Theorem qnnen 12591

Description: The rational numbers are countably infinite. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen	|- QQ ~~ NN

Proof of Theorem qnnen

Dummy variables f g p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdceq 10317	. . 3 |- ( ( p e. QQ /\ q e. QQ ) -> DECID p = q )
2	1	rgen2a 2548	. 2 |- A. p e. QQ A. q e. QQ DECID p = q
3		znnen 12558	. . . . . . . 8 |- ZZ ~~ NN
4		nnex 8990	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
5	4	enref 6821	. . . . . . . 8 |- NN ~~ NN
6		xpen 6903	. . . . . . . 8 |- ( ( ZZ ~~ NN /\ NN ~~ NN ) -> ( ZZ X. NN ) ~~ ( NN X. NN ) )
7	3, 5, 6	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ZZ X. NN ) ~~ ( NN X. NN )
8		xpnnen 12554	. . . . . . 7 |- ( NN X. NN ) ~~ NN
9	7, 8	entri 6842	. . . . . 6 |- ( ZZ X. NN ) ~~ NN
10		nnenom 10508	. . . . . 6 |- NN ~~ om
11	9, 10	entri 6842	. . . . 5 |- ( ZZ X. NN ) ~~ om
12	11	ensymi 6838	. . . 4 |- om ~~ ( ZZ X. NN )
13		bren 6803	. . . 4 |- ( om ~~ ( ZZ X. NN ) <-> E. g g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) )
14	12, 13	mpbi 145	. . 3 |- E. g g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN )
15		f1ofo 5508	. . . . 5 |- ( g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) -> g : om -onto-> ( ZZ X. NN ) )
16		divfnzn 9689	. . . . . . . . 9 |- ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN )
17		fnfun 5352	. . . . . . . . 9 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN ) -> Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) )
19		fndm 5354	. . . . . . . . 9 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN ) -> dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) = ( ZZ X. NN ) )
20		eqimss2 3235	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) = ( ZZ X. NN ) -> ( ZZ X. NN ) C_ dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) )
21	16, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( ZZ X. NN ) C_ dom ( / |` ( ZZ X. NN ) )
22		fores 5487	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) ) /\ ( ZZ X. NN ) C_ dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) ) -> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) )
23	18, 21, 22	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) )
24		resima 4976	. . . . . . . . 9 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = ( / " ( ZZ X. NN ) )
25		df-q 9688	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( / " ( ZZ X. NN ) )
26	24, 25	eqtr4i 2217	. . . . . . . 8 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = QQ
27		foeq3 5475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = QQ -> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) <-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) <-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ )
29	23, 28	mpbi 145	. . . . . 6 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ
30		foco 5488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ /\ g : om -onto-> ( ZZ X. NN ) ) -> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ )
31	29, 30	mpan 424	. . . . 5 |- ( g : om -onto-> ( ZZ X. NN ) -> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ )
32		zex 9329	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. _V
33	32, 4	xpex 4775	. . . . . . . 8 |- ( ZZ X. NN ) e. _V
34		resfunexg 5780	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) ) /\ ( ZZ X. NN ) e. _V ) -> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) e. _V )
35	18, 33, 34	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) e. _V
36		vex 2763	. . . . . . 7 |- g e. _V
37	35, 36	coex 5212	. . . . . 6 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) e. _V
38		foeq1 5473	. . . . . 6 |- ( f = ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) -> ( f : om -onto-> QQ <-> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ ) )
39	37, 38	spcev 2856	. . . . 5 |- ( ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ -> E. f f : om -onto-> QQ )
40	15, 31, 39	3syl 17	. . . 4 |- ( g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) -> E. f f : om -onto-> QQ )
41	40	exlimiv 1609	. . 3 |- ( E. g g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) -> E. f f : om -onto-> QQ )
42	14, 41	ax-mp 5	. 2 |- E. f f : om -onto-> QQ
43	10	ensymi 6838	. . 3 |- om ~~ NN
44		qex 9700	. . . 4 |- QQ e. _V
45		nnssq 9697	. . . 4 |- NN C_ QQ
46		ssdomg 6834	. . . 4 |- ( QQ e. _V -> ( NN C_ QQ -> NN ~<_ QQ ) )
47	44, 45, 46	mp2 16	. . 3 |- NN ~<_ QQ
48		endomtr 6846	. . 3 |- ( ( om ~~ NN /\ NN ~<_ QQ ) -> om ~<_ QQ )
49	43, 47, 48	mp2an 426	. 2 |- om ~<_ QQ
50		ctinf 12590	. 2 |- ( QQ ~~ NN <-> ( A. p e. QQ A. q e. QQ DECID p = q /\ E. f f : om -onto-> QQ /\ om ~<_ QQ ) )
51	2, 42, 49, 50	mpbir3an 1181	1 |- QQ ~~ NN

Syntax hints:   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   omcom 4623   X. cxp 4658   dom cdm 4660   |` cres 4662   "cima 4663   o. ccom 4664   Fun wfun 5249   Fn wfn 5250   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ~~ cen 6794   ~<_ cdom 6795   / cdiv 8693   NNcn 8984   ZZcz 9320   QQcq 9687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-1o 6471  df-er 6589  df-pm 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-dju 7099  df-inl 7108  df-inr 7109  df-case 7145  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-dvds 11934

This theorem is referenced by: (None)