ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2eleq GIF version

Theorem en2eleq 7056
Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eleq ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})

Proof of Theorem en2eleq
StepHypRef Expression
1 1onn 6416 . . . . . . 7 1o ∈ ω
2 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
3 df-2o 6314 . . . . . . . 8 2o = suc 1o
42, 3breqtrdi 3969 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
5 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋𝑃)
6 dif1en 6773 . . . . . . 7 ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o𝑋𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
71, 4, 5, 6mp3an2i 1320 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
8 en1uniel 6698 . . . . . 6 ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
97, 8syl 14 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
10 eldifsn 3650 . . . . 5 ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) ↔ ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
119, 10sylib 121 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
1211simprd 113 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1312necomd 2394 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}))
1411simpld 111 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃)
15 en2eqpr 6801 . . 3 ((𝑃 ≈ 2o𝑋𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃) → (𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})}))
162, 5, 14, 15syl3anc 1216 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})}))
1713, 16mpd 13 1 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  cdif 3068  {csn 3527  {cpr 3528   cuni 3736   class class class wbr 3929  suc csuc 4287  ωcom 4504  1oc1o 6306  2oc2o 6307  cen 6632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637
This theorem is referenced by:  en2other2  7057
  Copyright terms: Public domain W3C validator