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Theorem cvg1nlemcau 10993
Description: Lemma for cvg1n 10995. By selecting spaced out terms for the modified sequence  G, the terms are within  1  /  n (without the constant  C). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
cvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
cvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
cvg1nlem.g  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  ( F `  ( j  x.  Z ) ) )
cvg1nlem.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  NN )
cvg1nlem.start  |-  ( ph  ->  C  <  Z )
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemcau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( G `  n )  <  ( ( G `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, n, k   
n, F, j, k   
j, Z    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( j)    C( j)    G( j, k, n)    Z( k, n)

Proof of Theorem cvg1nlemcau
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
2 cvg1n.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
32ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> RR )
4 cvg1nlem.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  NN )
54ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  Z  e.  NN )
61, 5nnmulcld 8968 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  e.  NN )
73, 6ffvelcdmd 5653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  e.  RR )
8 oveq1 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (
j  x.  Z )  =  ( n  x.  Z ) )
98fveq2d 5520 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  ( F `  ( j  x.  Z ) )  =  ( F `  (
n  x.  Z ) ) )
10 cvg1nlem.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  ( F `  ( j  x.  Z ) ) )
119, 10fvmptg 5593 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( F `  ( n  x.  Z ) )  e.  RR )  -> 
( G `  n
)  =  ( F `
 ( n  x.  Z ) ) )
121, 7, 11syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  =  ( F `  ( n  x.  Z ) ) )
1312, 7eqeltrd 2254 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  e.  RR )
14 eluznn 9600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
1514adantll 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
1615, 5nnmulcld 8968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( k  x.  Z )  e.  NN )
173, 16ffvelcdmd 5653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  ( k  x.  Z
) )  e.  RR )
18 oveq1 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
j  x.  Z )  =  ( k  x.  Z ) )
1918fveq2d 5520 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  ( j  x.  Z ) )  =  ( F `  (
k  x.  Z ) ) )
2019, 10fvmptg 5593 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( F `  ( k  x.  Z ) )  e.  RR )  -> 
( G `  k
)  =  ( F `
 ( k  x.  Z ) ) )
2115, 17, 20syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  =  ( F `  ( k  x.  Z ) ) )
2221, 17eqeltrd 2254 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
23 cvg1n.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
2423rpred 9696 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2524ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  C  e.  RR )
2625, 6nndivred 8969 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  ( n  x.  Z ) )  e.  RR )
2722, 26readdcld 7987 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  e.  RR )
281nnrecred 8966 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
2922, 28readdcld 7987 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
30 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  ( F `  b )  =  ( F `  ( k  x.  Z
) ) )
3130oveq1d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  (
( F `  b
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  =  ( ( F `
 ( k  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )
3231breq2d 4016 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  <->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( F `  (
k  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
3330breq1d 4014 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  (
( F `  b
)  <  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  ( k  x.  Z
) )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
3432, 33anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  (
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )  <->  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( k  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 ( k  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) ) )
35 fveq2 5516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  a )  =  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) )
36 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( n  x.  Z
) ) )
37 oveq2 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  ( C  /  a )  =  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) )
3837oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )
3936, 38breq12d 4017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( F `  a
)  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
a ) )  <->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
4036, 37oveq12d 5893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) )  =  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )
4140breq2d 4016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( F `  b
)  <  ( ( F `  a )  +  ( C  / 
a ) )  <->  ( F `  b )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
4239, 41anbi12d 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( ( F `  a )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) ) )  <->  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  < 
( ( F `  b )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 b )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) ) )
4335, 42raleqbidv 2685 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  ( A. b  e.  ( ZZ>=
`  a ) ( ( F `  a
)  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
a ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 a )  +  ( C  /  a
) ) )  <->  A. b  e.  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) ( ( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) ) ) )
44 cvg1n.cau . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
45 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  b  ->  ( F `  k )  =  ( F `  b ) )
4645oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  b  ->  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  n
) ) )
4746breq2d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  b  ->  (
( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  n )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
4845breq1d 4014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  b  ->  (
( F `  k
)  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  b )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
4947, 48anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  b  ->  (
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  ( ( F `
 n )  < 
( ( F `  b )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `
 b )  < 
( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) ) )
5049cbvralv 2704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) )  <->  A. b  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
5150ralbii 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  A. n  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
52 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  a  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  a )
)
53 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  ( F `  n )  =  ( F `  a ) )
54 oveq2 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  a  ->  ( C  /  n )  =  ( C  /  a
) )
5554oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) ) )
5653, 55breq12d 4017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  n
)  <  ( ( F `  b )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  a )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) ) ) )
5753, 54oveq12d 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 a )  +  ( C  /  a
) ) )
5857breq2d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  b
)  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  b )  <  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) ) ) )
5956, 58anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  a  ->  (
( ( F `  n )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  ( ( F `
 a )  < 
( ( F `  b )  +  ( C  /  a ) )  /\  ( F `
 b )  < 
( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) ) ) )
6052, 59raleqbidv 2685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  a  ->  ( A. b  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( F `  n
)  <  ( ( F `  b )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 n )  +  ( C  /  n
) ) )  <->  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( F `  a )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) ) ) ) )
6160cbvralv 2704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( F `  a )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) ) )
6251, 61bitri 184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( F `  a )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) ) )
6344, 62sylib 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( F `  a )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) ) )
6463ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( F `  a )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) ) ) )
6543, 64, 6rspcdva 2847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A. b  e.  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) ( ( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) ) )
66 eluzle 9540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  n  <_  k )
6766adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <_  k )
681nnred 8932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR )
6915nnred 8932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  RR )
705nnrpd 9694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  Z  e.  RR+ )
7168, 69, 70lemul1d 9740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  x.  Z )  <_  (
k  x.  Z ) ) )
7267, 71mpbid 147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  <_  (
k  x.  Z ) )
736nnzd 9374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  e.  ZZ )
7416nnzd 9374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( k  x.  Z )  e.  ZZ )
75 eluz 9541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  x.  Z
)  e.  ZZ  /\  ( k  x.  Z
)  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  Z )  e.  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) )  <->  ( n  x.  Z )  <_  (
k  x.  Z ) ) )
7673, 74, 75syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
k  x.  Z )  e.  ( ZZ>= `  (
n  x.  Z ) )  <->  ( n  x.  Z )  <_  (
k  x.  Z ) ) )
7772, 76mpbird 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( k  x.  Z )  e.  (
ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) )
7834, 65, 77rspcdva 2847 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( k  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 ( k  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
7921oveq1d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  =  ( ( F `  ( k  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )
8079breq2d 4016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( F `  (
k  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8121breq1d 4014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  <  ( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  ( k  x.  Z
) )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8280, 81anbi12d 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )  <->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( k  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 ( k  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) ) )
8378, 82mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( G `
 k )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8412breq1d 4014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  <  ( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( G `  k
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8512oveq1d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  =  ( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )
8685breq2d 4016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  <  ( ( G `  n )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  <->  ( G `  k )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8784, 86anbi12d 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( G `  n
)  <  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( G `
 n )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )  <->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( G `
 k )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) ) )
8883, 87mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  <  ( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( G `
 k )  < 
( ( G `  n )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8988simpld 112 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  <  (
( G `  k
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )
905nnred 8932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  Z  e.  RR )
911nnrpd 9694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
92 cvg1nlem.start . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  Z )
9392ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  C  <  Z )
9425, 90, 91, 93ltmul1dd 9752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  x.  n )  <  ( Z  x.  n )
)
956nncnd 8933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  e.  CC )
9695mulid2d 7976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 1  x.  ( n  x.  Z ) )  =  ( n  x.  Z
) )
9796breq2d 4016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( C  x.  n )  <  ( 1  x.  (
n  x.  Z ) )  <->  ( C  x.  n )  <  (
n  x.  Z ) ) )
98 1red 7972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  RR )
996nnrpd 9694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  e.  RR+ )
10025, 91, 98, 99lt2mul2divd 9765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( C  x.  n )  <  ( 1  x.  (
n  x.  Z ) )  <->  ( C  / 
( n  x.  Z
) )  <  (
1  /  n ) ) )
1011nncnd 8933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  CC )
1025nncnd 8933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  Z  e.  CC )
103101, 102mulcomd 7979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  =  ( Z  x.  n ) )
104103breq2d 4016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( C  x.  n )  <  ( n  x.  Z
)  <->  ( C  x.  n )  <  ( Z  x.  n )
) )
10597, 100, 1043bitr3d 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( C  /  ( n  x.  Z ) )  < 
( 1  /  n
)  <->  ( C  x.  n )  <  ( Z  x.  n )
) )
10694, 105mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  ( n  x.  Z ) )  < 
( 1  /  n
) )
10726, 28, 22, 106ltadd2dd 8379 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  < 
( ( G `  k )  +  ( 1  /  n ) ) )
10813, 27, 29, 89, 107lttrd 8083 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  <  (
( G `  k
)  +  ( 1  /  n ) ) )
10913, 26readdcld 7987 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  e.  RR )
11013, 28readdcld 7987 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
11188simprd 114 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  <  (
( G `  n
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )
11226, 28, 13, 106ltadd2dd 8379 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  < 
( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) )
11322, 109, 110, 111, 112lttrd 8083 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  <  (
( G `  n
)  +  ( 1  /  n ) ) )
114108, 113jca 306 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  <  ( ( G `  k )  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( G `
 k )  < 
( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
115114ralrimiva 2550 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( G `  n )  <  (
( G `  k
)  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( G `  k )  <  (
( G `  n
)  +  ( 1  /  n ) ) ) )
116115ralrimiva 2550 1  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( G `  n )  <  ( ( G `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4004    |-> cmpt 4065   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   RRcr 7810   1c1 7812    + caddc 7814    x. cmul 7816    < clt 7992    <_ cle 7993    / cdiv 8629   NNcn 8919   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   RR+crp 9653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10994
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