Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qnnen Unicode version

Theorem qnnen 11839
 Description: The rational numbers are countably infinite. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
qnnen

Proof of Theorem qnnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qdceq 9964 . . 3 DECID
21rgen2a 2461 . 2 DECID
3 znnen 11806 . . . . . . . 8
4 nnex 8683 . . . . . . . . 9
54enref 6625 . . . . . . . 8
6 xpen 6705 . . . . . . . 8
73, 5, 6mp2an 420 . . . . . . 7
8 xpnnen 11802 . . . . . . 7
97, 8entri 6646 . . . . . 6
10 nnenom 10147 . . . . . 6
119, 10entri 6646 . . . . 5
1211ensymi 6642 . . . 4
13 bren 6607 . . . 4
1412, 13mpbi 144 . . 3
15 f1ofo 5340 . . . . 5
16 divfnzn 9362 . . . . . . . . 9
17 fnfun 5188 . . . . . . . . 9
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8
19 fndm 5190 . . . . . . . . 9
20 eqimss2 3120 . . . . . . . . 9
2116, 19, 20mp2b 8 . . . . . . . 8
22 fores 5322 . . . . . . . 8
2318, 21, 22mp2an 420 . . . . . . 7
24 resima 4820 . . . . . . . . 9
25 df-q 9361 . . . . . . . . 9
2624, 25eqtr4i 2139 . . . . . . . 8
27 foeq3 5311 . . . . . . . 8
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7
2923, 28mpbi 144 . . . . . 6
30 foco 5323 . . . . . 6
3129, 30mpan 418 . . . . 5
32 zex 9014 . . . . . . . . 9
3332, 4xpex 4622 . . . . . . . 8
34 resfunexg 5607 . . . . . . . 8
3518, 33, 34mp2an 420 . . . . . . 7
36 vex 2661 . . . . . . 7
3735, 36coex 5052 . . . . . 6
38 foeq1 5309 . . . . . 6
3937, 38spcev 2752 . . . . 5
4015, 31, 393syl 17 . . . 4
4140exlimiv 1560 . . 3
4214, 41ax-mp 5 . 2
4310ensymi 6642 . . 3
44 qex 9373 . . . 4
45 nnssq 9370 . . . 4
46 ssdomg 6638 . . . 4
4744, 45, 46mp2 16 . . 3
48 endomtr 6650 . . 3
4943, 47, 48mp2an 420 . 2
50 ctinf 11838 . 2 DECID
512, 42, 49, 50mpbir3an 1146 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 104  DECID wdc 802   wceq 1314  wex 1451   wcel 1463  wral 2391  cvv 2658   wss 3039   class class class wbr 3897  com 4472   cxp 4505   cdm 4507   cres 4509  cima 4510   ccom 4511   wfun 5085   wfn 5086  wfo 5089  wf1o 5090   cen 6598   cdom 6599   cdiv 8392  cn 8677  cz 9005  cq 9360 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-xor 1337  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-er 6395  df-pm 6511  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-dju 6889  df-inl 6898  df-inr 6899  df-case 6935  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fl 9983  df-mod 10036  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-dvds 11390 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator