Theorem elovmporab 6110

Description: Implications for the value of an operation, defined by the maps-to notation with a class abstraction as a result, having an element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
elovmporab.o	|- O = ( x e. _V , y e. _V |-> { z e. M | ph } )
elovmporab.v	|- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> M e. _V )

Assertion

Ref	Expression
elovmporab	|- ( Z e. ( X O Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. M ) )

Distinct variable groups:   x, M, y, z   x, X, y, z   x, Y, y, z   z, Z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   O( x, y, z)   Z( x, y)

Proof of Theorem elovmporab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmporab.o	. . 3 |- O = ( x e. _V , y e. _V |-> { z e. M | ph } )
2	1	elmpocl 6105	. 2 |- ( Z e. ( X O Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
3	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> O = ( x e. _V , y e. _V |-> { z e. M | ph } ) )
4		sbceq1a 2995	. . . . . . . 8 |- ( y = Y -> ( ph <-> [. Y / y ]. ph ) )
5		sbceq1a 2995	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( [. Y / y ]. ph <-> [. X / x ]. [. Y / y ]. ph ) )
6	4, 5	sylan9bbr 463	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( ph <-> [. X / x ]. [. Y / y ]. ph ) )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( ph <-> [. X / x ]. [. Y / y ]. ph ) )
8	7	rabbidv 2749	. . . . 5 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> { z e. M | ph } = { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } )
9		eqidd 2194	. . . . 5 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ x = X ) -> _V = _V )
10		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> X e. _V )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> Y e. _V )
12		elovmporab.v	. . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> M e. _V )
13		rabexg 4172	. . . . . 6 |- ( M e. _V -> { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } e. _V )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } e. _V )
15		nfcv 2336	. . . . . . 7 |- F/_ x X
16	15	nfel1 2347	. . . . . 6 |- F/ x X e. _V
17		nfcv 2336	. . . . . . 7 |- F/_ x Y
18	17	nfel1 2347	. . . . . 6 |- F/ x Y e. _V
19	16, 18	nfan 1576	. . . . 5 |- F/ x ( X e. _V /\ Y e. _V )
20		nfcv 2336	. . . . . . 7 |- F/_ y X
21	20	nfel1 2347	. . . . . 6 |- F/ y X e. _V
22		nfcv 2336	. . . . . . 7 |- F/_ y Y
23	22	nfel1 2347	. . . . . 6 |- F/ y Y e. _V
24	21, 23	nfan 1576	. . . . 5 |- F/ y ( X e. _V /\ Y e. _V )
25		nfsbc1v 3004	. . . . . 6 |- F/ x [. X / x ]. [. Y / y ]. ph
26		nfcv 2336	. . . . . 6 |- F/_ x M
27	25, 26	nfrabw 2675	. . . . 5 |- F/_ x { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph }
28		nfsbc1v 3004	. . . . . . 7 |- F/ y [. Y / y ]. ph
29	20, 28	nfsbcw 3115	. . . . . 6 |- F/ y [. X / x ]. [. Y / y ]. ph
30		nfcv 2336	. . . . . 6 |- F/_ y M
31	29, 30	nfrabw 2675	. . . . 5 |- F/_ y { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph }
32	3, 8, 9, 10, 11, 14, 19, 24, 20, 17, 27, 31	ovmpodxf 6036	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X O Y ) = { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } )
33	32	eleq2d 2263	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. ( X O Y ) <-> Z e. { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } ) )
34		df-3an 982	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. M ) <-> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ Z e. M ) )
35	34	simplbi2com 1455	. . . 4 |- ( Z e. M -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. M ) ) )
36		elrabi 2913	. . . 4 |- ( Z e. { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } -> Z e. M )
37	35, 36	syl11 31	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. M ) ) )
38	33, 37	sylbid 150	. 2 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. ( X O Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. M ) ) )
39	2, 38	mpcom 36	1 |- ( Z e. ( X O Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   _Vcvv 2760   [.wsbc 2985  (class class class)co 5910   e. cmpo 5912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fv 5254  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915

This theorem is referenced by: (None)