Theorem pw1dom2 7294

Description: The power set of 1o dominates 2o. Also see pwpw0ss 3834 which is similar. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pw1dom2	|- 2o ~<_ ~P 1o

Proof of Theorem pw1dom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 4198	. . . 4 |- (/) =/= { (/) }
2		0ex 4160	. . . . 5 |- (/) e. _V
3		p0ex 4221	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
4		pr2ne 7259	. . . . 5 |- ( ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( { (/) , { (/) } } ~~ 2o <-> (/) =/= { (/) } ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . 4 |- ( { (/) , { (/) } } ~~ 2o <-> (/) =/= { (/) } )
6	1, 5	mpbir 146	. . 3 |- { (/) , { (/) } } ~~ 2o
7	6	ensymi 6841	. 2 |- 2o ~~ { (/) , { (/) } }
8	3	pwex 4216	. . . 4 |- ~P { (/) } e. _V
9		pwpw0ss 3834	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) }
10		ssdomg 6837	. . . 4 |- ( ~P { (/) } e. _V -> ( { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) } -> { (/) , { (/) } } ~<_ ~P { (/) } ) )
11	8, 9, 10	mp2 16	. . 3 |- { (/) , { (/) } } ~<_ ~P { (/) }
12		df1o2 6487	. . . 4 |- 1o = { (/) }
13	12	pweqi 3609	. . 3 |- ~P 1o = ~P { (/) }
14	11, 13	breqtrri 4060	. 2 |- { (/) , { (/) } } ~<_ ~P 1o
15		endomtr 6849	. 2 |- ( ( 2o ~~ { (/) , { (/) } } /\ { (/) , { (/) } } ~<_ ~P 1o ) -> 2o ~<_ ~P 1o )
16	7, 14, 15	mp2an 426	1 |- 2o ~<_ ~P 1o

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2167   =/= wne 2367   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   (/)c0 3450   ~Pcpw 3605   {csn 3622   {cpr 3623   class class class wbr 4033   1oc1o 6467   2oc2o 6468   ~~ cen 6797   ~<_ cdom 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801

This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  15644