Theorem elnn0nn 9177

Description: The nonnegative integer property expressed in terms of positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem elnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9145	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2		nn0p1nn 9174	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	jca 304	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))
4		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 7867	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		pncan 8125	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8		nnm1nn0 9176	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
10	7, 9	eqeltrrd 2248	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	3, 10	impbii 125	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  1c1 7775   + caddc 7777   − cmin 8090  ℕcn 8878  ℕ₀cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-inn 8879  df-n0 9136

This theorem is referenced by:  elnnnn0  9178  peano2z  9248