Theorem ex-exp 15663

Description: Example for df-exp 10684. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	|- ( ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5 /\ ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 ) )

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9098	. . . 4 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	oveq1i 5954	. . 3 |- ( 5 ^ 2 ) = ( ( 4 + 1 ) ^ 2 )
3		4cn 9114	. . . . 5 |- 4 e. CC
4		binom21 10797	. . . . 5 |- ( 4 e. CC -> ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 )
6		2nn0 9312	. . . . 5 |- 2 e. NN0
7		4nn0 9314	. . . . 5 |- 4 e. NN0
8		4p1e5 9173	. . . . 5 |- ( 4 + 1 ) = 5
9		sq4e2t8 10782	. . . . . . . 8 |- ( 4 ^ 2 ) = ( 2 x. 8 )
10		8cn 9122	. . . . . . . . 9 |- 8 e. CC
11		2cn 9107	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
12		8t2e16 9618	. . . . . . . . 9 |- ( 8 x. 2 ) = ; 1 6
13	10, 11, 12	mulcomli 8079	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 8 ) = ; 1 6
14	9, 13	eqtri 2226	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ 2 ) = ; 1 6
15		4t2e8 9195	. . . . . . . 8 |- ( 4 x. 2 ) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8079	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 4 ) = 8
17	14, 16	oveq12i 5956	. . . . . 6 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = (; 1 6 + 8 )
18		1nn0 9311	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
19		6nn0 9316	. . . . . . 7 |- 6 e. NN0
20		8nn0 9318	. . . . . . 7 |- 8 e. NN0
21		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ; 1 6 = ; 1 6
22		1p1e2 9153	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
23		6cn 9118	. . . . . . . 8 |- 6 e. CC
24		8p6e14 9587	. . . . . . . 8 |- ( 8 + 6 ) = ; 1 4
25	10, 23, 24	addcomli 8217	. . . . . . 7 |- ( 6 + 8 ) = ; 1 4
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9564	. . . . . 6 |- (; 1 6 + 8 ) = ; 2 4
27	17, 26	eqtri 2226	. . . . 5 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = ; 2 4
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9534	. . . 4 |- ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) = ; 2 5
29	5, 28	eqtri 2226	. . 3 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ; 2 5
30	2, 29	eqtri 2226	. 2 |- ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5
31		3cn 9111	. . . . 5 |- 3 e. CC
32	31	negcli 8340	. . . 4 |- -u 3 e. CC
33		3ap0 9132	. . . . 5 |- 3 # 0
34		negap0 8703	. . . . . 6 |- ( 3 e. CC -> ( 3 # 0 <-> -u 3 # 0 ) )
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 3 # 0 <-> -u 3 # 0 )
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 |- -u 3 # 0
37		expnegap0 10692	. . . 4 |- ( ( -u 3 e. CC /\ -u 3 # 0 /\ 2 e. NN0 ) -> ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) ) )
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1350	. . 3 |- ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) )
39		sqneg 10743	. . . . . 6 |- ( 3 e. CC -> ( -u 3 ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 ) )
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( -u 3 ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 )
41		sq3 10781	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
42	40, 41	eqtri 2226	. . . 4 |- ( -u 3 ^ 2 ) = 9
43	42	oveq2i 5955	. . 3 |- ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) ) = ( 1 / 9 )
44	38, 43	eqtri 2226	. 2 |- ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 )
45	30, 44	pm3.2i 272	1 |- ( ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5 /\ ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   -ucneg 8244   # cap 8654   / cdiv 8745   2c2 9087   3c3 9088   4c4 9089   5c5 9090   6c6 9091   8c8 9093   9c9 9094   NN0cn0 9295  ;cdc 9504   ^cexp 10683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-dec 9505  df-uz 9649  df-seqfrec 10593  df-exp 10684

This theorem is referenced by: (None)