ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2eleq GIF version

Theorem en2eleq 7019
Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eleq ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})

Proof of Theorem en2eleq
StepHypRef Expression
1 1onn 6384 . . . . . . 7 1o ∈ ω
2 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
3 df-2o 6282 . . . . . . . 8 2o = suc 1o
42, 3breqtrdi 3939 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
5 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋𝑃)
6 dif1en 6741 . . . . . . 7 ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o𝑋𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
71, 4, 5, 6mp3an2i 1305 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
8 en1uniel 6666 . . . . . 6 ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
97, 8syl 14 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
10 eldifsn 3620 . . . . 5 ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) ↔ ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
119, 10sylib 121 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
1211simprd 113 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1312necomd 2371 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}))
1411simpld 111 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃)
15 en2eqpr 6769 . . 3 ((𝑃 ≈ 2o𝑋𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃) → (𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})}))
162, 5, 14, 15syl3anc 1201 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})}))
1713, 16mpd 13 1 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285  cdif 3038  {csn 3497  {cpr 3498   cuni 3706   class class class wbr 3899  suc csuc 4257  ωcom 4474  1oc1o 6274  2oc2o 6275  cen 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-1o 6281  df-2o 6282  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605
This theorem is referenced by:  en2other2  7020
  Copyright terms: Public domain W3C validator