Theorem nnmulcld 9087

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnmulcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnmulcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nnmulcl 9059	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   x. cmul 7932   NNcn 9038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-1rid 8034  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-iota 5233  df-fv 5280  df-ov 5949  df-inn 9039

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10401  bcval  10896  bcm1k  10907  bcp1n  10908  permnn  10918  cvg1nlemcxze  11326  cvg1nlemf  11327  cvg1nlemcau  11328  cvg1nlemres  11329  trireciplem  11844  efaddlem  12018  eftlub  12034  eirraplem  12121  modmulconst  12167  lcmval  12418  oddpwdclemxy  12524  oddpwdclemdc  12528  sqpweven  12530  2sqpwodd  12531  crth  12579  phimullem  12580  modprm0  12610  pcqmul  12659  pcaddlem  12695  pcbc  12707  oddprmdvds  12710  pockthlem  12712  pockthg  12713  4sqlem13m  12759  4sqlem14  12760  4sqlem17  12763  4sqlem18  12764  evenennn  12797  mpodvdsmulf1o  15495  fsumdvdsmul  15496  sgmmul  15501  gausslemma2dlem1a  15568  lgseisenlem2  15581  lgseisenlem4  15583  lgsquadlemsfi  15585  lgsquadlem2  15588  lgsquadlem3  15589  lgsquad2lem2  15592  2sqlem6  15630