Theorem elnn0nn 9538

Description: The nonnegative integer property expressed in terms of positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem elnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9506	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2		nn0p1nn 9535	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))
4		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 8220	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		pncan 8479	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8		nnm1nn0 9537	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
10	7, 9	eqeltrrd 2310	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	3, 10	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  1c1 8128   + caddc 8130   − cmin 8444  ℕcn 9237  ℕ₀cn0 9496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-inn 9238  df-n0 9497

This theorem is referenced by:  elnnnn0  9539  peano2z  9613