Theorem elnn0nn 9282

Description: The nonnegative integer property expressed in terms of positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0nn	|- ( N e. NN0 <-> ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) )

Proof of Theorem elnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9250	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
2		nn0p1nn 9279	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) )
4		simpl 109	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> N e. CC )
5		ax-1cn 7965	. . . 4 |- 1 e. CC
6		pncan 8225	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
8		nnm1nn0 9281	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
10	7, 9	eqeltrrd 2271	. 2 |- ( ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> N e. NN0 )
11	3, 10	impbii 126	1 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   CCcc 7870   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   NNcn 8982   NN0cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-inn 8983  df-n0 9241

This theorem is referenced by:  elnnnn0  9283  peano2z  9353