Theorem nnmulcld 9251

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnmulcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnmulcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nnmulcl 9223	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   x. cmul 8097   NNcn 9202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-1rid 8199  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9203

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10579  bcval  11074  bcm1k  11085  bcp1n  11086  permnn  11096  cvg1nlemcxze  11622  cvg1nlemf  11623  cvg1nlemcau  11624  cvg1nlemres  11625  trireciplem  12141  efaddlem  12315  eftlub  12331  eirraplem  12418  modmulconst  12464  lcmval  12715  oddpwdclemxy  12821  oddpwdclemdc  12825  sqpweven  12827  2sqpwodd  12828  crth  12876  phimullem  12877  modprm0  12907  pcqmul  12956  pcaddlem  12992  pcbc  13004  oddprmdvds  13007  pockthlem  13009  pockthg  13010  4sqlem13m  13056  4sqlem14  13057  4sqlem17  13060  4sqlem18  13061  evenennn  13094  mpodvdsmulf1o  15804  fsumdvdsmul  15805  sgmmul  15810  gausslemma2dlem1a  15877  lgseisenlem2  15890  lgseisenlem4  15892  lgsquadlemsfi  15894  lgsquadlem2  15897  lgsquadlem3  15898  lgsquad2lem2  15901  2sqlem6  15939