Theorem nnm1nn0 9583

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 9301	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 9352	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 772	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 741	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 9544	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6075   0cc0 8169   1c1 8170   - cmin 8487   NNcn 9283   NN0cn0 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-inn 9284  df-n0 9543

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9584  nnaddm1cl  9685  nn0n0n1ge2  9694  fseq1m1p1  10480  nn0ennn  10848  expm1t  10982  expgt1  10992  nn0ltexp2  11125  bcn1  11174  bcm1k  11176  bcn2m1  11186  resqrexlemnm  11762  resqrexlemcvg  11763  resqrexlemga  11767  binomlem  12228  arisum  12243  arisum2  12244  cvgratnnlemnexp  12269  cvgratnnlemfm  12274  mertenslem2  12281  iddvdsexp  12560  dvdsfac  12605  oexpneg  12622  bitsfzolem  12699  phibnd  12973  phiprmpw  12978  prmdiv  12991  oddprm  13016  fldivp1  13105  prmpwdvds  13112  4sqlem12  13159  4sqlem19  13166  gzsumwsubmcl  13778  gzsumwmhm  13780  dvexp  15735  dvply1  15789  wilthlem1  16008  1sgm2ppw  16023  perfect1  16026  perfect  16029  lgslem1  16033  lgsquadlem1  16110  lgsquad2lem2  16115  m1lgs  16118  clwwlkccatlem  16555