Theorem ex-exp 14564

Description: Example for df-exp 10522. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	|- ( ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5 /\ ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 ) )

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8983	. . . 4 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	oveq1i 5887	. . 3 |- ( 5 ^ 2 ) = ( ( 4 + 1 ) ^ 2 )
3		4cn 8999	. . . . 5 |- 4 e. CC
4		binom21 10635	. . . . 5 |- ( 4 e. CC -> ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 )
6		2nn0 9195	. . . . 5 |- 2 e. NN0
7		4nn0 9197	. . . . 5 |- 4 e. NN0
8		4p1e5 9057	. . . . 5 |- ( 4 + 1 ) = 5
9		sq4e2t8 10620	. . . . . . . 8 |- ( 4 ^ 2 ) = ( 2 x. 8 )
10		8cn 9007	. . . . . . . . 9 |- 8 e. CC
11		2cn 8992	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
12		8t2e16 9500	. . . . . . . . 9 |- ( 8 x. 2 ) = ; 1 6
13	10, 11, 12	mulcomli 7966	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 8 ) = ; 1 6
14	9, 13	eqtri 2198	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ 2 ) = ; 1 6
15		4t2e8 9079	. . . . . . . 8 |- ( 4 x. 2 ) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 7966	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 4 ) = 8
17	14, 16	oveq12i 5889	. . . . . 6 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = (; 1 6 + 8 )
18		1nn0 9194	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
19		6nn0 9199	. . . . . . 7 |- 6 e. NN0
20		8nn0 9201	. . . . . . 7 |- 8 e. NN0
21		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ; 1 6 = ; 1 6
22		1p1e2 9038	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
23		6cn 9003	. . . . . . . 8 |- 6 e. CC
24		8p6e14 9469	. . . . . . . 8 |- ( 8 + 6 ) = ; 1 4
25	10, 23, 24	addcomli 8104	. . . . . . 7 |- ( 6 + 8 ) = ; 1 4
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9446	. . . . . 6 |- (; 1 6 + 8 ) = ; 2 4
27	17, 26	eqtri 2198	. . . . 5 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = ; 2 4
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9416	. . . 4 |- ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) = ; 2 5
29	5, 28	eqtri 2198	. . 3 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ; 2 5
30	2, 29	eqtri 2198	. 2 |- ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5
31		3cn 8996	. . . . 5 |- 3 e. CC
32	31	negcli 8227	. . . 4 |- -u 3 e. CC
33		3ap0 9017	. . . . 5 |- 3 # 0
34		negap0 8589	. . . . . 6 |- ( 3 e. CC -> ( 3 # 0 <-> -u 3 # 0 ) )
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 3 # 0 <-> -u 3 # 0 )
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 |- -u 3 # 0
37		expnegap0 10530	. . . 4 |- ( ( -u 3 e. CC /\ -u 3 # 0 /\ 2 e. NN0 ) -> ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) ) )
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1337	. . 3 |- ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) )
39		sqneg 10581	. . . . . 6 |- ( 3 e. CC -> ( -u 3 ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 ) )
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( -u 3 ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 )
41		sq3 10619	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
42	40, 41	eqtri 2198	. . . 4 |- ( -u 3 ^ 2 ) = 9
43	42	oveq2i 5888	. . 3 |- ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) ) = ( 1 / 9 )
44	38, 43	eqtri 2198	. 2 |- ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 )
45	30, 44	pm3.2i 272	1 |- ( ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5 /\ ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   CCcc 7811   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   -ucneg 8131   # cap 8540   / cdiv 8631   2c2 8972   3c3 8973   4c4 8974   5c5 8975   6c6 8976   8c8 8978   9c9 8979   NN0cn0 9178  ;cdc 9386   ^cexp 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-dec 9387  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522

This theorem is referenced by: (None)