ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numsuc Unicode version

Theorem numsuc 9218
Description: The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numnncl.1  |-  T  e. 
NN0
numnncl.2  |-  A  e. 
NN0
numcl.2  |-  B  e. 
NN0
numsuc.4  |-  ( B  +  1 )  =  C
numsuc.5  |-  N  =  ( ( T  x.  A )  +  B
)
Assertion
Ref Expression
numsuc  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( T  x.  A )  +  C
)

Proof of Theorem numsuc
StepHypRef Expression
1 numsuc.5 . . 3  |-  N  =  ( ( T  x.  A )  +  B
)
21oveq1i 5791 . 2  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( ( T  x.  A )  +  B )  +  1 )
3 numnncl.1 . . . . 5  |-  T  e. 
NN0
4 numnncl.2 . . . . 5  |-  A  e. 
NN0
53, 4nn0mulcli 9038 . . . 4  |-  ( T  x.  A )  e. 
NN0
65nn0cni 9012 . . 3  |-  ( T  x.  A )  e.  CC
7 numcl.2 . . . 4  |-  B  e. 
NN0
87nn0cni 9012 . . 3  |-  B  e.  CC
9 ax-1cn 7736 . . 3  |-  1  e.  CC
106, 8, 9addassi 7797 . 2  |-  ( ( ( T  x.  A
)  +  B )  +  1 )  =  ( ( T  x.  A )  +  ( B  +  1 ) )
11 numsuc.4 . . 3  |-  ( B  +  1 )  =  C
1211oveq2i 5792 . 2  |-  ( ( T  x.  A )  +  ( B  + 
1 ) )  =  ( ( T  x.  A )  +  C
)
132, 10, 123eqtri 2165 1  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( T  x.  A )  +  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1332    e. wcel 1481  (class class class)co 5781   1c1 7644    + caddc 7646    x. cmul 7648   NN0cn0 9000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-sub 7958  df-inn 8744  df-n0 9001
This theorem is referenced by:  decsuc  9235  numsucc  9244  decbin3  9346
  Copyright terms: Public domain W3C validator