Theorem nnm1nn0 9502

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 9220	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 6035	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 9271	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2280	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 768	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 737	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 9463	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   0cc0 8092   1c1 8093   - cmin 8409   NNcn 9202   NN0cn0 9461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-inn 9203  df-n0 9462

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9503  nnaddm1cl  9602  nn0n0n1ge2  9611  fseq1m1p1  10392  nn0ennn  10758  expm1t  10892  expgt1  10902  nn0ltexp2  11034  bcn1  11083  bcm1k  11085  bcn2m1  11094  resqrexlemnm  11658  resqrexlemcvg  11659  resqrexlemga  11663  binomlem  12124  arisum  12139  arisum2  12140  cvgratnnlemnexp  12165  cvgratnnlemfm  12170  mertenslem2  12177  iddvdsexp  12456  dvdsfac  12501  oexpneg  12518  bitsfzolem  12595  phibnd  12869  phiprmpw  12874  prmdiv  12887  oddprm  12912  fldivp1  13001  prmpwdvds  13008  4sqlem12  13055  4sqlem19  13062  gsumwsubmcl  13659  gsumwmhm  13661  dvexp  15522  dvply1  15576  wilthlem1  15794  1sgm2ppw  15809  perfect1  15812  perfect  15815  lgslem1  15819  lgsquadlem1  15896  lgsquad2lem2  15901  m1lgs  15904  clwwlkccatlem  16341