Theorem nnmulcld 9288

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnmulcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnmulcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nnmulcl 9260	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205  (class class class)co 6052   x. cmul 8134   NNcn 9239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-1rid 8236  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-iota 5314  df-fv 5362  df-ov 6055  df-inn 9240

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10620  bcval  11115  bcm1k  11126  bcp1n  11127  permnn  11138  cvg1nlemcxze  11671  cvg1nlemf  11672  cvg1nlemcau  11673  cvg1nlemres  11674  trireciplem  12190  efaddlem  12364  eftlub  12380  eirraplem  12467  modmulconst  12513  lcmval  12764  oddpwdclemxy  12870  oddpwdclemdc  12874  sqpweven  12876  2sqpwodd  12877  crth  12925  phimullem  12926  modprm0  12956  pcqmul  13005  pcaddlem  13041  pcbc  13053  oddprmdvds  13056  pockthlem  13058  pockthg  13059  4sqlem13m  13105  4sqlem14  13106  4sqlem17  13109  4sqlem18  13110  evenennn  13161  mpodvdsmulf1o  15875  fsumdvdsmul  15876  sgmmul  15881  gausslemma2dlem1a  15948  lgseisenlem2  15961  lgseisenlem4  15963  lgsquadlemsfi  15965  lgsquadlem2  15968  lgsquadlem3  15969  lgsquad2lem2  15972  2sqlem6  16010