936 . . . . . . . . . . . 12
4239, 41anbi12d 464 . . . . . . . . . . 11
4335, 42raleqbidv 2636 . . . . . . . . . 10
44 cvg1n.cau . . . . . . . . . . . 12
45 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645oveq1d 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746breq2d 3936 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4845breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4947, 48anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049cbvralv 2652 . . . . . . . . . . . . . 14
5150ralbii 2439 . . . . . . . . . . . . 13
52 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 oveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5554oveq2d 5783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5653, 55breq12d 3937 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5753, 54oveq12d 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5857breq2d 3936 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5956, 58anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15
6052, 59raleqbidv 2636 . . . . . . . . . . . . . 14
6160cbvralv 2652 . . . . . . . . . . . . 13
6251, 61bitri 183 . . . . . . . . . . . 12
6344, 62sylib 121 . . . . . . . . . . 11
6463ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10
6543, 64, 6rspcdva 2789 . . . . . . . . 9
66 eluzle 9331 . . . . . . . . . . . 12
6766adantl 275 . . . . . . . . . . 11
681nnred 8726 . . . . . . . . . . . 12
6915nnred 8726 . . . . . . . . . . . 12
705nnrpd 9475 . . . . . . . . . . . 12
7168, 69, 70lemul1d 9520 . . . . . . . . . . 11
7267, 71mpbid 146 . . . . . . . . . 10
736nnzd 9165 . . . . . . . . . . 11
7416nnzd 9165 . . . . . . . . . . 11
75 eluz 9332 . . . . . . . . . . 11
7673, 74, 75syl2anc 408 . . . . . . . . . 10
7772, 76mpbird 166 . . . . . . . . 9
7834, 65, 77rspcdva 2789 . . . . . . . 8
7921oveq1d 5782 . . . . . . . . . 10
8079breq2d 3936 . . . . . . . . 9
8121breq1d 3934 . . . . . . . . 9
8280, 81anbi12d 464 . . . . . . . 8
8378, 82mpbird 166 . . . . . . 7
8412breq1d 3934 . . . . . . . 8
8512oveq1d 5782 . . . . . . . . 9
8685breq2d 3936 . . . . . . . 8
8784, 86anbi12d 464 . . . . . . 7
8883, 87mpbird 166 . . . . . 6
8988simpld 111 . . . . 5
905nnred 8726 . . . . . . . 8
911nnrpd 9475 . . . . . . . 8
92 cvg1nlem.start . . . . . . . . 9
9392ad2antrr 479 . . . . . . . 8
9425, 90, 91, 93ltmul1dd 9532 . . . . . . 7
956nncnd 8727 . . . . . . . . . 10
9695mulid2d 7777 . . . . . . . . 9
9796breq2d 3936 . . . . . . . 8
98 1red 7774 . . . . . . . . 9
996nnrpd 9475 . . . . . . . . 9
10025, 91, 98, 99lt2mul2divd 9545 . . . . . . . 8
1011nncnd 8727 . . . . . . . . . 10
1025nncnd 8727 . . . . . . . . . 10
103101, 102mulcomd 7780 . . . . . . . . 9
104103breq2d 3936 . . . . . . . 8
10597, 100, 1043bitr3d 217 . . . . . . 7
10694, 105mpbird 166 . . . . . 6
10726, 28, 22, 106ltadd2dd 8177 . . . . 5
10813, 27, 29, 89, 107lttrd 7881 . . . 4
10913, 26readdcld 7788 . . . . 5
11013, 28readdcld 7788 . . . . 5
11188simprd 113 . . . . 5
11226, 28, 13, 106ltadd2dd 8177 . . . . 5
11322, 109, 110, 111, 112lttrd 7881 . . . 4
114108, 113jca 304 . . 3
115114ralrimiva 2503 . 2
116115ralrimiva 2503 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1331   wcel 1480  wral 2414   class class class wbr 3924   cmpt 3984  wf 5114  cfv 5118  (class class class)co 5767  cr 7612  c1 7614   caddc 7616   cmul 7618   clt 7793   cle 7794   cdiv 8425  cn 8713  cz 9047  cuz 9319  crp 9434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435 This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10750
 Copyright terms: Public domain W3C validator