ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pw1dom2 Unicode version

Theorem pw1dom2 7204
Description: The power set of  1o dominates  2o. Also see pwpw0ss 3791 which is similar. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
pw1dom2  |-  2o  ~<_  ~P 1o

Proof of Theorem pw1dom2
StepHypRef Expression
1 0nep0 4151 . . . 4  |-  (/)  =/=  { (/)
}
2 0ex 4116 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
3 p0ex 4174 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
4 pr2ne 7169 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  { (/)
}  e.  _V )  ->  ( { (/) ,  { (/)
} }  ~~  2o  <->  (/)  =/=  { (/) } ) )
52, 3, 4mp2an 424 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  ~~  2o  <->  (/)  =/=  { (/) } )
61, 5mpbir 145 . . 3  |-  { (/) ,  { (/) } }  ~~  2o
76ensymi 6760 . 2  |-  2o  ~~  {
(/) ,  { (/) } }
83pwex 4169 . . . 4  |-  ~P { (/)
}  e.  _V
9 pwpw0ss 3791 . . . 4  |-  { (/) ,  { (/) } }  C_  ~P { (/) }
10 ssdomg 6756 . . . 4  |-  ( ~P { (/) }  e.  _V  ->  ( { (/) ,  { (/)
} }  C_  ~P { (/) }  ->  { (/) ,  { (/) } }  ~<_  ~P { (/)
} ) )
118, 9, 10mp2 16 . . 3  |-  { (/) ,  { (/) } }  ~<_  ~P { (/)
}
12 df1o2 6408 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
1312pweqi 3570 . . 3  |-  ~P 1o  =  ~P { (/) }
1411, 13breqtrri 4016 . 2  |-  { (/) ,  { (/) } }  ~<_  ~P 1o
15 endomtr 6768 . 2  |-  ( ( 2o  ~~  { (/) ,  { (/) } }  /\  {
(/) ,  { (/) } }  ~<_  ~P 1o )  ->  2o  ~<_  ~P 1o )
167, 14, 15mp2an 424 1  |-  2o  ~<_  ~P 1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    e. wcel 2141    =/= wne 2340   _Vcvv 2730    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ~Pcpw 3566   {csn 3583   {cpr 3584   class class class wbr 3989   1oc1o 6388   2oc2o 6389    ~~ cen 6716    ~<_ cdom 6717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720
This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  14032
  Copyright terms: Public domain W3C validator