Theorem elnnnn0 9219

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0	|- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem elnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8927	. 2 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		npcan1 8335	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
3	2	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN <-> N e. NN ) )
4		peano2cnm 8223	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( N - 1 ) e. CC )
5	4	biantrurd 305	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) ) )
6	3, 5	bitr3d 190	. . 3 |- ( N e. CC -> ( N e. NN <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) ) )
7		elnn0nn 9218	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) )
8	6, 7	bitr4di 198	. 2 |- ( N e. CC -> ( N e. NN <-> ( N - 1 ) e. NN0 ) )
9	1, 8	biadan2 456	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148  (class class class)co 5875   CCcc 7809   1c1 7812   + caddc 7814   - cmin 8128   NNcn 8919   NN0cn0 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130  df-inn 8920  df-n0 9177

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  10202  facnn2  10714