Theorem cvg1n 10950

Description: Convergence of real sequences.

This is a version of caucvgre 10945 with a constant multiplier C on the rate of convergence. That is, all terms after the nth term must be within C / n of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvg1n	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   C, k, n   C, i, j, x, y   x, F, y   k, F, n   i, F, j   ph, k, n, j   ph, i, x, y, j   j, n   y, k, j, i

Proof of Theorem cvg1n

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
2	1	rpred 9653	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		arch 9132	. . 3 |- ( C e. RR -> E. z e. NN C < z )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. z e. NN C < z )
5		cvg1n.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
6	5	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> F : NN --> RR )
7	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> C e. RR+ )
8		cvg1n.cau	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
9	8	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
10		eqid 2170	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. z ) ) ) = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. z ) ) )
11		simprl 526	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> z e. NN )
12		simprr 527	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> C < z )
13	6, 7, 9, 10, 11, 12	cvg1nlemres 10949	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
14	4, 13	rexlimddv 2592	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   / cdiv 8589   NNcn 8878   ZZ>=cuz 9487   RR+crp 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611

This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  10983  climrecvg1n  11311