Theorem nnm1nn0 9431

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 9149	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 6018	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 9200	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2278	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 765	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 734	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 9392	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6011   0cc0 8020   1c1 8021   - cmin 8338   NNcn 9131   NN0cn0 9390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-br 4085  df-opab 4147  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-sub 8340  df-inn 9132  df-n0 9391

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9432  nnaddm1cl  9529  nn0n0n1ge2  9538  fseq1m1p1  10318  nn0ennn  10683  expm1t  10817  expgt1  10827  nn0ltexp2  10959  bcn1  11008  bcm1k  11010  bcn2m1  11019  resqrexlemnm  11566  resqrexlemcvg  11567  resqrexlemga  11571  binomlem  12031  arisum  12046  arisum2  12047  cvgratnnlemnexp  12072  cvgratnnlemfm  12077  mertenslem2  12084  iddvdsexp  12363  dvdsfac  12408  oexpneg  12425  bitsfzolem  12502  phibnd  12776  phiprmpw  12781  prmdiv  12794  oddprm  12819  fldivp1  12908  prmpwdvds  12915  4sqlem12  12962  4sqlem19  12969  gsumwsubmcl  13566  gsumwmhm  13568  dvexp  15422  dvply1  15476  wilthlem1  15691  1sgm2ppw  15706  perfect1  15709  perfect  15712  lgslem1  15716  lgsquadlem1  15793  lgsquad2lem2  15798  m1lgs  15801  clwwlkccatlem  16185