Theorem cvg1nlemcau 11772

Description: Lemma for cvg1n 11774. By selecting spaced out terms for the modified sequence G, the terms are within 1 / n (without the constant C). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
cvg1nlem.g	|- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
cvg1nlem.z	|- ( ph -> Z e. NN )
cvg1nlem.start	|- ( ph -> C < Z )

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemcau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

Distinct variable groups:   C, n, k   n, F, j, k   j, Z   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( j)   C( j)   G( j, k, n)   Z( k, n)

Proof of Theorem cvg1nlemcau

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
2		cvg1n.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR )
3	2	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> RR )
4		cvg1nlem.z	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. NN )
5	4	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> Z e. NN )
6	1, 5	nnmulcld 9362	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) e. NN )
7	3, 6	ffvelcdmd 5847	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` ( n x. Z ) ) e. RR )
8		oveq1 6095	. . . . . . . . 9 |- ( j = n -> ( j x. Z ) = ( n x. Z ) )
9	8	fveq2d 5702	. . . . . . . 8 |- ( j = n -> ( F ` ( j x. Z ) ) = ( F ` ( n x. Z ) ) )
10		cvg1nlem.g	. . . . . . . 8 |- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
11	9, 10	fvmptg 5784	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( F ` ( n x. Z ) ) e. RR ) -> ( G ` n ) = ( F ` ( n x. Z ) ) )
12	1, 7, 11	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) = ( F ` ( n x. Z ) ) )
13	12, 7	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) e. RR )
14		eluznn 10016	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
15	14	adantll 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
16	15, 5	nnmulcld 9362	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k x. Z ) e. NN )
17	3, 16	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` ( k x. Z ) ) e. RR )
18		oveq1 6095	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( j x. Z ) = ( k x. Z ) )
19	18	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( F ` ( j x. Z ) ) = ( F ` ( k x. Z ) ) )
20	19, 10	fvmptg 5784	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( F ` ( k x. Z ) ) e. RR ) -> ( G ` k ) = ( F ` ( k x. Z ) ) )
21	15, 17, 20	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) = ( F ` ( k x. Z ) ) )
22	21, 17	eqeltrd 2315	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
23		cvg1n.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR+ )
24	23	rpred 10114	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
25	24	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C e. RR )
26	25, 6	nndivred 9363	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / ( n x. Z ) ) e. RR )
27	22, 26	readdcld 8361	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) e. RR )
28	1	nnrecred 9360	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
29	22, 28	readdcld 8361	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
30		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( F ` b ) = ( F ` ( k x. Z ) ) )
31	30	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) = ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
32	31	breq2d 4143	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
33	30	breq1d 4141	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
34	32, 33	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( k x. Z ) -> ( ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
35		fveq2 5698	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ZZ>= ` a ) = ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) )
36		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( n x. Z ) ) )
37		oveq2 6096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( C / a ) = ( C / ( n x. Z ) ) )
38	37	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) = ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
39	36, 38	breq12d 4144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) <-> ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
40	36, 37	oveq12d 6106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) = ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
41	40	breq2d 4143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) <-> ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
42	39, 41	anbi12d 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) <-> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
43	35, 42	raleqbidv 2765	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( n x. Z ) -> ( A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) <-> A. b e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
44		cvg1n.cau	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
45		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = b -> ( F ` k ) = ( F ` b ) )
46	45	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = b -> ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) )
47	46	breq2d 4143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = b -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) ) )
48	45	breq1d 4141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = b -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
49	47, 48	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = b -> ( ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) ) )
50	49	cbvralv 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. b e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
51	50	ralbii 2556	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. n e. NN A. b e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
52		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = a -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` a ) )
53		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> ( F ` n ) = ( F ` a ) )
54		oveq2 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = a -> ( C / n ) = ( C / a ) )
55	54	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) )
56	53, 55	breq12d 4144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = a -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) ) )
57	53, 54	oveq12d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) )
58	57	breq2d 4143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = a -> ( ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
59	56, 58	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = a -> ( ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) ) )
60	52, 59	raleqbidv 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = a -> ( A. b e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) ) )
61	60	cbvralv 2786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. NN A. b e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` b ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
62	51, 61	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
63	44, 62	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
64	63	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( F ` a ) < ( ( F ` b ) + ( C / a ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` a ) + ( C / a ) ) ) )
65	43, 64, 6	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. b e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` b ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` b ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
66		eluzle 9950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> n <_ k )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n <_ k )
68	1	nnred 9326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR )
69	15	nnred 9326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. RR )
70	5	nnrpd 10112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> Z e. RR+ )
71	68, 69, 70	lemul1d 10158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n <_ k <-> ( n x. Z ) <_ ( k x. Z ) ) )
72	67, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) <_ ( k x. Z ) )
73	6	nnzd 9778	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) e. ZZ )
74	16	nnzd 9778	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k x. Z ) e. ZZ )
75		eluz 9951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n x. Z ) e. ZZ /\ ( k x. Z ) e. ZZ ) -> ( ( k x. Z ) e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) <-> ( n x. Z ) <_ ( k x. Z ) ) )
76	73, 74, 75	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k x. Z ) e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) <-> ( n x. Z ) <_ ( k x. Z ) ) )
77	72, 76	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k x. Z ) e. ( ZZ>= ` ( n x. Z ) ) )
78	34, 65, 77	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
79	21	oveq1d 6103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) = ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
80	79	breq2d 4143	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
81	21	breq1d 4141	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
82	80, 81	anbi12d 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( F ` ( k x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( F ` ( k x. Z ) ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
83	78, 82	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
84	12	breq1d 4141	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
85	12	oveq1d 6103	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) = ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
86	85	breq2d 4143	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) <-> ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
87	84, 86	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( n x. Z ) ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( F ` ( n x. Z ) ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) ) )
88	83, 87	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) ) )
89	88	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
90	5	nnred 9326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> Z e. RR )
91	1	nnrpd 10112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
92		cvg1nlem.start	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < Z )
93	92	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C < Z )
94	25, 90, 91, 93	ltmul1dd 10170	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C x. n ) < ( Z x. n ) )
95	6	nncnd 9327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) e. CC )
96	95	mullidd 8350	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 1 x. ( n x. Z ) ) = ( n x. Z ) )
97	96	breq2d 4143	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( C x. n ) < ( 1 x. ( n x. Z ) ) <-> ( C x. n ) < ( n x. Z ) ) )
98		1red 8347	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> 1 e. RR )
99	6	nnrpd 10112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) e. RR+ )
100	25, 91, 98, 99	lt2mul2divd 10183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( C x. n ) < ( 1 x. ( n x. Z ) ) <-> ( C / ( n x. Z ) ) < ( 1 / n ) ) )
101	1	nncnd 9327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. CC )
102	5	nncnd 9327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> Z e. CC )
103	101, 102	mulcomd 8353	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( n x. Z ) = ( Z x. n ) )
104	103	breq2d 4143	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( C x. n ) < ( n x. Z ) <-> ( C x. n ) < ( Z x. n ) ) )
105	97, 100, 104	3bitr3d 218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( C / ( n x. Z ) ) < ( 1 / n ) <-> ( C x. n ) < ( Z x. n ) ) )
106	94, 105	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / ( n x. Z ) ) < ( 1 / n ) )
107	26, 28, 22, 106	ltadd2dd 8757	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` k ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) )
108	13, 27, 29, 89, 107	lttrd 8459	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) )
109	13, 26	readdcld 8361	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) e. RR )
110	13, 28	readdcld 8361	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
111	88	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) )
112	26, 28, 13, 106	ltadd2dd 8757	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) + ( C / ( n x. Z ) ) ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) )
113	22, 109, 110, 111, 112	lttrd 8459	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) )
114	108, 113	jca 306	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
115	114	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
116	115	ralrimiva 2623	1 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   / cdiv 9010   NNcn 9313   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   RR+crp 10071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072

This theorem is used by:  cvg1nlemres  11773