Theorem nnmulcld 9042

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnmulcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnmulcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nnmulcl 9014	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5923   x. cmul 7887   NNcn 8993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-1rid 7989  ax-cnre 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5926  df-inn 8994

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10349  bcval  10844  bcm1k  10855  bcp1n  10856  permnn  10866  cvg1nlemcxze  11150  cvg1nlemf  11151  cvg1nlemcau  11152  cvg1nlemres  11153  trireciplem  11668  efaddlem  11842  eftlub  11858  eirraplem  11945  modmulconst  11991  lcmval  12242  oddpwdclemxy  12348  oddpwdclemdc  12352  sqpweven  12354  2sqpwodd  12355  crth  12403  phimullem  12404  modprm0  12434  pcqmul  12483  pcaddlem  12519  pcbc  12531  oddprmdvds  12534  pockthlem  12536  pockthg  12537  4sqlem13m  12583  4sqlem14  12584  4sqlem17  12587  4sqlem18  12588  evenennn  12621  mpodvdsmulf1o  15252  fsumdvdsmul  15253  sgmmul  15258  gausslemma2dlem1a  15325  lgseisenlem2  15338  lgseisenlem4  15340  lgsquadlemsfi  15342  lgsquadlem2  15345  lgsquadlem3  15346  lgsquad2lem2  15349  2sqlem6  15387