ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decsuc Unicode version

Theorem decsuc 9226
Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declt.a  |-  A  e. 
NN0
declt.b  |-  B  e. 
NN0
decsuc.c  |-  ( B  +  1 )  =  C
decsuc.n  |-  N  = ; A B
Assertion
Ref Expression
decsuc  |-  ( N  +  1 )  = ; A C

Proof of Theorem decsuc
StepHypRef Expression
1 10nn0 9213 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN0
2 declt.a . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 declt.b . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decsuc.c . . 3  |-  ( B  +  1 )  =  C
5 decsuc.n . . . 4  |-  N  = ; A B
6 dfdec10 9199 . . . 4  |- ; A B  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
75, 6eqtri 2160 . . 3  |-  N  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
81, 2, 3, 4, 7numsuc 9209 . 2  |-  ( N  +  1 )  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  C )
9 dfdec10 9199 . 2  |- ; A C  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  C )
108, 9eqtr4i 2163 1  |-  ( N  +  1 )  = ; A C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1331    e. wcel 1480  (class class class)co 5774   0cc0 7634   1c1 7635    + caddc 7637    x. cmul 7639   NN0cn0 8991  ;cdc 9196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-cnre 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7949  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-5 8796  df-6 8797  df-7 8798  df-8 8799  df-9 8800  df-n0 8992  df-dec 9197
This theorem is referenced by:  6p5lem  9265  ex-exp  13046
  Copyright terms: Public domain W3C validator