Theorem djudoml 7075

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudoml	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudoml

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inl 6932	. . . . 5 ⊢ inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
2	1	funmpt2 5162	. . . 4 ⊢ Fun inl
3		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		resfunexg 5641	. . . 4 ⊢ ((Fun inl ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (inl ↾ 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancr 410	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inl ↾ 𝐴) ∈ V)
6		inlresf1 6946	. . 3 ⊢ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)
7		f1eq1 5323	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (inl ↾ 𝐴) → (𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
8	7	spcegv 2774	. . 3 ⊢ ((inl ↾ 𝐴) ∈ V → ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
9	5, 6, 8	mpisyl 1422	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
10		djuex 6928	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
11		brdomg 6642	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
13	9, 12	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686  ∅c0 3363  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929   ↾ cres 4541  Fun wfun 5117  –1-1→wf1 5120   ≼ cdom 6633   ⊔ cdju 6922  inlcinl 6930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-dom 6636  df-dju 6923  df-inl 6932

This theorem is referenced by: (None)