Theorem en2eleq 7068

Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eleq	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})})

Proof of Theorem en2eleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6424	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ ω
2		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
3		df-2o 6322	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = suc 1o
4	2, 3	breqtrdi 3977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
5		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ 𝑃)
6		dif1en 6781	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
7	1, 4, 5, 6	mp3an2i 1321	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
8		en1uniel 6706	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
10		eldifsn 3658	. . . . 5 ⊢ (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) ↔ (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 ∧ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
11	9, 10	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 ∧ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
12	11	simprd 113	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
13	12	necomd 2395	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}))
14	11	simpld 111	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃)
15		en2eqpr 6809	. . 3 ⊢ ((𝑃 ≈ 2o ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃) → (𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) → 𝑃 = {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
16	2, 5, 14, 15	syl3anc 1217	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) → 𝑃 = {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
17	13, 16	mpd 13	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309   ∖ cdif 3073  {csn 3532  {cpr 3533  ∪ cuni 3744   class class class wbr 3937  suc csuc 4295  ωcom 4512  1_oc1o 6314  2_oc2o 6315   ≈ cen 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1o 6321  df-2o 6322  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645

This theorem is referenced by:  en2other2  7069