ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  djudoml GIF version

Theorem djudoml 7091
Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
djudoml ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem djudoml
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-inl 6939 . . . . 5 inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
21funmpt2 5169 . . . 4 Fun inl
3 simpl 108 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴𝑉)
4 resfunexg 5648 . . . 4 ((Fun inl ∧ 𝐴𝑉) → (inl ↾ 𝐴) ∈ V)
52, 3, 4sylancr 411 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (inl ↾ 𝐴) ∈ V)
6 inlresf1 6953 . . 3 (inl ↾ 𝐴):𝐴1-1→(𝐴𝐵)
7 f1eq1 5330 . . . 4 (𝑓 = (inl ↾ 𝐴) → (𝑓:𝐴1-1→(𝐴𝐵) ↔ (inl ↾ 𝐴):𝐴1-1→(𝐴𝐵)))
87spcegv 2777 . . 3 ((inl ↾ 𝐴) ∈ V → ((inl ↾ 𝐴):𝐴1-1→(𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→(𝐴𝐵)))
95, 6, 8mpisyl 1423 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→(𝐴𝐵))
10 djuex 6935 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
11 brdomg 6649 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴 ≼ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→(𝐴𝐵)))
1210, 11syl 14 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ≼ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→(𝐴𝐵)))
139, 12mpbird 166 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wex 1469  wcel 1481  Vcvv 2689  c0 3367  cop 3534   class class class wbr 3936  cres 4548  Fun wfun 5124  1-1wf1 5127  cdom 6640  cdju 6929  inlcinl 6937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-1o 6320  df-dom 6643  df-dju 6930  df-inl 6939
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator