Theorem nnm1nn0 9421

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 9139	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 6014	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 9190	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 765	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 734	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 9382	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6007   0cc0 8010   1c1 8011   - cmin 8328   NNcn 9121   NN0cn0 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-inn 9122  df-n0 9381

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9422  nnaddm1cl  9519  nn0n0n1ge2  9528  fseq1m1p1  10303  nn0ennn  10667  expm1t  10801  expgt1  10811  nn0ltexp2  10943  bcn1  10992  bcm1k  10994  bcn2m1  11003  resqrexlemnm  11545  resqrexlemcvg  11546  resqrexlemga  11550  binomlem  12010  arisum  12025  arisum2  12026  cvgratnnlemnexp  12051  cvgratnnlemfm  12056  mertenslem2  12063  iddvdsexp  12342  dvdsfac  12387  oexpneg  12404  bitsfzolem  12481  phibnd  12755  phiprmpw  12760  prmdiv  12773  oddprm  12798  fldivp1  12887  prmpwdvds  12894  4sqlem12  12941  4sqlem19  12948  gsumwsubmcl  13545  gsumwmhm  13547  dvexp  15401  dvply1  15455  wilthlem1  15670  1sgm2ppw  15685  perfect1  15688  perfect  15691  lgslem1  15695  lgsquadlem1  15772  lgsquad2lem2  15777  m1lgs  15780  clwwlkccatlem  16143