Theorem nnmulcld 9085

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnmulcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnmulcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nnmulcl 9057	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   x. cmul 7930   NNcn 9036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-1rid 8032  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037

This theorem is referenced by:  qbtwnre  10399  bcval  10894  bcm1k  10905  bcp1n  10906  permnn  10916  cvg1nlemcxze  11293  cvg1nlemf  11294  cvg1nlemcau  11295  cvg1nlemres  11296  trireciplem  11811  efaddlem  11985  eftlub  12001  eirraplem  12088  modmulconst  12134  lcmval  12385  oddpwdclemxy  12491  oddpwdclemdc  12495  sqpweven  12497  2sqpwodd  12498  crth  12546  phimullem  12547  modprm0  12577  pcqmul  12626  pcaddlem  12662  pcbc  12674  oddprmdvds  12677  pockthlem  12679  pockthg  12680  4sqlem13m  12726  4sqlem14  12727  4sqlem17  12730  4sqlem18  12731  evenennn  12764  mpodvdsmulf1o  15462  fsumdvdsmul  15463  sgmmul  15468  gausslemma2dlem1a  15535  lgseisenlem2  15548  lgseisenlem4  15550  lgsquadlemsfi  15552  lgsquadlem2  15555  lgsquadlem3  15556  lgsquad2lem2  15559  2sqlem6  15597