Theorem djudoml 7221

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudoml	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudoml

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inl 7049	. . . . 5 ⊢ inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
2	1	funmpt2 5257	. . . 4 ⊢ Fun inl
3		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		resfunexg 5740	. . . 4 ⊢ ((Fun inl ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (inl ↾ 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inl ↾ 𝐴) ∈ V)
6		inlresf1 7063	. . 3 ⊢ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)
7		f1eq1 5418	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (inl ↾ 𝐴) → (𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
8	7	spcegv 2827	. . 3 ⊢ ((inl ↾ 𝐴) ∈ V → ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
9	5, 6, 8	mpisyl 1446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
10		djuex 7045	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
11		brdomg 6751	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
13	9, 12	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  ∅c0 3424  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005   ↾ cres 4630  Fun wfun 5212  –1-1→wf1 5215   ≼ cdom 6742   ⊔ cdju 7039  inlcinl 7047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-1o 6420  df-dom 6745  df-dju 7040  df-inl 7049

This theorem is referenced by: (None)