ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-exp Unicode version

Theorem ex-exp 12741
Description: Example for df-exp 10233. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp  |-  ( ( 5 ^ 2 )  = ; 2 5  /\  ( -u 3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  9 ) )

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 8739 . . . 4  |-  5  =  ( 4  +  1 )
21oveq1i 5750 . . 3  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( ( 4  +  1 ) ^ 2 )
3 4cn 8755 . . . . 5  |-  4  e.  CC
4 binom21 10344 . . . . 5  |-  ( 4  e.  CC  ->  (
( 4  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  +  1 ) )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( 4  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  +  1 )
6 2nn0 8945 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
7 4nn0 8947 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
8 4p1e5 8807 . . . . 5  |-  ( 4  +  1 )  =  5
9 sq4e2t8 10330 . . . . . . . 8  |-  ( 4 ^ 2 )  =  ( 2  x.  8 )
10 8cn 8763 . . . . . . . . 9  |-  8  e.  CC
11 2cn 8748 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
12 8t2e16 9247 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
1310, 11, 12mulcomli 7737 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
149, 13eqtri 2136 . . . . . . 7  |-  ( 4 ^ 2 )  = ; 1
6
15 4t2e8 8829 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
163, 11, 15mulcomli 7737 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
1714, 16oveq12i 5752 . . . . . 6  |-  ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  =  (; 1 6  +  8 )
18 1nn0 8944 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
19 6nn0 8949 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN0
20 8nn0 8951 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
21 eqid 2115 . . . . . . 7  |- ; 1 6  = ; 1 6
22 1p1e2 8794 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
23 6cn 8759 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
24 8p6e14 9216 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  6 )  = ; 1
4
2510, 23, 24addcomli 7871 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  8 )  = ; 1
4
2618, 19, 20, 21, 22, 7, 25decaddci 9193 . . . . . 6  |-  (; 1 6  +  8 )  = ; 2 4
2717, 26eqtri 2136 . . . . 5  |-  ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  = ; 2
4
286, 7, 8, 27decsuc 9163 . . . 4  |-  ( ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  +  1 )  = ; 2
5
295, 28eqtri 2136 . . 3  |-  ( ( 4  +  1 ) ^ 2 )  = ; 2
5
302, 29eqtri 2136 . 2  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
31 3cn 8752 . . . . 5  |-  3  e.  CC
3231negcli 7994 . . . 4  |-  -u 3  e.  CC
33 3ap0 8773 . . . . 5  |-  3 #  0
34 negap0 8355 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  ->  (
3 #  0  <->  -u 3 #  0 ) )
3531, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 3 #  0  <->  -u 3 #  0 )
3633, 35mpbi 144 . . . 4  |-  -u 3 #  0
37 expnegap0 10241 . . . 4  |-  ( (
-u 3  e.  CC  /\  -u 3 #  0  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( -u 3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( -u 3 ^ 2 ) ) )
3832, 36, 6, 37mp3an 1298 . . 3  |-  ( -u
3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( -u 3 ^ 2 ) )
39 sqneg 10292 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  ->  ( -u 3 ^ 2 )  =  ( 3 ^ 2 ) )
4031, 39ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( -u
3 ^ 2 )  =  ( 3 ^ 2 )
41 sq3 10329 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  =  9
4240, 41eqtri 2136 . . . 4  |-  ( -u
3 ^ 2 )  =  9
4342oveq2i 5751 . . 3  |-  ( 1  /  ( -u 3 ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
9 )
4438, 43eqtri 2136 . 2  |-  ( -u
3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  9 )
4530, 44pm3.2i 268 1  |-  ( ( 5 ^ 2 )  = ; 2 5  /\  ( -u 3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  9 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   CCcc 7582   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    x. cmul 7589   -ucneg 7898   # cap 8306    / cdiv 8392   2c2 8728   3c3 8729   4c4 8730   5c5 8731   6c6 8732   8c8 8734   9c9 8735   NN0cn0 8928  ;cdc 9133   ^cexp 10232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-5 8739  df-6 8740  df-7 8741  df-8 8742  df-9 8743  df-n0 8929  df-z 9006  df-dec 9134  df-uz 9276  df-seqfrec 10159  df-exp 10233
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator