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Theorem cvg1nlemcau 10749
Description: Lemma for cvg1n 10751. By selecting spaced out terms for the modified sequence  G, the terms are within  1  /  n (without the constant  C). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
cvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
cvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
cvg1nlem.g  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  ( F `  ( j  x.  Z ) ) )
cvg1nlem.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  NN )
cvg1nlem.start  |-  ( ph  ->  C  <  Z )
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemcau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( G `  n )  <  ( ( G `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, n, k   
n, F, j, k   
j, Z    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( j)    C( j)    G( j, k, n)    Z( k, n)

Proof of Theorem cvg1nlemcau
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
2 cvg1n.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
32ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> RR )
4 cvg1nlem.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  NN )
54ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  Z  e.  NN )
61, 5nnmulcld 8762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  e.  NN )
73, 6ffvelrnd 5549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  e.  RR )
8 oveq1 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (
j  x.  Z )  =  ( n  x.  Z ) )
98fveq2d 5418 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  ( F `  ( j  x.  Z ) )  =  ( F `  (
n  x.  Z ) ) )
10 cvg1nlem.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  ( F `  ( j  x.  Z ) ) )
119, 10fvmptg 5490 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( F `  ( n  x.  Z ) )  e.  RR )  -> 
( G `  n
)  =  ( F `
 ( n  x.  Z ) ) )
121, 7, 11syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  =  ( F `  ( n  x.  Z ) ) )
1312, 7eqeltrd 2214 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  e.  RR )
14 eluznn 9387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
1514adantll 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
1615, 5nnmulcld 8762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( k  x.  Z )  e.  NN )
173, 16ffvelrnd 5549 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  ( k  x.  Z
) )  e.  RR )
18 oveq1 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
j  x.  Z )  =  ( k  x.  Z ) )
1918fveq2d 5418 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  ( j  x.  Z ) )  =  ( F `  (
k  x.  Z ) ) )
2019, 10fvmptg 5490 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( F `  ( k  x.  Z ) )  e.  RR )  -> 
( G `  k
)  =  ( F `
 ( k  x.  Z ) ) )
2115, 17, 20syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  =  ( F `  ( k  x.  Z ) ) )
2221, 17eqeltrd 2214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
23 cvg1n.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
2423rpred 9476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2524ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  C  e.  RR )
2625, 6nndivred 8763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  ( n  x.  Z ) )  e.  RR )
2722, 26readdcld 7788 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  e.  RR )
281nnrecred 8760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
2922, 28readdcld 7788 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
30 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  ( F `  b )  =  ( F `  ( k  x.  Z
) ) )
3130oveq1d 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  (
( F `  b
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  =  ( ( F `
 ( k  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )
3231breq2d 3936 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  <->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( F `  (
k  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
3330breq1d 3934 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  (
( F `  b
)  <  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  ( k  x.  Z
) )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
3432, 33anbi12d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  (
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )  <->  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( k  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 ( k  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) ) )
35 fveq2 5414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  a )  =  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) )
36 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( n  x.  Z
) ) )
37 oveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  ( C  /  a )  =  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) )
3837oveq2d 5783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )
3936, 38breq12d 3937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( F `  a
)  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
a ) )  <->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
4036, 37oveq12d 5785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) )  =  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )
4140breq2d 3936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( F `  b
)  <  ( ( F `  a )  +  ( C  / 
a ) )  <->  ( F `  b )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
4239, 41anbi12d 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( ( F `  a )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) ) )  <->  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  < 
( ( F `  b )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 b )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) ) )
4335, 42raleqbidv 2636 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  ( A. b  e.  ( ZZ>=
`  a ) ( ( F `  a
)  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
a ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 a )  +  ( C  /  a
) ) )  <->  A. b  e.  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) ( ( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) ) ) )
44 cvg1n.cau . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
45 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  b  ->  ( F `  k )  =  ( F `  b ) )
4645oveq1d 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  b  ->  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  n
) ) )
4746breq2d 3936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  b  ->  (
( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  n )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
4845breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  b  ->  (
( F `  k
)  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  b )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
4947, 48anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  b  ->  (
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  ( ( F `
 n )  < 
( ( F `  b )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `
 b )  < 
( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) ) )
5049cbvralv 2652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) )  <->  A. b  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
5150ralbii 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  A. n  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
52 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  a  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  a )
)
53 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  ( F `  n )  =  ( F `  a ) )
54 oveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  a  ->  ( C  /  n )  =  ( C  /  a
) )
5554oveq2d 5783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) ) )
5653, 55breq12d 3937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  n
)  <  ( ( F `  b )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  a )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) ) ) )
5753, 54oveq12d 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 a )  +  ( C  /  a
) ) )
5857breq2d 3936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  b
)  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  b )  <  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) ) ) )
5956, 58anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  a  ->  (
( ( F `  n )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  ( ( F `
 a )  < 
( ( F `  b )  +  ( C  /  a ) )  /\  ( F `
 b )  < 
( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) ) ) )
6052, 59raleqbidv 2636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  a  ->  ( A. b  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( F `  n
)  <  ( ( F `  b )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 n )  +  ( C  /  n
) ) )  <->  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( F `  a )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) ) ) ) )
6160cbvralv 2652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( F `  a )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) ) )
6251, 61bitri 183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( F `  a )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) ) )
6344, 62sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( F `  a )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) ) )
6463ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( F `  a )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) ) ) )
6543, 64, 6rspcdva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A. b  e.  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) ( ( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) ) )
66 eluzle 9331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  n  <_  k )
6766adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <_  k )
681nnred 8726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR )
6915nnred 8726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  RR )
705nnrpd 9475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  Z  e.  RR+ )
7168, 69, 70lemul1d 9520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  x.  Z )  <_  (
k  x.  Z ) ) )
7267, 71mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  <_  (
k  x.  Z ) )
736nnzd 9165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  e.  ZZ )
7416nnzd 9165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( k  x.  Z )  e.  ZZ )
75 eluz 9332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  x.  Z
)  e.  ZZ  /\  ( k  x.  Z
)  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  Z )  e.  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) )  <->  ( n  x.  Z )  <_  (
k  x.  Z ) ) )
7673, 74, 75syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
k  x.  Z )  e.  ( ZZ>= `  (
n  x.  Z ) )  <->  ( n  x.  Z )  <_  (
k  x.  Z ) ) )
7772, 76mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( k  x.  Z )  e.  (
ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) )
7834, 65, 77rspcdva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( k  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 ( k  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
7921oveq1d 5782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  =  ( ( F `  ( k  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )
8079breq2d 3936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( F `  (
k  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8121breq1d 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  <  ( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  ( k  x.  Z
) )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8280, 81anbi12d 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )  <->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( k  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 ( k  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) ) )
8378, 82mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( G `
 k )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8412breq1d 3934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  <  ( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( G `  k
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8512oveq1d 5782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  =  ( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )
8685breq2d 3936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  <  ( ( G `  n )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  <->  ( G `  k )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8784, 86anbi12d 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( G `  n
)  <  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( G `
 n )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )  <->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( G `
 k )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) ) )
8883, 87mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  <  ( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( G `
 k )  < 
( ( G `  n )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8988simpld 111 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  <  (
( G `  k
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )
905nnred 8726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  Z  e.  RR )
911nnrpd 9475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
92 cvg1nlem.start . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  Z )
9392ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  C  <  Z )
9425, 90, 91, 93ltmul1dd 9532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  x.  n )  <  ( Z  x.  n )
)
956nncnd 8727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  e.  CC )
9695mulid2d 7777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 1  x.  ( n  x.  Z ) )  =  ( n  x.  Z
) )
9796breq2d 3936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( C  x.  n )  <  ( 1  x.  (
n  x.  Z ) )  <->  ( C  x.  n )  <  (
n  x.  Z ) ) )
98 1red 7774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  RR )
996nnrpd 9475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  e.  RR+ )
10025, 91, 98, 99lt2mul2divd 9545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( C  x.  n )  <  ( 1  x.  (
n  x.  Z ) )  <->  ( C  / 
( n  x.  Z
) )  <  (
1  /  n ) ) )
1011nncnd 8727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  CC )
1025nncnd 8727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  Z  e.  CC )
103101, 102mulcomd 7780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  =  ( Z  x.  n ) )
104103breq2d 3936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( C  x.  n )  <  ( n  x.  Z
)  <->  ( C  x.  n )  <  ( Z  x.  n )
) )
10597, 100, 1043bitr3d 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( C  /  ( n  x.  Z ) )  < 
( 1  /  n
)  <->  ( C  x.  n )  <  ( Z  x.  n )
) )
10694, 105mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  ( n  x.  Z ) )  < 
( 1  /  n
) )
10726, 28, 22, 106ltadd2dd 8177 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  < 
( ( G `  k )  +  ( 1  /  n ) ) )
10813, 27, 29, 89, 107lttrd 7881 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  <  (
( G `  k
)  +  ( 1  /  n ) ) )
10913, 26readdcld 7788 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  e.  RR )
11013, 28readdcld 7788 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
11188simprd 113 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  <  (
( G `  n
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )
11226, 28, 13, 106ltadd2dd 8177 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  < 
( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) )
11322, 109, 110, 111, 112lttrd 7881 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  <  (
( G `  n
)  +  ( 1  /  n ) ) )
114108, 113jca 304 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  <  ( ( G `  k )  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( G `
 k )  < 
( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
115114ralrimiva 2503 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( G `  n )  <  (
( G `  k
)  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( G `  k )  <  (
( G `  n
)  +  ( 1  /  n ) ) ) )
116115ralrimiva 2503 1  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( G `  n )  <  ( ( G `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   class class class wbr 3924    |-> cmpt 3984   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RRcr 7612   1c1 7614    + caddc 7616    x. cmul 7618    < clt 7793    <_ cle 7794    / cdiv 8425   NNcn 8713   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   RR+crp 9434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10750
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