Theorem 6p5lem 9575

Description: Lemma for 6p5e11 9578 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
6p5lem.1	|- A e. NN0
6p5lem.2	|- D e. NN0
6p5lem.3	|- E e. NN0
6p5lem.4	|- B = ( D + 1 )
6p5lem.5	|- C = ( E + 1 )
6p5lem.6	|- ( A + D ) = ; 1 E

Assertion

Ref	Expression
6p5lem	|- ( A + B ) = ; 1 C

Proof of Theorem 6p5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6p5lem.4	. . 3 |- B = ( D + 1 )
2	1	oveq2i 5957	. 2 |- ( A + B ) = ( A + ( D + 1 ) )
3		6p5lem.1	. . . 4 |- A e. NN0
4	3	nn0cni 9309	. . 3 |- A e. CC
5		6p5lem.2	. . . 4 |- D e. NN0
6	5	nn0cni 9309	. . 3 |- D e. CC
7		ax-1cn 8020	. . 3 |- 1 e. CC
8	4, 6, 7	addassi 8082	. 2 |- ( ( A + D ) + 1 ) = ( A + ( D + 1 ) )
9		1nn0 9313	. . 3 |- 1 e. NN0
10		6p5lem.3	. . 3 |- E e. NN0
11		6p5lem.5	. . . 4 |- C = ( E + 1 )
12	11	eqcomi 2209	. . 3 |- ( E + 1 ) = C
13		6p5lem.6	. . 3 |- ( A + D ) = ; 1 E
14	9, 10, 12, 13	decsuc 9536	. 2 |- ( ( A + D ) + 1 ) = ; 1 C
15	2, 8, 14	3eqtr2i 2232	1 |- ( A + B ) = ; 1 C

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   1c1 7928   + caddc 7930   NN0cn0 9297  ;cdc 9506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-7 9102  df-8 9103  df-9 9104  df-n0 9298  df-dec 9507

This theorem is referenced by:  6p5e11  9578  6p6e12  9579  7p4e11  9581  7p5e12  9582  7p6e13  9583  7p7e14  9584  8p3e11  9586  8p4e12  9587  8p5e13  9588  8p6e14  9589  8p7e15  9590  8p8e16  9591  9p2e11  9592  9p3e12  9593  9p4e13  9594  9p5e14  9595  9p6e15  9596  9p7e16  9597  9p8e17  9598  9p9e18  9599