Theorem cvg1n 11546

Description: Convergence of real sequences.

This is a version of caucvgre 11541 with a constant multiplier C on the rate of convergence. That is, all terms after the nth term must be within C / n of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvg1n	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   C, k, n   C, i, j, x, y   x, F, y   k, F, n   i, F, j   ph, k, n, j   ph, i, x, y, j   j, n   y, k, j, i

Proof of Theorem cvg1n

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
2	1	rpred 9930	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		arch 9398	. . 3 |- ( C e. RR -> E. z e. NN C < z )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. z e. NN C < z )
5		cvg1n.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> F : NN --> RR )
7	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> C e. RR+ )
8		cvg1n.cau	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
10		eqid 2231	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. z ) ) ) = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. z ) ) )
11		simprl 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> z e. NN )
12		simprr 533	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> C < z )
13	6, 7, 9, 10, 11, 12	cvg1nlemres 11545	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
14	4, 13	rexlimddv 2655	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   RRcr 8030   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   / cdiv 8851   NNcn 9142   ZZ>=cuz 9754   RR+crp 9887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888

This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11579  climrecvg1n  11908