Theorem 6p5lem 9573

Description: Lemma for 6p5e11 9576 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
6p5lem.1	|- A e. NN0
6p5lem.2	|- D e. NN0
6p5lem.3	|- E e. NN0
6p5lem.4	|- B = ( D + 1 )
6p5lem.5	|- C = ( E + 1 )
6p5lem.6	|- ( A + D ) = ; 1 E

Assertion

Ref	Expression
6p5lem	|- ( A + B ) = ; 1 C

Proof of Theorem 6p5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6p5lem.4	. . 3 |- B = ( D + 1 )
2	1	oveq2i 5955	. 2 |- ( A + B ) = ( A + ( D + 1 ) )
3		6p5lem.1	. . . 4 |- A e. NN0
4	3	nn0cni 9307	. . 3 |- A e. CC
5		6p5lem.2	. . . 4 |- D e. NN0
6	5	nn0cni 9307	. . 3 |- D e. CC
7		ax-1cn 8018	. . 3 |- 1 e. CC
8	4, 6, 7	addassi 8080	. 2 |- ( ( A + D ) + 1 ) = ( A + ( D + 1 ) )
9		1nn0 9311	. . 3 |- 1 e. NN0
10		6p5lem.3	. . 3 |- E e. NN0
11		6p5lem.5	. . . 4 |- C = ( E + 1 )
12	11	eqcomi 2209	. . 3 |- ( E + 1 ) = C
13		6p5lem.6	. . 3 |- ( A + D ) = ; 1 E
14	9, 10, 12, 13	decsuc 9534	. 2 |- ( ( A + D ) + 1 ) = ; 1 C
15	2, 8, 14	3eqtr2i 2232	1 |- ( A + B ) = ; 1 C

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   1c1 7926   + caddc 7928   NN0cn0 9295  ;cdc 9504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-dec 9505

This theorem is referenced by:  6p5e11  9576  6p6e12  9577  7p4e11  9579  7p5e12  9580  7p6e13  9581  7p7e14  9582  8p3e11  9584  8p4e12  9585  8p5e13  9586  8p6e14  9587  8p7e15  9588  8p8e16  9589  9p2e11  9590  9p3e12  9591  9p4e13  9592  9p5e14  9593  9p6e15  9594  9p7e16  9595  9p8e17  9596  9p9e18  9597