Theorem cvg1n 10990

Description: Convergence of real sequences.

This is a version of caucvgre 10985 with a constant multiplier C on the rate of convergence. That is, all terms after the nth term must be within C / n of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvg1n	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   C, k, n   C, i, j, x, y   x, F, y   k, F, n   i, F, j   ph, k, n, j   ph, i, x, y, j   j, n   y, k, j, i

Proof of Theorem cvg1n

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
2	1	rpred 9694	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		arch 9171	. . 3 |- ( C e. RR -> E. z e. NN C < z )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. z e. NN C < z )
5		cvg1n.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> F : NN --> RR )
7	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> C e. RR+ )
8		cvg1n.cau	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
10		eqid 2177	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. z ) ) ) = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. z ) ) )
11		simprl 529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> z e. NN )
12		simprr 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> C < z )
13	6, 7, 9, 10, 11, 12	cvg1nlemres 10989	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
14	4, 13	rexlimddv 2599	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4003   |-> cmpt 4064   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   RRcr 7809   + caddc 7813   x. cmul 7815   < clt 7990   / cdiv 8627   NNcn 8917   ZZ>=cuz 9526   RR+crp 9651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652

This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11023  climrecvg1n  11351