Theorem elnnnn0 9148

Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnnnn0	|- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem elnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8856	. 2 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		npcan1 8267	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
3	2	eleq1d 2233	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN <-> N e. NN ) )
4		peano2cnm 8155	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( N - 1 ) e. CC )
5	4	biantrurd 303	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) ) )
6	3, 5	bitr3d 189	. . 3 |- ( N e. CC -> ( N e. NN <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) ) )
7		elnn0nn 9147	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( ( N - 1 ) + 1 ) e. NN ) )
8	6, 7	bitr4di 197	. 2 |- ( N e. CC -> ( N e. NN <-> ( N - 1 ) e. NN0 ) )
9	1, 8	biadan2 452	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2135  (class class class)co 5836   CCcc 7742   1c1 7745   + caddc 7747   - cmin 8060   NNcn 8848   NN0cn0 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-sub 8062  df-inn 8849  df-n0 9106

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  10127  facnn2  10636