Theorem nnm1nn0 9338

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 9056	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 5953	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 9107	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2254	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 762	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 731	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 9299	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   0cc0 7927   1c1 7928   - cmin 8245   NNcn 9038   NN0cn0 9297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247  df-inn 9039  df-n0 9298

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9339  nnaddm1cl  9436  nn0n0n1ge2  9445  fseq1m1p1  10219  nn0ennn  10580  expm1t  10714  expgt1  10724  nn0ltexp2  10856  bcn1  10905  bcm1k  10907  bcn2m1  10916  resqrexlemnm  11362  resqrexlemcvg  11363  resqrexlemga  11367  binomlem  11827  arisum  11842  arisum2  11843  cvgratnnlemnexp  11868  cvgratnnlemfm  11873  mertenslem2  11880  iddvdsexp  12159  dvdsfac  12204  oexpneg  12221  bitsfzolem  12298  phibnd  12572  phiprmpw  12577  prmdiv  12590  oddprm  12615  fldivp1  12704  prmpwdvds  12711  4sqlem12  12758  4sqlem19  12765  gsumwsubmcl  13361  gsumwmhm  13363  dvexp  15216  dvply1  15270  wilthlem1  15485  1sgm2ppw  15500  perfect1  15503  perfect  15506  lgslem1  15510  lgsquadlem1  15587  lgsquad2lem2  15592  m1lgs  15595