Theorem nnmulcld 9159

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnmulcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnmulcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nnmulcl 9131	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   x. cmul 8004   NNcn 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-1rid 8106  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-inn 9111

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10476  bcval  10971  bcm1k  10982  bcp1n  10983  permnn  10993  cvg1nlemcxze  11493  cvg1nlemf  11494  cvg1nlemcau  11495  cvg1nlemres  11496  trireciplem  12011  efaddlem  12185  eftlub  12201  eirraplem  12288  modmulconst  12334  lcmval  12585  oddpwdclemxy  12691  oddpwdclemdc  12695  sqpweven  12697  2sqpwodd  12698  crth  12746  phimullem  12747  modprm0  12777  pcqmul  12826  pcaddlem  12862  pcbc  12874  oddprmdvds  12877  pockthlem  12879  pockthg  12880  4sqlem13m  12926  4sqlem14  12927  4sqlem17  12930  4sqlem18  12931  evenennn  12964  mpodvdsmulf1o  15664  fsumdvdsmul  15665  sgmmul  15670  gausslemma2dlem1a  15737  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem4  15752  lgsquadlemsfi  15754  lgsquadlem2  15757  lgsquadlem3  15758  lgsquad2lem2  15761  2sqlem6  15799