Theorem cvg1n 11730

Description: Convergence of real sequences.

This is a version of caucvgre 11725 with a constant multiplier C on the rate of convergence. That is, all terms after the nth term must be within C / n of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvg1n	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   C, k, n   C, i, j, x, y   x, F, y   k, F, n   i, F, j   ph, k, n, j   ph, i, x, y, j   j, n   y, k, j, i

Proof of Theorem cvg1n

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
2	1	rpred 10076	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
3		arch 9539	. . 3 |- ( C e. RR -> E. z e. NN C < z )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. z e. NN C < z )
5		cvg1n.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> F : NN --> RR )
7	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> C e. RR+ )
8		cvg1n.cau	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
10		eqid 2238	. . 3 |- ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. z ) ) ) = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. z ) ) )
11		simprl 535	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> z e. NN )
12		simprr 537	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> C < z )
13	6, 7, 9, 10, 11, 12	cvg1nlemres 11729	. 2 |- ( ( ph /\ ( z e. NN /\ C < z ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
14	4, 13	rexlimddv 2673	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   / cdiv 8992   NNcn 9283   ZZ>=cuz 9900   RR+crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11763  climrecvg1n  12092