ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2eleq GIF version

Theorem en2eleq 6819
Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eleq ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})

Proof of Theorem en2eleq
StepHypRef Expression
1 1onn 6277 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ ω
2 simpr 108 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 ≈ 2𝑜)
3 df-2o 6182 . . . . . . . 8 2𝑜 = suc 1𝑜
42, 3syl6breq 3884 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 ≈ suc 1𝑜)
5 simpl 107 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑋𝑃)
6 dif1en 6593 . . . . . . 7 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1𝑜𝑋𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1𝑜)
71, 4, 5, 6mp3an2i 1278 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1𝑜)
8 en1uniel 6519 . . . . . 6 ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1𝑜 (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
97, 8syl 14 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
10 eldifsn 3567 . . . . 5 ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) ↔ ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
119, 10sylib 120 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
1211simprd 112 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1312necomd 2341 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}))
1411simpld 110 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃)
15 en2eqpr 6621 . . 3 ((𝑃 ≈ 2𝑜𝑋𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃) → (𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})}))
162, 5, 14, 15syl3anc 1174 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})}))
1713, 16mpd 13 1 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wne 2255  cdif 2996  {csn 3446  {cpr 3447   cuni 3653   class class class wbr 3845  suc csuc 4192  ωcom 4405  1𝑜c1o 6174  2𝑜c2o 6175  cen 6453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-2o 6182  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458
This theorem is referenced by:  en2other2  6820
  Copyright terms: Public domain W3C validator