Theorem ex-exp 16621

Description: Example for df-exp 10925. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	|- ( ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5 /\ ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 ) )

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9316	. . . 4 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	oveq1i 6068	. . 3 |- ( 5 ^ 2 ) = ( ( 4 + 1 ) ^ 2 )
3		4cn 9332	. . . . 5 |- 4 e. CC
4		binom21 11038	. . . . 5 |- ( 4 e. CC -> ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 )
6		2nn0 9530	. . . . 5 |- 2 e. NN0
7		4nn0 9532	. . . . 5 |- 4 e. NN0
8		4p1e5 9391	. . . . 5 |- ( 4 + 1 ) = 5
9		sq4e2t8 11023	. . . . . . . 8 |- ( 4 ^ 2 ) = ( 2 x. 8 )
10		8cn 9340	. . . . . . . . 9 |- 8 e. CC
11		2cn 9325	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
12		8t2e16 9841	. . . . . . . . 9 |- ( 8 x. 2 ) = ; 1 6
13	10, 11, 12	mulcomli 8297	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 8 ) = ; 1 6
14	9, 13	eqtri 2255	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ 2 ) = ; 1 6
15		4t2e8 9413	. . . . . . . 8 |- ( 4 x. 2 ) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8297	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 4 ) = 8
17	14, 16	oveq12i 6070	. . . . . 6 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = (; 1 6 + 8 )
18		1nn0 9529	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
19		6nn0 9534	. . . . . . 7 |- 6 e. NN0
20		8nn0 9536	. . . . . . 7 |- 8 e. NN0
21		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ; 1 6 = ; 1 6
22		1p1e2 9371	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
23		6cn 9336	. . . . . . . 8 |- 6 e. CC
24		8p6e14 9810	. . . . . . . 8 |- ( 8 + 6 ) = ; 1 4
25	10, 23, 24	addcomli 8434	. . . . . . 7 |- ( 6 + 8 ) = ; 1 4
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9787	. . . . . 6 |- (; 1 6 + 8 ) = ; 2 4
27	17, 26	eqtri 2255	. . . . 5 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = ; 2 4
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9757	. . . 4 |- ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) = ; 2 5
29	5, 28	eqtri 2255	. . 3 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ; 2 5
30	2, 29	eqtri 2255	. 2 |- ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5
31		3cn 9329	. . . . 5 |- 3 e. CC
32	31	negcli 8557	. . . 4 |- -u 3 e. CC
33		3ap0 9350	. . . . 5 |- 3 # 0
34		negap0 8921	. . . . . 6 |- ( 3 e. CC -> ( 3 # 0 <-> -u 3 # 0 ) )
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 3 # 0 <-> -u 3 # 0 )
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 |- -u 3 # 0
37		expnegap0 10933	. . . 4 |- ( ( -u 3 e. CC /\ -u 3 # 0 /\ 2 e. NN0 ) -> ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) ) )
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1374	. . 3 |- ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) )
39		sqneg 10984	. . . . . 6 |- ( 3 e. CC -> ( -u 3 ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 ) )
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( -u 3 ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 )
41		sq3 11022	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
42	40, 41	eqtri 2255	. . . 4 |- ( -u 3 ^ 2 ) = 9
43	42	oveq2i 6069	. . 3 |- ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) ) = ( 1 / 9 )
44	38, 43	eqtri 2255	. 2 |- ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 )
45	30, 44	pm3.2i 272	1 |- ( ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5 /\ ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   -ucneg 8461   # cap 8872   / cdiv 8963   2c2 9305   3c3 9306   4c4 9307   5c5 9308   6c6 9309   8c8 9311   9c9 9312   NN0cn0 9513  ;cdc 9727   ^cexp 10924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-exp 10925

This theorem is referenced by: (None)