Theorem pw1dom2 7435

Description: The power set of 1o dominates 2o. Also see pwpw0ss 3886 which is similar. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pw1dom2	|- 2o ~<_ ~P 1o

Proof of Theorem pw1dom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 4253	. . . 4 |- (/) =/= { (/) }
2		0ex 4214	. . . . 5 |- (/) e. _V
3		p0ex 4276	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
4		pr2ne 7388	. . . . 5 |- ( ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( { (/) , { (/) } } ~~ 2o <-> (/) =/= { (/) } ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . 4 |- ( { (/) , { (/) } } ~~ 2o <-> (/) =/= { (/) } )
6	1, 5	mpbir 146	. . 3 |- { (/) , { (/) } } ~~ 2o
7	6	ensymi 6951	. 2 |- 2o ~~ { (/) , { (/) } }
8	3	pwex 4271	. . . 4 |- ~P { (/) } e. _V
9		pwpw0ss 3886	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) }
10		ssdomg 6947	. . . 4 |- ( ~P { (/) } e. _V -> ( { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) } -> { (/) , { (/) } } ~<_ ~P { (/) } ) )
11	8, 9, 10	mp2 16	. . 3 |- { (/) , { (/) } } ~<_ ~P { (/) }
12		df1o2 6591	. . . 4 |- 1o = { (/) }
13	12	pweqi 3654	. . 3 |- ~P 1o = ~P { (/) }
14	11, 13	breqtrri 4113	. 2 |- { (/) , { (/) } } ~<_ ~P 1o
15		endomtr 6959	. 2 |- ( ( 2o ~~ { (/) , { (/) } } /\ { (/) , { (/) } } ~<_ ~P 1o ) -> 2o ~<_ ~P 1o )
16	7, 14, 15	mp2an 426	1 |- 2o ~<_ ~P 1o

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2800   C_ wss 3198   (/)c0 3492   ~Pcpw 3650   {csn 3667   {cpr 3668   class class class wbr 4086   1oc1o 6570   2oc2o 6571   ~~ cen 6902   ~<_ cdom 6903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906

This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  16536