Theorem nnm1nn0 9151

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 8871	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 5848	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 8922	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2214	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 750	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 719	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 9112	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 133	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136  (class class class)co 5841   0cc0 7749   1c1 7750   - cmin 8065   NNcn 8853   NN0cn0 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-sub 8067  df-inn 8854  df-n0 9111

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9152  nnaddm1cl  9248  nn0n0n1ge2  9257  fseq1m1p1  10026  nn0ennn  10364  expm1t  10479  expgt1  10489  nn0ltexp2  10619  bcn1  10667  bcm1k  10669  bcn2m1  10678  resqrexlemnm  10956  resqrexlemcvg  10957  resqrexlemga  10961  binomlem  11420  arisum  11435  arisum2  11436  cvgratnnlemnexp  11461  cvgratnnlemfm  11466  mertenslem2  11473  iddvdsexp  11751  dvdsfac  11794  oexpneg  11810  phibnd  12145  phiprmpw  12150  prmdiv  12163  oddprm  12187  fldivp1  12274  prmpwdvds  12281  dvexp  13275  lgslem1  13501