Theorem djudoml 7539

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudoml	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudoml

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inl 7351	. . . . 5 ⊢ inl = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨∅, 𝑥⟩)
2	1	funmpt2 5396	. . . 4 ⊢ Fun inl
3		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		resfunexg 5910	. . . 4 ⊢ ((Fun inl ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (inl ↾ 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inl ↾ 𝐴) ∈ V)
6		inlresf1 7365	. . 3 ⊢ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)
7		f1eq1 5573	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (inl ↾ 𝐴) → (𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
8	7	spcegv 2907	. . 3 ⊢ ((inl ↾ 𝐴) ∈ V → ((inl ↾ 𝐴):𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
9	5, 6, 8	mpisyl 1492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
10		djuex 7347	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
11		brdomg 6998	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
13	9, 12	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ∅c0 3512  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114   ↾ cres 4756  Fun wfun 5351  –1-1→wf1 5354   ≼ cdom 6987   ⊔ cdju 7341  inlcinl 7349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-dom 6990  df-dju 7342  df-inl 7351

This theorem is referenced by: (None)