Theorem 6p5lem 9449

Description: Lemma for 6p5e11 9452 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
6p5lem.1	|- A e. NN0
6p5lem.2	|- D e. NN0
6p5lem.3	|- E e. NN0
6p5lem.4	|- B = ( D + 1 )
6p5lem.5	|- C = ( E + 1 )
6p5lem.6	|- ( A + D ) = ; 1 E

Assertion

Ref	Expression
6p5lem	|- ( A + B ) = ; 1 C

Proof of Theorem 6p5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6p5lem.4	. . 3 |- B = ( D + 1 )
2	1	oveq2i 5883	. 2 |- ( A + B ) = ( A + ( D + 1 ) )
3		6p5lem.1	. . . 4 |- A e. NN0
4	3	nn0cni 9184	. . 3 |- A e. CC
5		6p5lem.2	. . . 4 |- D e. NN0
6	5	nn0cni 9184	. . 3 |- D e. CC
7		ax-1cn 7901	. . 3 |- 1 e. CC
8	4, 6, 7	addassi 7962	. 2 |- ( ( A + D ) + 1 ) = ( A + ( D + 1 ) )
9		1nn0 9188	. . 3 |- 1 e. NN0
10		6p5lem.3	. . 3 |- E e. NN0
11		6p5lem.5	. . . 4 |- C = ( E + 1 )
12	11	eqcomi 2181	. . 3 |- ( E + 1 ) = C
13		6p5lem.6	. . 3 |- ( A + D ) = ; 1 E
14	9, 10, 12, 13	decsuc 9410	. 2 |- ( ( A + D ) + 1 ) = ; 1 C
15	2, 8, 14	3eqtr2i 2204	1 |- ( A + B ) = ; 1 C

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5872   1c1 7809   + caddc 7811   NN0cn0 9172  ;cdc 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-sub 8126  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-5 8977  df-6 8978  df-7 8979  df-8 8980  df-9 8981  df-n0 9173  df-dec 9381

This theorem is referenced by:  6p5e11  9452  6p6e12  9453  7p4e11  9455  7p5e12  9456  7p6e13  9457  7p7e14  9458  8p3e11  9460  8p4e12  9461  8p5e13  9462  8p6e14  9463  8p7e15  9464  8p8e16  9465  9p2e11  9466  9p3e12  9467  9p4e13  9468  9p5e14  9469  9p6e15  9470  9p7e16  9471  9p8e17  9472  9p9e18  9473