ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-exp Unicode version

Theorem ex-exp 12866
Description: Example for df-exp 10261. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp  |-  ( ( 5 ^ 2 )  = ; 2 5  /\  ( -u 3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  9 ) )

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 8750 . . . 4  |-  5  =  ( 4  +  1 )
21oveq1i 5752 . . 3  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( ( 4  +  1 ) ^ 2 )
3 4cn 8766 . . . . 5  |-  4  e.  CC
4 binom21 10372 . . . . 5  |-  ( 4  e.  CC  ->  (
( 4  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  +  1 ) )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( 4  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  +  1 )
6 2nn0 8962 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
7 4nn0 8964 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
8 4p1e5 8824 . . . . 5  |-  ( 4  +  1 )  =  5
9 sq4e2t8 10358 . . . . . . . 8  |-  ( 4 ^ 2 )  =  ( 2  x.  8 )
10 8cn 8774 . . . . . . . . 9  |-  8  e.  CC
11 2cn 8759 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
12 8t2e16 9264 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
1310, 11, 12mulcomli 7741 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  8 )  = ; 1
6
149, 13eqtri 2138 . . . . . . 7  |-  ( 4 ^ 2 )  = ; 1
6
15 4t2e8 8846 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
163, 11, 15mulcomli 7741 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
1714, 16oveq12i 5754 . . . . . 6  |-  ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  =  (; 1 6  +  8 )
18 1nn0 8961 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
19 6nn0 8966 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN0
20 8nn0 8968 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
21 eqid 2117 . . . . . . 7  |- ; 1 6  = ; 1 6
22 1p1e2 8805 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
23 6cn 8770 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
24 8p6e14 9233 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  6 )  = ; 1
4
2510, 23, 24addcomli 7875 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  8 )  = ; 1
4
2618, 19, 20, 21, 22, 7, 25decaddci 9210 . . . . . 6  |-  (; 1 6  +  8 )  = ; 2 4
2717, 26eqtri 2138 . . . . 5  |-  ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  = ; 2
4
286, 7, 8, 27decsuc 9180 . . . 4  |-  ( ( ( 4 ^ 2 )  +  ( 2  x.  4 ) )  +  1 )  = ; 2
5
295, 28eqtri 2138 . . 3  |-  ( ( 4  +  1 ) ^ 2 )  = ; 2
5
302, 29eqtri 2138 . 2  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
31 3cn 8763 . . . . 5  |-  3  e.  CC
3231negcli 7998 . . . 4  |-  -u 3  e.  CC
33 3ap0 8784 . . . . 5  |-  3 #  0
34 negap0 8360 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  ->  (
3 #  0  <->  -u 3 #  0 ) )
3531, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 3 #  0  <->  -u 3 #  0 )
3633, 35mpbi 144 . . . 4  |-  -u 3 #  0
37 expnegap0 10269 . . . 4  |-  ( (
-u 3  e.  CC  /\  -u 3 #  0  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( -u 3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( -u 3 ^ 2 ) ) )
3832, 36, 6, 37mp3an 1300 . . 3  |-  ( -u
3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( -u 3 ^ 2 ) )
39 sqneg 10320 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  CC  ->  ( -u 3 ^ 2 )  =  ( 3 ^ 2 ) )
4031, 39ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( -u
3 ^ 2 )  =  ( 3 ^ 2 )
41 sq3 10357 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  =  9
4240, 41eqtri 2138 . . . 4  |-  ( -u
3 ^ 2 )  =  9
4342oveq2i 5753 . . 3  |-  ( 1  /  ( -u 3 ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
9 )
4438, 43eqtri 2138 . 2  |-  ( -u
3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  9 )
4530, 44pm3.2i 270 1  |-  ( ( 5 ^ 2 )  = ; 2 5  /\  ( -u 3 ^ -u 2
)  =  ( 1  /  9 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593   -ucneg 7902   # cap 8311    / cdiv 8400   2c2 8739   3c3 8740   4c4 8741   5c5 8742   6c6 8743   8c8 8745   9c9 8746   NN0cn0 8945  ;cdc 9150   ^cexp 10260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-5 8750  df-6 8751  df-7 8752  df-8 8753  df-9 8754  df-n0 8946  df-z 9023  df-dec 9151  df-uz 9295  df-seqfrec 10187  df-exp 10261
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator