ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-exp Unicode version

Theorem ex-exp 13400
Description: Example for df-exp 10429. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp  |-  ( ( 5 ^ 2 )  = ; 2 5  /\  ( -u 3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  9 ) )

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 8901 . . . 4  |-  5  =  ( 4  +  1 )
21oveq1i 5837 . . 3  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( ( 4  +  1 ) ^ 2 )
3 4cn 8917 . . . . 5  |-  4  e.  CC
4 binom21 10540 . . . . 5  |-  ( 4  e.  CC  ->  (
( 4  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  +  1 ) )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( 4  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  +  1 )
6 2nn0 9113 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
7 4nn0 9115 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
8 4p1e5 8975 . . . . 5  |-  ( 4  +  1 )  =  5
9 sq4e2t8 10526 . . . . . . . 8  |-  ( 4 ^ 2 )  =  ( 2  x.  8 )
10 8cn 8925 . . . . . . . . 9  |-  8  e.  CC
11 2cn 8910 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
12 8t2e16 9415 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
1310, 11, 12mulcomli 7888 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
149, 13eqtri 2178 . . . . . . 7  |-  ( 4 ^ 2 )  = ; 1
6
15 4t2e8 8997 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
163, 11, 15mulcomli 7888 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
1714, 16oveq12i 5839 . . . . . 6  |-  ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  =  (; 1 6  +  8 )
18 1nn0 9112 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
19 6nn0 9117 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN0
20 8nn0 9119 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
21 eqid 2157 . . . . . . 7  |- ; 1 6  = ; 1 6
22 1p1e2 8956 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
23 6cn 8921 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
24 8p6e14 9384 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  6 )  = ; 1
4
2510, 23, 24addcomli 8025 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  8 )  = ; 1
4
2618, 19, 20, 21, 22, 7, 25decaddci 9361 . . . . . 6  |-  (; 1 6  +  8 )  = ; 2 4
2717, 26eqtri 2178 . . . . 5  |-  ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  = ; 2
4
286, 7, 8, 27decsuc 9331 . . . 4  |-  ( ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  +  1 )  = ; 2
5
295, 28eqtri 2178 . . 3  |-  ( ( 4  +  1 ) ^ 2 )  = ; 2
5
302, 29eqtri 2178 . 2  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
31 3cn 8914 . . . . 5  |-  3  e.  CC
3231negcli 8148 . . . 4  |-  -u 3  e.  CC
33 3ap0 8935 . . . . 5  |-  3 #  0
34 negap0 8510 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  ->  (
3 #  0  <->  -u 3 #  0 ) )
3531, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 3 #  0  <->  -u 3 #  0 )
3633, 35mpbi 144 . . . 4  |-  -u 3 #  0
37 expnegap0 10437 . . . 4  |-  ( (
-u 3  e.  CC  /\  -u 3 #  0  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( -u 3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( -u 3 ^ 2 ) ) )
3832, 36, 6, 37mp3an 1319 . . 3  |-  ( -u
3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( -u 3 ^ 2 ) )
39 sqneg 10488 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  ->  ( -u 3 ^ 2 )  =  ( 3 ^ 2 ) )
4031, 39ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( -u
3 ^ 2 )  =  ( 3 ^ 2 )
41 sq3 10525 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  =  9
4240, 41eqtri 2178 . . . 4  |-  ( -u
3 ^ 2 )  =  9
4342oveq2i 5838 . . 3  |-  ( 1  /  ( -u 3 ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
9 )
4438, 43eqtri 2178 . 2  |-  ( -u
3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  9 )
4530, 44pm3.2i 270 1  |-  ( ( 5 ^ 2 )  = ; 2 5  /\  ( -u 3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  9 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5827   CCcc 7733   0cc0 7735   1c1 7736    + caddc 7738    x. cmul 7740   -ucneg 8052   # cap 8461    / cdiv 8550   2c2 8890   3c3 8891   4c4 8892   5c5 8893   6c6 8894   8c8 8896   9c9 8897   NN0cn0 9096  ;cdc 9301   ^cexp 10428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-frec 6341  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-inn 8840  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-5 8901  df-6 8902  df-7 8903  df-8 8904  df-9 8905  df-n0 9097  df-z 9174  df-dec 9302  df-uz 9446  df-seqfrec 10355  df-exp 10429
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator