Theorem nnmulcld 8997

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnmulcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnmulcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nnmulcl 8969	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160  (class class class)co 5895   x. cmul 7845   NNcn 8948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-1rid 7947  ax-cnre 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5898  df-inn 8949

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10286  bcval  10760  bcm1k  10771  bcp1n  10772  permnn  10782  cvg1nlemcxze  11022  cvg1nlemf  11023  cvg1nlemcau  11024  cvg1nlemres  11025  trireciplem  11539  efaddlem  11713  eftlub  11729  eirraplem  11815  modmulconst  11861  lcmval  12094  oddpwdclemxy  12200  oddpwdclemdc  12204  sqpweven  12206  2sqpwodd  12207  crth  12255  phimullem  12256  modprm0  12285  pcqmul  12334  pcaddlem  12370  pcbc  12382  oddprmdvds  12385  pockthlem  12387  pockthg  12388  4sqlem13m  12434  4sqlem14  12435  4sqlem17  12438  4sqlem18  12439  evenennn  12443  lgseisenlem2  14904  2sqlem6  14920