Theorem nnm1nn0 8714

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 8440	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 5659	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 8491	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	syl6eq 2136	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 712	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 683	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 8675	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 132	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 664   = wceq 1289   e. wcel 1438  (class class class)co 5652   0cc0 7350   1c1 7351   - cmin 7653   NNcn 8422   NN0cn0 8673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7655  df-inn 8423  df-n0 8674

This theorem is referenced by:  elnn0nn  8715  nnaddm1cl  8811  nn0n0n1ge2  8817  fseq1m1p1  9509  nn0ennn  9840  expm1t  9983  expgt1  9993  bcn1  10166  bcm1k  10168  bcn2m1  10177  resqrexlemnm  10451  resqrexlemcvg  10452  resqrexlemga  10456  binomlem  10877  arisum  10892  arisum2  10893  cvgratnnlemnexp  10918  cvgratnnlemfm  10923  mertenslem2  10930  iddvdsexp  11098  dvdsfac  11139  oexpneg  11155  phibnd  11471  phiprmpw  11476