Theorem elnn0nn 9411

Description: The nonnegative integer property expressed in terms of positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0nn	|- ( N e. NN0 <-> ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) )

Proof of Theorem elnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9379	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
2		nn0p1nn 9408	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) )
4		simpl 109	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> N e. CC )
5		ax-1cn 8092	. . . 4 |- 1 e. CC
6		pncan 8352	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
8		nnm1nn0 9410	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
10	7, 9	eqeltrrd 2307	. 2 |- ( ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> N e. NN0 )
11	3, 10	impbii 126	1 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   CCcc 7997   1c1 8000   + caddc 8002   - cmin 8317   NNcn 9110   NN0cn0 9369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-inn 9111  df-n0 9370

This theorem is referenced by:  elnnnn0  9412  peano2z  9482