Theorem elnnnn0 9423

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0	|- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem elnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9129	. 2 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		npcan1 8535	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
3	2	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN <-> N e. NN ) )
4		peano2cnm 8423	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( N - 1 ) e. CC )
5	4	biantrurd 305	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) ) )
6	3, 5	bitr3d 190	. . 3 |- ( N e. CC -> ( N e. NN <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) ) )
7		elnn0nn 9422	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) )
8	6, 7	bitr4di 198	. 2 |- ( N e. CC -> ( N e. NN <-> ( N - 1 ) e. NN0 ) )
9	1, 8	biadan2 456	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200  (class class class)co 6007   CCcc 8008   1c1 8011   + caddc 8013   - cmin 8328   NNcn 9121   NN0cn0 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-inn 9122  df-n0 9381

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  10420  facnn2  10968