Theorem nnmulcld 9353

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnmulcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnmulcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nnmulcl 9325	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   x. cmul 8184   NNcn 9304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-1rid 8286  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305

This theorem is used by:  qbtwnre  10691  bcval  11187  bcm1k  11198  bcp1n  11199  permnn  11210  cvg1nlemcxze  11748  cvg1nlemf  11749  cvg1nlemcau  11750  cvg1nlemres  11751  trireciplem  12267  efaddlem  12441  eftlub  12457  eirraplem  12544  modmulconst  12590  lcmval  12841  oddpwdclemxy  12947  oddpwdclemdc  12951  sqpweven  12953  2sqpwodd  12954  crth  13002  phimullem  13003  modprm0  13033  pcqmul  13082  pcaddlem  13118  pcbc  13130  oddprmdvds  13133  pockthlem  13135  pockthg  13136  4sqlem13m  13182  4sqlem14  13183  4sqlem17  13186  4sqlem18  13187  evenennn  13284  log2tlbndlog2  16082  log2ublem2  16084  log2ublog2  16086  mpodvdsmulf1o  16104  fsumdvdsmul  16105  sgmmul  16110  gausslemma2dlem1a  16177  lgseisenlem2  16190  lgseisenlem4  16192  lgsquadlemsfi  16194  lgsquadlem2  16197  lgsquadlem3  16198  lgsquad2lem2  16201  2sqlem6  16239