ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnnn0 Unicode version

Theorem elnnnn0 9248
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )

Proof of Theorem elnnnn0
StepHypRef Expression
1 nncn 8956 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2 npcan1 8364 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
32eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  e.  NN  <->  N  e.  NN ) )
4 peano2cnm 8252 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
54biantrurd 305 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  NN ) ) )
63, 5bitr3d 190 . . 3  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  NN ) ) )
7 elnn0nn 9247 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  NN ) )
86, 7bitr4di 198 . 2  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  e.  NN  <->  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
91, 8biadan2 456 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2160  (class class class)co 5895   CCcc 7838   1c1 7841    + caddc 7843    - cmin 8157   NNcn 8948   NN0cn0 9205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-sub 8159  df-inn 8949  df-n0 9206
This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  10231  facnn2  10745
  Copyright terms: Public domain W3C validator