Theorem decsuc 9762

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	|- A e. NN0
declt.b	|- B e. NN0
decsuc.c	|- ( B + 1 ) = C
decsuc.n	|- N = ; A B

Assertion

Ref	Expression
decsuc	|- ( N + 1 ) = ; A C

Proof of Theorem decsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9749	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		declt.a	. . 3 |- A e. NN0
3		declt.b	. . 3 |- B e. NN0
4		decsuc.c	. . 3 |- ( B + 1 ) = C
5		decsuc.n	. . . 4 |- N = ; A B
6		dfdec10 9735	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
7	5, 6	eqtri 2255	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8	1, 2, 3, 4, 7	numsuc 9745	. 2 |- ( N + 1 ) = ( (; 1 0 x. A ) + C )
9		dfdec10 9735	. 2 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
10	8, 9	eqtr4i 2258	1 |- ( N + 1 ) = ; A C

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6060   0cc0 8145   1c1 8146   + caddc 8148   x. cmul 8150   NN0cn0 9518  ;cdc 9732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-sub 8465  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-9 9325  df-n0 9519  df-dec 9733

This theorem is referenced by:  6p5lem  9801  dec2dvds  13140  ex-exp  16627