Theorem nnm1nn0 9336

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 9054	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 5951	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 9105	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2254	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 762	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 731	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 9297	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   0cc0 7925   1c1 7926   - cmin 8243   NNcn 9036   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-inn 9037  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9337  nnaddm1cl  9434  nn0n0n1ge2  9443  fseq1m1p1  10217  nn0ennn  10578  expm1t  10712  expgt1  10722  nn0ltexp2  10854  bcn1  10903  bcm1k  10905  bcn2m1  10914  resqrexlemnm  11329  resqrexlemcvg  11330  resqrexlemga  11334  binomlem  11794  arisum  11809  arisum2  11810  cvgratnnlemnexp  11835  cvgratnnlemfm  11840  mertenslem2  11847  iddvdsexp  12126  dvdsfac  12171  oexpneg  12188  bitsfzolem  12265  phibnd  12539  phiprmpw  12544  prmdiv  12557  oddprm  12582  fldivp1  12671  prmpwdvds  12678  4sqlem12  12725  4sqlem19  12732  gsumwsubmcl  13328  gsumwmhm  13330  dvexp  15183  dvply1  15237  wilthlem1  15452  1sgm2ppw  15467  perfect1  15470  perfect  15473  lgslem1  15477  lgsquadlem1  15554  lgsquad2lem2  15559  m1lgs  15562