Theorem numsuc 9519

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl.1	|- T e. NN0
numnncl.2	|- A e. NN0
numcl.2	|- B e. NN0
numsuc.4	|- ( B + 1 ) = C
numsuc.5	|- N = ( ( T x. A ) + B )

Assertion

Ref	Expression
numsuc	|- ( N + 1 ) = ( ( T x. A ) + C )

Proof of Theorem numsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsuc.5	. . 3 |- N = ( ( T x. A ) + B )
2	1	oveq1i 5956	. 2 |- ( N + 1 ) = ( ( ( T x. A ) + B ) + 1 )
3		numnncl.1	. . . . 5 |- T e. NN0
4		numnncl.2	. . . . 5 |- A e. NN0
5	3, 4	nn0mulcli 9335	. . . 4 |- ( T x. A ) e. NN0
6	5	nn0cni 9309	. . 3 |- ( T x. A ) e. CC
7		numcl.2	. . . 4 |- B e. NN0
8	7	nn0cni 9309	. . 3 |- B e. CC
9		ax-1cn 8020	. . 3 |- 1 e. CC
10	6, 8, 9	addassi 8082	. 2 |- ( ( ( T x. A ) + B ) + 1 ) = ( ( T x. A ) + ( B + 1 ) )
11		numsuc.4	. . 3 |- ( B + 1 ) = C
12	11	oveq2i 5957	. 2 |- ( ( T x. A ) + ( B + 1 ) ) = ( ( T x. A ) + C )
13	2, 10, 12	3eqtri 2230	1 |- ( N + 1 ) = ( ( T x. A ) + C )

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   1c1 7928   + caddc 7930   x. cmul 7932   NN0cn0 9297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247  df-inn 9039  df-n0 9298

This theorem is referenced by:  decsuc  9536  numsucc  9545  decbin3  9647