Theorem cvg1n 11768

Description: Convergence of real sequences.

This is a version of caucvgre 11763 with a constant multiplier C on the rate of convergence. That is, all terms after the nth term must be within C / n of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvg1n	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   C, k, n   C, i, j, x, y   x, F, y   k, F, n   i, F, j   ph, k, n, j   ph, i, x, y, j   j, n   y, k, j, i

Proof of Theorem cvg1n

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
2	1	rpred 10108	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		arch 9565	. . 3 |- ( C e. RR -> E. z e. NN C < z )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. z e. NN C < z )
5		cvg1n.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> F : NN --> RR )
7	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> C e. RR+ )
8		cvg1n.cau	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
10		eqid 2238	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. z ) ) ) = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. z ) ) )
11		simprl 535	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> z e. NN )
12		simprr 537	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> C < z )
13	6, 7, 9, 10, 11, 12	cvg1nlemres 11767	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
14	4, 13	rexlimddv 2673	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8179   + caddc 8183   x. cmul 8185   < clt 8361   / cdiv 9005   NNcn 9307   ZZ>=cuz 9931   RR+crp 10065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066

This theorem is used by:  resqrexlemcvg  11801  climrecvg1n  12133