Theorem nnm1nn0 9410

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 9128	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 6008	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 9179	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 765	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 734	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 9371	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   0cc0 7999   1c1 8000   - cmin 8317   NNcn 9110   NN0cn0 9369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-inn 9111  df-n0 9370

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9411  nnaddm1cl  9508  nn0n0n1ge2  9517  fseq1m1p1  10291  nn0ennn  10655  expm1t  10789  expgt1  10799  nn0ltexp2  10931  bcn1  10980  bcm1k  10982  bcn2m1  10991  resqrexlemnm  11529  resqrexlemcvg  11530  resqrexlemga  11534  binomlem  11994  arisum  12009  arisum2  12010  cvgratnnlemnexp  12035  cvgratnnlemfm  12040  mertenslem2  12047  iddvdsexp  12326  dvdsfac  12371  oexpneg  12388  bitsfzolem  12465  phibnd  12739  phiprmpw  12744  prmdiv  12757  oddprm  12782  fldivp1  12871  prmpwdvds  12878  4sqlem12  12925  4sqlem19  12932  gsumwsubmcl  13529  gsumwmhm  13531  dvexp  15385  dvply1  15439  wilthlem1  15654  1sgm2ppw  15669  perfect1  15672  perfect  15675  lgslem1  15679  lgsquadlem1  15756  lgsquad2lem2  15761  m1lgs  15764