Theorem elnn0nn 9367

Description: The nonnegative integer property expressed in terms of positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem elnn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9335	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2		nn0p1nn 9364	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))
4		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 8048	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		pncan 8308	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8		nnm1nn0 9366	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
10	7, 9	eqeltrrd 2284	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	3, 10	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5962  ℂcc 7953  1c1 7956   + caddc 7958   − cmin 8273  ℕcn 9066  ℕ₀cn0 9325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-sub 8275  df-inn 9067  df-n0 9326

This theorem is referenced by:  elnnnn0  9368  peano2z  9438