Theorem nnmulcld 9192

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnmulcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnmulcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nnmulcl 9164	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6018   x. cmul 8037   NNcn 9143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-1rid 8139  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10517  bcval  11012  bcm1k  11023  bcp1n  11024  permnn  11034  cvg1nlemcxze  11560  cvg1nlemf  11561  cvg1nlemcau  11562  cvg1nlemres  11563  trireciplem  12079  efaddlem  12253  eftlub  12269  eirraplem  12356  modmulconst  12402  lcmval  12653  oddpwdclemxy  12759  oddpwdclemdc  12763  sqpweven  12765  2sqpwodd  12766  crth  12814  phimullem  12815  modprm0  12845  pcqmul  12894  pcaddlem  12930  pcbc  12942  oddprmdvds  12945  pockthlem  12947  pockthg  12948  4sqlem13m  12994  4sqlem14  12995  4sqlem17  12998  4sqlem18  12999  evenennn  13032  mpodvdsmulf1o  15733  fsumdvdsmul  15734  sgmmul  15739  gausslemma2dlem1a  15806  lgseisenlem2  15819  lgseisenlem4  15821  lgsquadlemsfi  15823  lgsquadlem2  15826  lgsquadlem3  15827  lgsquad2lem2  15830  2sqlem6  15868