ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn0nn Unicode version

Theorem elnn0nn 8713
Description: The nonnegative integer property expressed in terms of positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elnn0nn  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem elnn0nn
StepHypRef Expression
1 nn0cn 8681 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
2 nn0p1nn 8710 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2jca 300 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  NN ) )
4 simpl 107 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 7436 . . . 4  |-  1  e.  CC
6 pncan 7686 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
74, 5, 6sylancl 404 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  +  1 )  - 
1 )  =  N )
8 nnm1nn0 8712 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
98adantl 271 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  ( ( N  +  1 )  - 
1 )  e.  NN0 )
107, 9eqeltrrd 2165 . 2  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
113, 10impbii 124 1  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438  (class class class)co 5652   CCcc 7346   1c1 7349    + caddc 7351    - cmin 7651   NNcn 8420   NN0cn0 8671
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7653  df-inn 8421  df-n0 8672
This theorem is referenced by:  elnnnn0  8714  peano2z  8784
  Copyright terms: Public domain W3C validator