ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elpmi GIF version

Theorem elpmi 6688
Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elpmi (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))

Proof of Theorem elpmi
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pm 6672 . . . 4 pm = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ {𝑓 ∈ 𝒫 (𝑦 × 𝑥) ∣ Fun 𝑓})
21elmpocl 6087 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3 elpm2g 6686 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
42, 3syl 14 . 2 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
54ibi 176 1 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2160  {crab 2472  Vcvv 2752  wss 3144  𝒫 cpw 3590   × cxp 4639  dom cdm 4641  Fun wfun 5226  wf 5228  (class class class)co 5892  pm cpm 6670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-fv 5240  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pm 6672
This theorem is referenced by:  pmfun  6689  pmresg  6697  ennnfonelemg  12449  ennnfonelemf1  12464  reldvg  14585  dvbsssg  14592  dvfgg  14594
  Copyright terms: Public domain W3C validator