Theorem pw1dom2 11844

Description: The power set of 1o dominates 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pw1dom2	|- 2o ~<_ ~P 1o

Proof of Theorem pw1dom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 4000	. . . 4 |- (/) =/= { (/) }
2		0ex 3966	. . . . 5 |- (/) e. _V
3		p0ex 4023	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
4		pr2ne 6818	. . . . 5 |- ( ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( { (/) , { (/) } } ~~ 2o <-> (/) =/= { (/) } ) )
5	2, 3, 4	mp2an 417	. . . 4 |- ( { (/) , { (/) } } ~~ 2o <-> (/) =/= { (/) } )
6	1, 5	mpbir 144	. . 3 |- { (/) , { (/) } } ~~ 2o
7	6	ensymi 6497	. 2 |- 2o ~~ { (/) , { (/) } }
8	3	pwex 4018	. . . 4 |- ~P { (/) } e. _V
9		pwpw0ss 3648	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) }
10		ssdomg 6493	. . . 4 |- ( ~P { (/) } e. _V -> ( { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) } -> { (/) , { (/) } } ~<_ ~P { (/) } ) )
11	8, 9, 10	mp2 16	. . 3 |- { (/) , { (/) } } ~<_ ~P { (/) }
12		df1o2 6194	. . . 4 |- 1o = { (/) }
13	12	pweqi 3433	. . 3 |- ~P 1o = ~P { (/) }
14	11, 13	breqtrri 3870	. 2 |- { (/) , { (/) } } ~<_ ~P 1o
15		endomtr 6505	. 2 |- ( ( 2o ~~ { (/) , { (/) } } /\ { (/) , { (/) } } ~<_ ~P 1o ) -> 2o ~<_ ~P 1o )
16	7, 14, 15	mp2an 417	1 |- 2o ~<_ ~P 1o

Syntax hints:   <-> wb 103   e. wcel 1438   =/= wne 2255   _Vcvv 2619   C_ wss 2999   (/)c0 3286   ~Pcpw 3429   {csn 3446   {cpr 3447   class class class wbr 3845   1oc1o 6174   2oc2o 6175   ~~ cen 6453   ~<_ cdom 6454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-2o 6182  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457

This theorem is referenced by: (None)