Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pw1dom2 Unicode version

Theorem pw1dom2 13179
Description: The power set of  1o dominates  2o. Also see pwpw0ss 3726 which is similar. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
pw1dom2  |-  2o  ~<_  ~P 1o

Proof of Theorem pw1dom2
StepHypRef Expression
1 0nep0 4084 . . . 4  |-  (/)  =/=  { (/)
}
2 0ex 4050 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
3 p0ex 4107 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
4 pr2ne 7041 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  { (/)
}  e.  _V )  ->  ( { (/) ,  { (/)
} }  ~~  2o  <->  (/)  =/=  { (/) } ) )
52, 3, 4mp2an 422 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  ~~  2o  <->  (/)  =/=  { (/) } )
61, 5mpbir 145 . . 3  |-  { (/) ,  { (/) } }  ~~  2o
76ensymi 6669 . 2  |-  2o  ~~  {
(/) ,  { (/) } }
83pwex 4102 . . . 4  |-  ~P { (/)
}  e.  _V
9 pwpw0ss 3726 . . . 4  |-  { (/) ,  { (/) } }  C_  ~P { (/) }
10 ssdomg 6665 . . . 4  |-  ( ~P { (/) }  e.  _V  ->  ( { (/) ,  { (/)
} }  C_  ~P { (/) }  ->  { (/) ,  { (/) } }  ~<_  ~P { (/)
} ) )
118, 9, 10mp2 16 . . 3  |-  { (/) ,  { (/) } }  ~<_  ~P { (/)
}
12 df1o2 6319 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
1312pweqi 3509 . . 3  |-  ~P 1o  =  ~P { (/) }
1411, 13breqtrri 3950 . 2  |-  { (/) ,  { (/) } }  ~<_  ~P 1o
15 endomtr 6677 . 2  |-  ( ( 2o  ~~  { (/) ,  { (/) } }  /\  {
(/) ,  { (/) } }  ~<_  ~P 1o )  ->  2o  ~<_  ~P 1o )
167, 14, 15mp2an 422 1  |-  2o  ~<_  ~P 1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    e. wcel 1480    =/= wne 2306   _Vcvv 2681    C_ wss 3066   (/)c0 3358   ~Pcpw 3505   {csn 3522   {cpr 3523   class class class wbr 3924   1oc1o 6299   2oc2o 6300    ~~ cen 6625    ~<_ cdom 6626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-1o 6306  df-2o 6307  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629
This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  13183
  Copyright terms: Public domain W3C validator