ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn0nn GIF version

Theorem elnn0nn 8625
Description: The nonnegative integer property expressed in terms of positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elnn0nn (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem elnn0nn
StepHypRef Expression
1 nn0cn 8593 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
2 nn0p1nn 8622 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31, 2jca 300 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))
4 simpl 107 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 7359 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 pncan 7609 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
74, 5, 6sylancl 404 . . 3 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8 nnm1nn0 8624 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
98adantl 271 . . 3 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
107, 9eqeltrrd 2162 . 2 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
113, 10impbii 124 1 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436  (class class class)co 5594  cc 7269  1c1 7272   + caddc 7274  cmin 7574  cn 8334  0cn0 8583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-sub 7576  df-inn 8335  df-n0 8584
This theorem is referenced by:  elnnnn0  8626  peano2z  8696
  Copyright terms: Public domain W3C validator