ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elpmi GIF version

Theorem elpmi 6527
Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elpmi (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))

Proof of Theorem elpmi
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pm 6511 . . . 4 pm = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∈ 𝒫 (𝑦 × 𝑥) ∣ Fun 𝑓})
21elmpocl 5934 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3 elpm2g 6525 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
42, 3syl 14 . 2 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
54ibi 175 1 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1463  {crab 2395  Vcvv 2658  wss 3039  𝒫 cpw 3478   × cxp 4505  dom cdm 4507  Fun wfun 5085  wf 5087  (class class class)co 5740  pm cpm 6509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pm 6511
This theorem is referenced by:  pmfun  6528  pmresg  6536  ennnfonelemg  11811  ennnfonelemf1  11826  reldvg  12700  dvbsssg  12707  dvfgg  12709
  Copyright terms: Public domain W3C validator