Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pw1dom2 Unicode version

Theorem pw1dom2 11844
Description: The power set of  1o dominates  2o. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
pw1dom2  |-  2o  ~<_  ~P 1o

Proof of Theorem pw1dom2
StepHypRef Expression
1 0nep0 4000 . . . 4  |-  (/)  =/=  { (/)
}
2 0ex 3966 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
3 p0ex 4023 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
4 pr2ne 6818 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  { (/)
}  e.  _V )  ->  ( { (/) ,  { (/)
} }  ~~  2o  <->  (/)  =/=  { (/) } ) )
52, 3, 4mp2an 417 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  ~~  2o  <->  (/)  =/=  { (/) } )
61, 5mpbir 144 . . 3  |-  { (/) ,  { (/) } }  ~~  2o
76ensymi 6497 . 2  |-  2o  ~~  {
(/) ,  { (/) } }
83pwex 4018 . . . 4  |-  ~P { (/)
}  e.  _V
9 pwpw0ss 3648 . . . 4  |-  { (/) ,  { (/) } }  C_  ~P { (/) }
10 ssdomg 6493 . . . 4  |-  ( ~P { (/) }  e.  _V  ->  ( { (/) ,  { (/)
} }  C_  ~P { (/) }  ->  { (/) ,  { (/) } }  ~<_  ~P { (/)
} ) )
118, 9, 10mp2 16 . . 3  |-  { (/) ,  { (/) } }  ~<_  ~P { (/)
}
12 df1o2 6194 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
1312pweqi 3433 . . 3  |-  ~P 1o  =  ~P { (/) }
1411, 13breqtrri 3870 . 2  |-  { (/) ,  { (/) } }  ~<_  ~P 1o
15 endomtr 6505 . 2  |-  ( ( 2o  ~~  { (/) ,  { (/) } }  /\  {
(/) ,  { (/) } }  ~<_  ~P 1o )  ->  2o  ~<_  ~P 1o )
167, 14, 15mp2an 417 1  |-  2o  ~<_  ~P 1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 103    e. wcel 1438    =/= wne 2255   _Vcvv 2619    C_ wss 2999   (/)c0 3286   ~Pcpw 3429   {csn 3446   {cpr 3447   class class class wbr 3845   1oc1o 6174   2oc2o 6175    ~~ cen 6453    ~<_ cdom 6454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-2o 6182  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator