Theorem elnn0nn 9191

Description: The nonnegative integer property expressed in terms of positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0nn	|- ( N e. NN0 <-> ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) )

Proof of Theorem elnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9159	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
2		nn0p1nn 9188	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) )
4		simpl 109	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> N e. CC )
5		ax-1cn 7879	. . . 4 |- 1 e. CC
6		pncan 8137	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
8		nnm1nn0 9190	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) e. NN0 )
10	7, 9	eqeltrrd 2253	. 2 |- ( ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> N e. NN0 )
11	3, 10	impbii 126	1 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146  (class class class)co 5865   CCcc 7784   1c1 7787   + caddc 7789   - cmin 8102   NNcn 8892   NN0cn0 9149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-sub 8104  df-inn 8893  df-n0 9150

This theorem is referenced by:  elnnnn0  9192  peano2z  9262