ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvg1n Unicode version

Theorem cvg1n 10997
Description: Convergence of real sequences.

This is a version of caucvgre 10992 with a constant multiplier  C on the rate of convergence. That is, all terms after the nth term must be within  C  /  n of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
cvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
cvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvg1n  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Distinct variable groups:    C, k, n    C, i, j, x, y   
x, F, y    k, F, n    i, F, j    ph, k, n, j    ph, i, x, y, j    j, n   
y, k, j, i

Proof of Theorem cvg1n
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvg1n.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
21rpred 9698 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 arch 9175 . . 3  |-  ( C  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  C  <  z
)
42, 3syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  NN  C  <  z )
5 cvg1n.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
65adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  NN  /\  C  < 
z ) )  ->  F : NN --> RR )
71adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  NN  /\  C  < 
z ) )  ->  C  e.  RR+ )
8 cvg1n.cau . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
98adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  NN  /\  C  < 
z ) )  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
10 eqid 2177 . . 3  |-  ( j  e.  NN  |->  ( F `
 ( j  x.  z ) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( F `  ( j  x.  z
) ) )
11 simprl 529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  NN  /\  C  < 
z ) )  -> 
z  e.  NN )
12 simprr 531 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  NN  /\  C  < 
z ) )  ->  C  <  z )
136, 7, 9, 10, 11, 12cvg1nlemres 10996 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  NN  /\  C  < 
z ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
144, 13rexlimddv 2599 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4005    |-> cmpt 4066   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812    + caddc 7816    x. cmul 7818    < clt 7994    / cdiv 8631   NNcn 8921   ZZ>=cuz 9530   RR+crp 9655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11030  climrecvg1n  11358
  Copyright terms: Public domain W3C validator