Theorem numsuc 9725

Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl.1	|- T e. NN0
numnncl.2	|- A e. NN0
numcl.2	|- B e. NN0
numsuc.4	|- ( B + 1 ) = C
numsuc.5	|- N = ( ( T x. A ) + B )

Assertion

Ref	Expression
numsuc	|- ( N + 1 ) = ( ( T x. A ) + C )

Proof of Theorem numsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numsuc.5	. . 3 |- N = ( ( T x. A ) + B )
2	1	oveq1i 6062	. 2 |- ( N + 1 ) = ( ( ( T x. A ) + B ) + 1 )
3		numnncl.1	. . . . 5 |- T e. NN0
4		numnncl.2	. . . . 5 |- A e. NN0
5	3, 4	nn0mulcli 9536	. . . 4 |- ( T x. A ) e. NN0
6	5	nn0cni 9510	. . 3 |- ( T x. A ) e. CC
7		numcl.2	. . . 4 |- B e. NN0
8	7	nn0cni 9510	. . 3 |- B e. CC
9		ax-1cn 8222	. . 3 |- 1 e. CC
10	6, 8, 9	addassi 8284	. 2 |- ( ( ( T x. A ) + B ) + 1 ) = ( ( T x. A ) + ( B + 1 ) )
11		numsuc.4	. . 3 |- ( B + 1 ) = C
12	11	oveq2i 6063	. 2 |- ( ( T x. A ) + ( B + 1 ) ) = ( ( T x. A ) + C )
13	2, 10, 12	3eqtri 2259	1 |- ( N + 1 ) = ( ( T x. A ) + C )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6052   1c1 8130   + caddc 8132   x. cmul 8134   NN0cn0 9498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-sub 8448  df-inn 9240  df-n0 9499

This theorem is referenced by:  decsuc  9742  numsucc  9751  decbin3  9853