ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-exp Unicode version

Theorem ex-exp 11654
Description: Example for df-exp 9955. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp  |-  ( ( 5 ^ 2 )  = ; 2 5  /\  ( -u 3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  9 ) )

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 8484 . . . 4  |-  5  =  ( 4  +  1 )
21oveq1i 5662 . . 3  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( ( 4  +  1 ) ^ 2 )
3 4cn 8500 . . . . 5  |-  4  e.  CC
4 binom21 10066 . . . . 5  |-  ( 4  e.  CC  ->  (
( 4  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  +  1 ) )
53, 4ax-mp 7 . . . 4  |-  ( ( 4  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  +  1 )
6 2nn0 8690 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
7 4nn0 8692 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
8 4p1e5 8552 . . . . 5  |-  ( 4  +  1 )  =  5
9 sq4e2t8 10052 . . . . . . . 8  |-  ( 4 ^ 2 )  =  ( 2  x.  8 )
10 8cn 8508 . . . . . . . . 9  |-  8  e.  CC
11 2cn 8493 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
12 8t2e16 8991 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
1310, 11, 12mulcomli 7495 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
149, 13eqtri 2108 . . . . . . 7  |-  ( 4 ^ 2 )  = ; 1
6
15 4t2e8 8574 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
163, 11, 15mulcomli 7495 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
1714, 16oveq12i 5664 . . . . . 6  |-  ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  =  (; 1 6  +  8 )
18 1nn0 8689 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
19 6nn0 8694 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN0
20 8nn0 8696 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
21 eqid 2088 . . . . . . 7  |- ; 1 6  = ; 1 6
22 1p1e2 8539 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
23 6cn 8504 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
24 8p6e14 8960 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  6 )  = ; 1
4
2510, 23, 24addcomli 7627 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  8 )  = ; 1
4
2618, 19, 20, 21, 22, 7, 25decaddci 8937 . . . . . 6  |-  (; 1 6  +  8 )  = ; 2 4
2717, 26eqtri 2108 . . . . 5  |-  ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  = ; 2
4
286, 7, 8, 27decsuc 8907 . . . 4  |-  ( ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  +  1 )  = ; 2
5
295, 28eqtri 2108 . . 3  |-  ( ( 4  +  1 ) ^ 2 )  = ; 2
5
302, 29eqtri 2108 . 2  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
31 3cn 8497 . . . . 5  |-  3  e.  CC
3231negcli 7750 . . . 4  |-  -u 3  e.  CC
33 3ap0 8518 . . . . 5  |-  3 #  0
34 negap0 8106 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  ->  (
3 #  0  <->  -u 3 #  0 ) )
3531, 34ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( 3 #  0  <->  -u 3 #  0 )
3633, 35mpbi 143 . . . 4  |-  -u 3 #  0
37 expnegap0 9963 . . . 4  |-  ( (
-u 3  e.  CC  /\  -u 3 #  0  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( -u 3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( -u 3 ^ 2 ) ) )
3832, 36, 6, 37mp3an 1273 . . 3  |-  ( -u
3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( -u 3 ^ 2 ) )
39 sqneg 10014 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  ->  ( -u 3 ^ 2 )  =  ( 3 ^ 2 ) )
4031, 39ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( -u
3 ^ 2 )  =  ( 3 ^ 2 )
41 sq3 10051 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  =  9
4240, 41eqtri 2108 . . . 4  |-  ( -u
3 ^ 2 )  =  9
4342oveq2i 5663 . . 3  |-  ( 1  /  ( -u 3 ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
9 )
4438, 43eqtri 2108 . 2  |-  ( -u
3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  9 )
4530, 44pm3.2i 266 1  |-  ( ( 5 ^ 2 )  = ; 2 5  /\  ( -u 3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  9 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   CCcc 7348   0cc0 7350   1c1 7351    + caddc 7353    x. cmul 7355   -ucneg 7654   # cap 8058    / cdiv 8139   2c2 8473   3c3 8474   4c4 8475   5c5 8476   6c6 8477   8c8 8479   9c9 8480   NN0cn0 8673  ;cdc 8877   ^cexp 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-5 8484  df-6 8485  df-7 8486  df-8 8487  df-9 8488  df-n0 8674  df-z 8751  df-dec 8878  df-uz 9020  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator