Theorem pw1dom2 7287

Description: The power set of 1o dominates 2o. Also see pwpw0ss 3830 which is similar. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pw1dom2	|- 2o ~<_ ~P 1o

Proof of Theorem pw1dom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 4194	. . . 4 |- (/) =/= { (/) }
2		0ex 4156	. . . . 5 |- (/) e. _V
3		p0ex 4217	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
4		pr2ne 7252	. . . . 5 |- ( ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( { (/) , { (/) } } ~~ 2o <-> (/) =/= { (/) } ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . 4 |- ( { (/) , { (/) } } ~~ 2o <-> (/) =/= { (/) } )
6	1, 5	mpbir 146	. . 3 |- { (/) , { (/) } } ~~ 2o
7	6	ensymi 6836	. 2 |- 2o ~~ { (/) , { (/) } }
8	3	pwex 4212	. . . 4 |- ~P { (/) } e. _V
9		pwpw0ss 3830	. . . 4 |- { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) }
10		ssdomg 6832	. . . 4 |- ( ~P { (/) } e. _V -> ( { (/) , { (/) } } C_ ~P { (/) } -> { (/) , { (/) } } ~<_ ~P { (/) } ) )
11	8, 9, 10	mp2 16	. . 3 |- { (/) , { (/) } } ~<_ ~P { (/) }
12		df1o2 6482	. . . 4 |- 1o = { (/) }
13	12	pweqi 3605	. . 3 |- ~P 1o = ~P { (/) }
14	11, 13	breqtrri 4056	. 2 |- { (/) , { (/) } } ~<_ ~P 1o
15		endomtr 6844	. 2 |- ( ( 2o ~~ { (/) , { (/) } } /\ { (/) , { (/) } } ~<_ ~P 1o ) -> 2o ~<_ ~P 1o )
16	7, 14, 15	mp2an 426	1 |- 2o ~<_ ~P 1o

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2164   =/= wne 2364   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   (/)c0 3446   ~Pcpw 3601   {csn 3618   {cpr 3619   class class class wbr 4029   1oc1o 6462   2oc2o 6463   ~~ cen 6792   ~<_ cdom 6793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796

This theorem is referenced by:  pwf1oexmid  15490