Theorem nnm1nn0 9371

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 9089	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 5974	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 9140	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2256	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 762	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 731	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 9332	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   0cc0 7960   1c1 7961   - cmin 8278   NNcn 9071   NN0cn0 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-inn 9072  df-n0 9331

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9372  nnaddm1cl  9469  nn0n0n1ge2  9478  fseq1m1p1  10252  nn0ennn  10615  expm1t  10749  expgt1  10759  nn0ltexp2  10891  bcn1  10940  bcm1k  10942  bcn2m1  10951  resqrexlemnm  11444  resqrexlemcvg  11445  resqrexlemga  11449  binomlem  11909  arisum  11924  arisum2  11925  cvgratnnlemnexp  11950  cvgratnnlemfm  11955  mertenslem2  11962  iddvdsexp  12241  dvdsfac  12286  oexpneg  12303  bitsfzolem  12380  phibnd  12654  phiprmpw  12659  prmdiv  12672  oddprm  12697  fldivp1  12786  prmpwdvds  12793  4sqlem12  12840  4sqlem19  12847  gsumwsubmcl  13443  gsumwmhm  13445  dvexp  15298  dvply1  15352  wilthlem1  15567  1sgm2ppw  15582  perfect1  15585  perfect  15588  lgslem1  15592  lgsquadlem1  15669  lgsquad2lem2  15674  m1lgs  15677