Theorem qnnen 12673

Description: The rational numbers are countably infinite. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen	|- QQ ~~ NN

Proof of Theorem qnnen

Dummy variables f g p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdceq 10351	. . 3 |- ( ( p e. QQ /\ q e. QQ ) -> DECID p = q )
2	1	rgen2a 2551	. 2 |- A. p e. QQ A. q e. QQ DECID p = q
3		znnen 12640	. . . . . . . 8 |- ZZ ~~ NN
4		nnex 9013	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
5	4	enref 6833	. . . . . . . 8 |- NN ~~ NN
6		xpen 6915	. . . . . . . 8 |- ( ( ZZ ~~ NN /\ NN ~~ NN ) -> ( ZZ X. NN ) ~~ ( NN X. NN ) )
7	3, 5, 6	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ZZ X. NN ) ~~ ( NN X. NN )
8		xpnnen 12636	. . . . . . 7 |- ( NN X. NN ) ~~ NN
9	7, 8	entri 6854	. . . . . 6 |- ( ZZ X. NN ) ~~ NN
10		nnenom 10543	. . . . . 6 |- NN ~~ om
11	9, 10	entri 6854	. . . . 5 |- ( ZZ X. NN ) ~~ om
12	11	ensymi 6850	. . . 4 |- om ~~ ( ZZ X. NN )
13		bren 6815	. . . 4 |- ( om ~~ ( ZZ X. NN ) <-> E. g g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) )
14	12, 13	mpbi 145	. . 3 |- E. g g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN )
15		f1ofo 5514	. . . . 5 |- ( g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) -> g : om -onto-> ( ZZ X. NN ) )
16		divfnzn 9712	. . . . . . . . 9 |- ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN )
17		fnfun 5356	. . . . . . . . 9 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN ) -> Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) )
19		fndm 5358	. . . . . . . . 9 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN ) -> dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) = ( ZZ X. NN ) )
20		eqimss2 3239	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) = ( ZZ X. NN ) -> ( ZZ X. NN ) C_ dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) )
21	16, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( ZZ X. NN ) C_ dom ( / |` ( ZZ X. NN ) )
22		fores 5493	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) ) /\ ( ZZ X. NN ) C_ dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) ) -> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) )
23	18, 21, 22	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) )
24		resima 4980	. . . . . . . . 9 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = ( / " ( ZZ X. NN ) )
25		df-q 9711	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( / " ( ZZ X. NN ) )
26	24, 25	eqtr4i 2220	. . . . . . . 8 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = QQ
27		foeq3 5481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = QQ -> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) <-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) <-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ )
29	23, 28	mpbi 145	. . . . . 6 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ
30		foco 5494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ /\ g : om -onto-> ( ZZ X. NN ) ) -> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ )
31	29, 30	mpan 424	. . . . 5 |- ( g : om -onto-> ( ZZ X. NN ) -> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ )
32		zex 9352	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. _V
33	32, 4	xpex 4779	. . . . . . . 8 |- ( ZZ X. NN ) e. _V
34		resfunexg 5786	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) ) /\ ( ZZ X. NN ) e. _V ) -> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) e. _V )
35	18, 33, 34	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) e. _V
36		vex 2766	. . . . . . 7 |- g e. _V
37	35, 36	coex 5216	. . . . . 6 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) e. _V
38		foeq1 5479	. . . . . 6 |- ( f = ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) -> ( f : om -onto-> QQ <-> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ ) )
39	37, 38	spcev 2859	. . . . 5 |- ( ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ -> E. f f : om -onto-> QQ )
40	15, 31, 39	3syl 17	. . . 4 |- ( g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) -> E. f f : om -onto-> QQ )
41	40	exlimiv 1612	. . 3 |- ( E. g g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) -> E. f f : om -onto-> QQ )
42	14, 41	ax-mp 5	. 2 |- E. f f : om -onto-> QQ
43	10	ensymi 6850	. . 3 |- om ~~ NN
44		qex 9723	. . . 4 |- QQ e. _V
45		nnssq 9720	. . . 4 |- NN C_ QQ
46		ssdomg 6846	. . . 4 |- ( QQ e. _V -> ( NN C_ QQ -> NN ~<_ QQ ) )
47	44, 45, 46	mp2 16	. . 3 |- NN ~<_ QQ
48		endomtr 6858	. . 3 |- ( ( om ~~ NN /\ NN ~<_ QQ ) -> om ~<_ QQ )
49	43, 47, 48	mp2an 426	. 2 |- om ~<_ QQ
50		ctinf 12672	. 2 |- ( QQ ~~ NN <-> ( A. p e. QQ A. q e. QQ DECID p = q /\ E. f f : om -onto-> QQ /\ om ~<_ QQ ) )
51	2, 42, 49, 50	mpbir3an 1181	1 |- QQ ~~ NN

Syntax hints:   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   omcom 4627   X. cxp 4662   dom cdm 4664   |` cres 4666   "cima 4667   o. ccom 4668   Fun wfun 5253   Fn wfn 5254   -onto->wfo 5257   -1-1-onto->wf1o 5258   ~~ cen 6806   ~<_ cdom 6807   / cdiv 8716   NNcn 9007   ZZcz 9343   QQcq 9710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-er 6601  df-pm 6719  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-dju 7113  df-inl 7122  df-inr 7123  df-case 7159  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-dvds 11970

This theorem is referenced by: (None)