Theorem nnm1nn0 9554

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	|- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 9272	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
2		oveq1 6065	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
3		1m1e0 9323	. . . . . 6 |- ( 1 - 1 ) = 0
4	2, 3	eqtrdi 2283	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
5	4	orim1i 768	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) = 0 \/ ( N - 1 ) e. NN ) )
7	6	orcomd 737	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
8		elnn0 9515	. 2 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. NN \/ ( N - 1 ) = 0 ) )
9	7, 8	sylibr 134	1 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6058   0cc0 8143   1c1 8144   - cmin 8460   NNcn 9254   NN0cn0 9513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-inn 9255  df-n0 9514

This theorem is referenced by:  elnn0nn  9555  nnaddm1cl  9656  nn0n0n1ge2  9665  fseq1m1p1  10451  nn0ennn  10819  expm1t  10953  expgt1  10963  nn0ltexp2  11096  bcn1  11145  bcm1k  11147  bcn2m1  11157  resqrexlemnm  11728  resqrexlemcvg  11729  resqrexlemga  11733  binomlem  12194  arisum  12209  arisum2  12210  cvgratnnlemnexp  12235  cvgratnnlemfm  12240  mertenslem2  12247  iddvdsexp  12526  dvdsfac  12571  oexpneg  12588  bitsfzolem  12665  phibnd  12939  phiprmpw  12944  prmdiv  12957  oddprm  12982  fldivp1  13071  prmpwdvds  13078  4sqlem12  13125  4sqlem19  13132  gsumwsubmcl  13751  gsumwmhm  13753  dvexp  15702  dvply1  15756  wilthlem1  15974  1sgm2ppw  15989  perfect1  15992  perfect  15995  lgslem1  15999  lgsquadlem1  16076  lgsquad2lem2  16081  m1lgs  16084  clwwlkccatlem  16521