Theorem ex-exp 16049

Description: Example for df-exp 10756. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	|- ( ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5 /\ ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 ) )

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9168	. . . 4 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	oveq1i 6010	. . 3 |- ( 5 ^ 2 ) = ( ( 4 + 1 ) ^ 2 )
3		4cn 9184	. . . . 5 |- 4 e. CC
4		binom21 10869	. . . . 5 |- ( 4 e. CC -> ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 )
6		2nn0 9382	. . . . 5 |- 2 e. NN0
7		4nn0 9384	. . . . 5 |- 4 e. NN0
8		4p1e5 9243	. . . . 5 |- ( 4 + 1 ) = 5
9		sq4e2t8 10854	. . . . . . . 8 |- ( 4 ^ 2 ) = ( 2 x. 8 )
10		8cn 9192	. . . . . . . . 9 |- 8 e. CC
11		2cn 9177	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
12		8t2e16 9688	. . . . . . . . 9 |- ( 8 x. 2 ) = ; 1 6
13	10, 11, 12	mulcomli 8149	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 8 ) = ; 1 6
14	9, 13	eqtri 2250	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ 2 ) = ; 1 6
15		4t2e8 9265	. . . . . . . 8 |- ( 4 x. 2 ) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8149	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 4 ) = 8
17	14, 16	oveq12i 6012	. . . . . 6 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = (; 1 6 + 8 )
18		1nn0 9381	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
19		6nn0 9386	. . . . . . 7 |- 6 e. NN0
20		8nn0 9388	. . . . . . 7 |- 8 e. NN0
21		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ; 1 6 = ; 1 6
22		1p1e2 9223	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
23		6cn 9188	. . . . . . . 8 |- 6 e. CC
24		8p6e14 9657	. . . . . . . 8 |- ( 8 + 6 ) = ; 1 4
25	10, 23, 24	addcomli 8287	. . . . . . 7 |- ( 6 + 8 ) = ; 1 4
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9634	. . . . . 6 |- (; 1 6 + 8 ) = ; 2 4
27	17, 26	eqtri 2250	. . . . 5 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = ; 2 4
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9604	. . . 4 |- ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) = ; 2 5
29	5, 28	eqtri 2250	. . 3 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ; 2 5
30	2, 29	eqtri 2250	. 2 |- ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5
31		3cn 9181	. . . . 5 |- 3 e. CC
32	31	negcli 8410	. . . 4 |- -u 3 e. CC
33		3ap0 9202	. . . . 5 |- 3 # 0
34		negap0 8773	. . . . . 6 |- ( 3 e. CC -> ( 3 # 0 <-> -u 3 # 0 ) )
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 3 # 0 <-> -u 3 # 0 )
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 |- -u 3 # 0
37		expnegap0 10764	. . . 4 |- ( ( -u 3 e. CC /\ -u 3 # 0 /\ 2 e. NN0 ) -> ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) ) )
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1371	. . 3 |- ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) )
39		sqneg 10815	. . . . . 6 |- ( 3 e. CC -> ( -u 3 ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 ) )
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( -u 3 ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 )
41		sq3 10853	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
42	40, 41	eqtri 2250	. . . 4 |- ( -u 3 ^ 2 ) = 9
43	42	oveq2i 6011	. . 3 |- ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) ) = ( 1 / 9 )
44	38, 43	eqtri 2250	. 2 |- ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 )
45	30, 44	pm3.2i 272	1 |- ( ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5 /\ ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   CCcc 7993   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   x. cmul 8000   -ucneg 8314   # cap 8724   / cdiv 8815   2c2 9157   3c3 9158   4c4 9159   5c5 9160   6c6 9161   8c8 9163   9c9 9164   NN0cn0 9365  ;cdc 9574   ^cexp 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-dec 9575  df-uz 9719  df-seqfrec 10665  df-exp 10756

This theorem is referenced by: (None)