Theorem ex-exp 11654

Description: Example for df-exp 9955. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	|- ( ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5 /\ ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 ) )

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8484	. . . 4 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	oveq1i 5662	. . 3 |- ( 5 ^ 2 ) = ( ( 4 + 1 ) ^ 2 )
3		4cn 8500	. . . . 5 |- 4 e. CC
4		binom21 10066	. . . . 5 |- ( 4 e. CC -> ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) )
5	3, 4	ax-mp 7	. . . 4 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 )
6		2nn0 8690	. . . . 5 |- 2 e. NN0
7		4nn0 8692	. . . . 5 |- 4 e. NN0
8		4p1e5 8552	. . . . 5 |- ( 4 + 1 ) = 5
9		sq4e2t8 10052	. . . . . . . 8 |- ( 4 ^ 2 ) = ( 2 x. 8 )
10		8cn 8508	. . . . . . . . 9 |- 8 e. CC
11		2cn 8493	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
12		8t2e16 8991	. . . . . . . . 9 |- ( 8 x. 2 ) = ; 1 6
13	10, 11, 12	mulcomli 7495	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 8 ) = ; 1 6
14	9, 13	eqtri 2108	. . . . . . 7 |- ( 4 ^ 2 ) = ; 1 6
15		4t2e8 8574	. . . . . . . 8 |- ( 4 x. 2 ) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 7495	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 4 ) = 8
17	14, 16	oveq12i 5664	. . . . . 6 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = (; 1 6 + 8 )
18		1nn0 8689	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
19		6nn0 8694	. . . . . . 7 |- 6 e. NN0
20		8nn0 8696	. . . . . . 7 |- 8 e. NN0
21		eqid 2088	. . . . . . 7 |- ; 1 6 = ; 1 6
22		1p1e2 8539	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
23		6cn 8504	. . . . . . . 8 |- 6 e. CC
24		8p6e14 8960	. . . . . . . 8 |- ( 8 + 6 ) = ; 1 4
25	10, 23, 24	addcomli 7627	. . . . . . 7 |- ( 6 + 8 ) = ; 1 4
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 8937	. . . . . 6 |- (; 1 6 + 8 ) = ; 2 4
27	17, 26	eqtri 2108	. . . . 5 |- ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) = ; 2 4
28	6, 7, 8, 27	decsuc 8907	. . . 4 |- ( ( ( 4 ^ 2 ) + ( 2 x. 4 ) ) + 1 ) = ; 2 5
29	5, 28	eqtri 2108	. . 3 |- ( ( 4 + 1 ) ^ 2 ) = ; 2 5
30	2, 29	eqtri 2108	. 2 |- ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5
31		3cn 8497	. . . . 5 |- 3 e. CC
32	31	negcli 7750	. . . 4 |- -u 3 e. CC
33		3ap0 8518	. . . . 5 |- 3 # 0
34		negap0 8106	. . . . . 6 |- ( 3 e. CC -> ( 3 # 0 <-> -u 3 # 0 ) )
35	31, 34	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( 3 # 0 <-> -u 3 # 0 )
36	33, 35	mpbi 143	. . . 4 |- -u 3 # 0
37		expnegap0 9963	. . . 4 |- ( ( -u 3 e. CC /\ -u 3 # 0 /\ 2 e. NN0 ) -> ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) ) )
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1273	. . 3 |- ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) )
39		sqneg 10014	. . . . . 6 |- ( 3 e. CC -> ( -u 3 ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 ) )
40	31, 39	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( -u 3 ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 )
41		sq3 10051	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
42	40, 41	eqtri 2108	. . . 4 |- ( -u 3 ^ 2 ) = 9
43	42	oveq2i 5663	. . 3 |- ( 1 / ( -u 3 ^ 2 ) ) = ( 1 / 9 )
44	38, 43	eqtri 2108	. 2 |- ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 )
45	30, 44	pm3.2i 266	1 |- ( ( 5 ^ 2 ) = ; 2 5 /\ ( -u 3 ^ -u 2 ) = ( 1 / 9 ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   CCcc 7348   0cc0 7350   1c1 7351   + caddc 7353   x. cmul 7355   -ucneg 7654   # cap 8058   / cdiv 8139   2c2 8473   3c3 8474   4c4 8475   5c5 8476   6c6 8477   8c8 8479   9c9 8480   NN0cn0 8673  ;cdc 8877   ^cexp 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-5 8484  df-6 8485  df-7 8486  df-8 8487  df-9 8488  df-n0 8674  df-z 8751  df-dec 8878  df-uz 9020  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955

This theorem is referenced by: (None)