Theorem nnmulcld 8471

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnmulcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnmulcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nnmulcl 8443	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1438  (class class class)co 5652   x. cmul 7355   NNcn 8422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-1rid 7452  ax-cnre 7456

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-iota 4980  df-fv 5023  df-ov 5655  df-inn 8423

This theorem is referenced by:  qbtwnre  9668  bcval  10157  bcm1k  10168  bcp1n  10169  permnn  10179  cvg1nlemcxze  10415  cvg1nlemf  10416  cvg1nlemcau  10417  cvg1nlemres  10418  trireciplem  10894  efaddlem  10964  eftlub  10980  eirraplem  11064  modmulconst  11106  lcmval  11323  oddpwdclemxy  11425  oddpwdclemdc  11429  sqpweven  11431  2sqpwodd  11432  crth  11478  phimullem  11479  evenennn  11484