Theorem elovmporab 6123

Description: Implications for the value of an operation, defined by the maps-to notation with a class abstraction as a result, having an element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
elovmporab.o	|- O = ( x e. _V , y e. _V |-> { z e. M | ph } )
elovmporab.v	|- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> M e. _V )

Assertion

Ref	Expression
elovmporab	|- ( Z e. ( X O Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. M ) )

Distinct variable groups:   x, M, y, z   x, X, y, z   x, Y, y, z   z, Z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   O( x, y, z)   Z( x, y)

Proof of Theorem elovmporab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmporab.o	. . 3 |- O = ( x e. _V , y e. _V |-> { z e. M | ph } )
2	1	elmpocl 6118	. 2 |- ( Z e. ( X O Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
3	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> O = ( x e. _V , y e. _V |-> { z e. M | ph } ) )
4		sbceq1a 2999	. . . . . . . 8 |- ( y = Y -> ( ph <-> [. Y / y ]. ph ) )
5		sbceq1a 2999	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( [. Y / y ]. ph <-> [. X / x ]. [. Y / y ]. ph ) )
6	4, 5	sylan9bbr 463	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( ph <-> [. X / x ]. [. Y / y ]. ph ) )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> ( ph <-> [. X / x ]. [. Y / y ]. ph ) )
8	7	rabbidv 2752	. . . . 5 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ ( x = X /\ y = Y ) ) -> { z e. M | ph } = { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } )
9		eqidd 2197	. . . . 5 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ x = X ) -> _V = _V )
10		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> X e. _V )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> Y e. _V )
12		elovmporab.v	. . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> M e. _V )
13		rabexg 4176	. . . . . 6 |- ( M e. _V -> { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } e. _V )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } e. _V )
15		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ x X
16	15	nfel1 2350	. . . . . 6 |- F/ x X e. _V
17		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ x Y
18	17	nfel1 2350	. . . . . 6 |- F/ x Y e. _V
19	16, 18	nfan 1579	. . . . 5 |- F/ x ( X e. _V /\ Y e. _V )
20		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ y X
21	20	nfel1 2350	. . . . . 6 |- F/ y X e. _V
22		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ y Y
23	22	nfel1 2350	. . . . . 6 |- F/ y Y e. _V
24	21, 23	nfan 1579	. . . . 5 |- F/ y ( X e. _V /\ Y e. _V )
25		nfsbc1v 3008	. . . . . 6 |- F/ x [. X / x ]. [. Y / y ]. ph
26		nfcv 2339	. . . . . 6 |- F/_ x M
27	25, 26	nfrabw 2678	. . . . 5 |- F/_ x { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph }
28		nfsbc1v 3008	. . . . . . 7 |- F/ y [. Y / y ]. ph
29	20, 28	nfsbcw 3119	. . . . . 6 |- F/ y [. X / x ]. [. Y / y ]. ph
30		nfcv 2339	. . . . . 6 |- F/_ y M
31	29, 30	nfrabw 2678	. . . . 5 |- F/_ y { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph }
32	3, 8, 9, 10, 11, 14, 19, 24, 20, 17, 27, 31	ovmpodxf 6048	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X O Y ) = { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } )
33	32	eleq2d 2266	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. ( X O Y ) <-> Z e. { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } ) )
34		df-3an 982	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. M ) <-> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ Z e. M ) )
35	34	simplbi2com 1455	. . . 4 |- ( Z e. M -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. M ) ) )
36		elrabi 2917	. . . 4 |- ( Z e. { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } -> Z e. M )
37	35, 36	syl11 31	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. { z e. M | [. X / x ]. [. Y / y ]. ph } -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. M ) ) )
38	33, 37	sylbid 150	. 2 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( Z e. ( X O Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. M ) ) )
39	2, 38	mpcom 36	1 |- ( Z e. ( X O Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   _Vcvv 2763   [.wsbc 2989  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927

This theorem is referenced by: (None)