Theorem elnnnn0 8872

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0	|- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem elnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8586	. 2 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		npcan1 8007	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
3	2	eleq1d 2168	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN <-> N e. NN ) )
4		peano2cnm 7899	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( N - 1 ) e. CC )
5	4	biantrurd 301	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) ) )
6	3, 5	bitr3d 189	. . 3 |- ( N e. CC -> ( N e. NN <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) ) )
7		elnn0nn 8871	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) )
8	6, 7	syl6bbr 197	. 2 |- ( N e. CC -> ( N e. NN <-> ( N - 1 ) e. NN0 ) )
9	1, 8	biadan2 447	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1448  (class class class)co 5706   CCcc 7498   1c1 7501   + caddc 7503   - cmin 7804   NNcn 8578   NN0cn0 8829

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-sub 7806  df-inn 8579  df-n0 8830

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  9820  facnn2  10321