ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn0nn Unicode version

Theorem elnn0nn 9026
Description: The nonnegative integer property expressed in terms of positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elnn0nn  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem elnn0nn
StepHypRef Expression
1 nn0cn 8994 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
2 nn0p1nn 9023 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2jca 304 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  NN ) )
4 simpl 108 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 7720 . . . 4  |-  1  e.  CC
6 pncan 7975 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
74, 5, 6sylancl 409 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  +  1 )  - 
1 )  =  N )
8 nnm1nn0 9025 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
98adantl 275 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  +  1 )  - 
1 )  e.  NN0 )
107, 9eqeltrrd 2217 . 2  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
113, 10impbii 125 1  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480  (class class class)co 5774   CCcc 7625   1c1 7628    + caddc 7630    - cmin 7940   NNcn 8727   NN0cn0 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7942  df-inn 8728  df-n0 8985
This theorem is referenced by:  elnnnn0  9027  peano2z  9097
  Copyright terms: Public domain W3C validator