Theorem nnm1nn0 9615

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 9331	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 6095	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 9382	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 772	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 741	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 9576	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   0cc0 8185   1c1 8186   - cmin 8504   NNcn 9313   NN0cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  elnn0nn  9616  nnaddm1cl  9715  nn0n0n1ge2  9724  fseq1m1p1  10518  nn0ennn  10890  expm1t  11024  expgt1  11034  nn0ltexp2  11168  bcn1  11217  bcm1k  11219  bcn2m1  11229  resqrexlemnm  11805  resqrexlemcvg  11806  resqrexlemga  11810  binomlem  12274  arisum  12289  arisum2  12290  cvgratnnlemnexp  12315  cvgratnnlemfm  12320  mertenslem2  12327  iddvdsexp  12606  dvdsfac  12651  oexpneg  12668  bitsfzolem  12745  phibnd  13023  phiprmpw  13028  prmdiv  13041  oddprm  13066  fldivp1  13155  prmpwdvds  13162  4sqlem12  13209  4sqlem19  13216  1259lem5  13274  gzsumwsubmcl  13859  gzsumwmhm  13861  dvexp  15954  dvply1  16008  wilthlem1  16249  1sgm2ppw  16306  chtublem  16312  perfect1  16315  perfect  16318  bcmono  16321  lgslem1  16341  lgsquadlem1  16418  lgsquad2lem2  16423  m1lgs  16426  clwwlkccatlem  16863