ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qnnen Unicode version

Theorem qnnen 12588
Description: The rational numbers are countably infinite. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
qnnen  |-  QQ  ~~  NN

Proof of Theorem qnnen
Dummy variables  f  g  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qdceq 10314 . . 3  |-  ( ( p  e.  QQ  /\  q  e.  QQ )  -> DECID  p  =  q )
21rgen2a 2548 . 2  |-  A. p  e.  QQ  A. q  e.  QQ DECID  p  =  q
3 znnen 12555 . . . . . . . 8  |-  ZZ  ~~  NN
4 nnex 8988 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
54enref 6819 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  NN
6 xpen 6901 . . . . . . . 8  |-  ( ( ZZ  ~~  NN  /\  NN  ~~  NN )  -> 
( ZZ  X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
73, 5, 6mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN )
8 xpnnen 12551 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
97, 8entri 6840 . . . . . 6  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  NN
10 nnenom 10505 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
119, 10entri 6840 . . . . 5  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  om
1211ensymi 6836 . . . 4  |-  om  ~~  ( ZZ  X.  NN )
13 bren 6801 . . . 4  |-  ( om 
~~  ( ZZ  X.  NN )  <->  E. g  g : om -1-1-onto-> ( ZZ  X.  NN ) )
1412, 13mpbi 145 . . 3  |-  E. g 
g : om -1-1-onto-> ( ZZ  X.  NN )
15 f1ofo 5507 . . . . 5  |-  ( g : om -1-1-onto-> ( ZZ  X.  NN )  ->  g : om -onto->
( ZZ  X.  NN ) )
16 divfnzn 9686 . . . . . . . . 9  |-  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )
17 fnfun 5351 . . . . . . . . 9  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )  ->  Fun  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  Fun  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )
19 fndm 5353 . . . . . . . . 9  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )  ->  dom  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  =  ( ZZ  X.  NN ) )
20 eqimss2 3234 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  =  ( ZZ  X.  NN )  ->  ( ZZ 
X.  NN )  C_  dom  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) )
2116, 19, 20mp2b 8 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
X.  NN )  C_  dom  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )
22 fores 5486 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  /\  ( ZZ  X.  NN )  C_  dom  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) )  -> 
( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )
" ( ZZ  X.  NN ) ) )
2318, 21, 22mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )
" ( ZZ  X.  NN ) )
24 resima 4975 . . . . . . . . 9  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) "
( ZZ  X.  NN ) )  =  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )
25 df-q 9685 . . . . . . . . 9  |-  QQ  =  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )
2624, 25eqtr4i 2217 . . . . . . . 8  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) "
( ZZ  X.  NN ) )  =  QQ
27 foeq3 5474 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )
" ( ZZ  X.  NN ) )  =  QQ 
->  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN ) -onto-> ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) " ( ZZ  X.  NN ) )  <-> 
( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> QQ ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )
" ( ZZ  X.  NN ) )  <->  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN ) -onto-> QQ )
2923, 28mpbi 145 . . . . . 6  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> QQ
30 foco 5487 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> QQ  /\  g : om -onto-> ( ZZ  X.  NN ) )  ->  (
( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  o.  g
) : om -onto-> QQ )
3129, 30mpan 424 . . . . 5  |-  ( g : om -onto-> ( ZZ 
X.  NN )  -> 
( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  o.  g ) : om -onto-> QQ )
32 zex 9326 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
3332, 4xpex 4774 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
X.  NN )  e. 
_V
34 resfunexg 5779 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  /\  ( ZZ  X.  NN )  e.  _V )  ->  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  e.  _V )
3518, 33, 34mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  e.  _V
36 vex 2763 . . . . . . 7  |-  g  e. 
_V
3735, 36coex 5211 . . . . . 6  |-  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  o.  g
)  e.  _V
38 foeq1 5472 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  o.  g
)  ->  ( f : om -onto-> QQ  <->  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  o.  g
) : om -onto-> QQ ) )
3937, 38spcev 2855 . . . . 5  |-  ( ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  o.  g
) : om -onto-> QQ  ->  E. f  f : om -onto-> QQ )
4015, 31, 393syl 17 . . . 4  |-  ( g : om -1-1-onto-> ( ZZ  X.  NN )  ->  E. f  f : om -onto-> QQ )
4140exlimiv 1609 . . 3  |-  ( E. g  g : om -1-1-onto-> ( ZZ  X.  NN )  ->  E. f  f : om -onto-> QQ )
4214, 41ax-mp 5 . 2  |-  E. f 
f : om -onto-> QQ
4310ensymi 6836 . . 3  |-  om  ~~  NN
44 qex 9697 . . . 4  |-  QQ  e.  _V
45 nnssq 9694 . . . 4  |-  NN  C_  QQ
46 ssdomg 6832 . . . 4  |-  ( QQ  e.  _V  ->  ( NN  C_  QQ  ->  NN  ~<_  QQ ) )
4744, 45, 46mp2 16 . . 3  |-  NN  ~<_  QQ
48 endomtr 6844 . . 3  |-  ( ( om  ~~  NN  /\  NN 
~<_  QQ )  ->  om  ~<_  QQ )
4943, 47, 48mp2an 426 . 2  |-  om  ~<_  QQ
50 ctinf 12587 . 2  |-  ( QQ 
~~  NN  <->  ( A. p  e.  QQ  A. q  e.  QQ DECID  p  =  q  /\  E. f  f : om -onto-> QQ  /\  om  ~<_  QQ ) )
512, 42, 49, 50mpbir3an 1181 1  |-  QQ  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 105  DECID wdc 835    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760    C_ wss 3153   class class class wbr 4029   omcom 4622    X. cxp 4657   dom cdm 4659    |` cres 4661   "cima 4662    o. ccom 4663   Fun wfun 5248    Fn wfn 5249   -onto->wfo 5252   -1-1-onto->wf1o 5253    ~~ cen 6792    ~<_ cdom 6793    / cdiv 8691   NNcn 8982   ZZcz 9317   QQcq 9684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-pm 6705  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-dju 7097  df-inl 7106  df-inr 7107  df-case 7143  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-dvds 11931
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator