Theorem pw1dom2 13190

Description: The power set of 1o dominates 2o. Also see pwpw0ss 3731 which is similar. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pw1dom2	|- 2o ~<_ ~P 1o

Proof of Theorem pw1dom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 4089	. . . 4 |- (/) =/= { (/) }
2		0ex 4055	. . . . 5 |- (/) e. _V
3		p0ex 4112	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
4		pr2ne 7048	. . . . 5 |- ( ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( { (/) , { (/) } } ~~ 2o <-> (/) =/= { (/) } ) )
5	2, 3, 4	mp2an 422	. . . 4 |- ( { (/) , { (/) } } ~~ 2o <-> (/) =/= { (/) } )
6	1, 5	mpbir 145	. . 3 |- { (/) , { (/) } } ~~ 2o
7	6	ensymi 6676	. 2 |- 2o ~~ { (/) , { (/) } }
8	3	pwex 4107	. . . 4 |- ~P { (/) } e. _V
9		pwpw0ss 3731	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) }
10		ssdomg 6672	. . . 4 |- ( ~P { (/) } e. _V -> ( { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) } -> { (/) , { (/) } } ~<_ ~P { (/) } ) )
11	8, 9, 10	mp2 16	. . 3 |- { (/) , { (/) } } ~<_ ~P { (/) }
12		df1o2 6326	. . . 4 |- 1o = { (/) }
13	12	pweqi 3514	. . 3 |- ~P 1o = ~P { (/) }
14	11, 13	breqtrri 3955	. 2 |- { (/) , { (/) } } ~<_ ~P 1o
15		endomtr 6684	. 2 |- ( ( 2o ~~ { (/) , { (/) } } /\ { (/) , { (/) } } ~<_ ~P 1o ) -> 2o ~<_ ~P 1o )
16	7, 14, 15	mp2an 422	1 |- 2o ~<_ ~P 1o

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1480   =/= wne 2308   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   (/)c0 3363   ~Pcpw 3510   {csn 3527   {cpr 3528   class class class wbr 3929   1oc1o 6306   2oc2o 6307   ~~ cen 6632   ~<_ cdom 6633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636

This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  13194