Theorem qnnen 13132

Description: The rational numbers are countably infinite. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen	|- QQ ~~ NN

Proof of Theorem qnnen

Dummy variables f g p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdceq 10567	. . 3 |- ( ( p e. QQ /\ q e. QQ ) -> DECID p = q )
2	1	rgen2a 2587	. 2 |- A. p e. QQ A. q e. QQ DECID p = q
3		znnen 13099	. . . . . . . 8 |- ZZ ~~ NN
4		nnex 9208	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
5	4	enref 6981	. . . . . . . 8 |- NN ~~ NN
6		xpen 7074	. . . . . . . 8 |- ( ( ZZ ~~ NN /\ NN ~~ NN ) -> ( ZZ X. NN ) ~~ ( NN X. NN ) )
7	3, 5, 6	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ZZ X. NN ) ~~ ( NN X. NN )
8		xpnnen 13095	. . . . . . 7 |- ( NN X. NN ) ~~ NN
9	7, 8	entri 7003	. . . . . 6 |- ( ZZ X. NN ) ~~ NN
10		nnenom 10759	. . . . . 6 |- NN ~~ om
11	9, 10	entri 7003	. . . . 5 |- ( ZZ X. NN ) ~~ om
12	11	ensymi 6999	. . . 4 |- om ~~ ( ZZ X. NN )
13		bren 6960	. . . 4 |- ( om ~~ ( ZZ X. NN ) <-> E. g g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) )
14	12, 13	mpbi 145	. . 3 |- E. g g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN )
15		f1ofo 5599	. . . . 5 |- ( g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) -> g : om -onto-> ( ZZ X. NN ) )
16		divfnzn 9916	. . . . . . . . 9 |- ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN )
17		fnfun 5434	. . . . . . . . 9 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN ) -> Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) )
19		fndm 5436	. . . . . . . . 9 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN ) -> dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) = ( ZZ X. NN ) )
20		eqimss2 3283	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) = ( ZZ X. NN ) -> ( ZZ X. NN ) C_ dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) )
21	16, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( ZZ X. NN ) C_ dom ( / |` ( ZZ X. NN ) )
22		fores 5578	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) ) /\ ( ZZ X. NN ) C_ dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) ) -> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) )
23	18, 21, 22	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) )
24		resima 5052	. . . . . . . . 9 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = ( / " ( ZZ X. NN ) )
25		df-q 9915	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( / " ( ZZ X. NN ) )
26	24, 25	eqtr4i 2255	. . . . . . . 8 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = QQ
27		foeq3 5566	. . . . . . . 8 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = QQ -> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) <-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) <-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ )
29	23, 28	mpbi 145	. . . . . 6 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ
30		foco 5579	. . . . . 6 |- ( ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ /\ g : om -onto-> ( ZZ X. NN ) ) -> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ )
31	29, 30	mpan 424	. . . . 5 |- ( g : om -onto-> ( ZZ X. NN ) -> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ )
32		zex 9549	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. _V
33	32, 4	xpex 4848	. . . . . . . 8 |- ( ZZ X. NN ) e. _V
34		resfunexg 5883	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) ) /\ ( ZZ X. NN ) e. _V ) -> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) e. _V )
35	18, 33, 34	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) e. _V
36		vex 2806	. . . . . . 7 |- g e. _V
37	35, 36	coex 5289	. . . . . 6 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) e. _V
38		foeq1 5564	. . . . . 6 |- ( f = ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) -> ( f : om -onto-> QQ <-> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ ) )
39	37, 38	spcev 2902	. . . . 5 |- ( ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ -> E. f f : om -onto-> QQ )
40	15, 31, 39	3syl 17	. . . 4 |- ( g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) -> E. f f : om -onto-> QQ )
41	40	exlimiv 1647	. . 3 |- ( E. g g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) -> E. f f : om -onto-> QQ )
42	14, 41	ax-mp 5	. 2 |- E. f f : om -onto-> QQ
43	10	ensymi 6999	. . 3 |- om ~~ NN
44		qex 9927	. . . 4 |- QQ e. _V
45		nnssq 9924	. . . 4 |- NN C_ QQ
46		ssdomg 6995	. . . 4 |- ( QQ e. _V -> ( NN C_ QQ -> NN ~<_ QQ ) )
47	44, 45, 46	mp2 16	. . 3 |- NN ~<_ QQ
48		endomtr 7007	. . 3 |- ( ( om ~~ NN /\ NN ~<_ QQ ) -> om ~<_ QQ )
49	43, 47, 48	mp2an 426	. 2 |- om ~<_ QQ
50		ctinf 13131	. 2 |- ( QQ ~~ NN <-> ( A. p e. QQ A. q e. QQ DECID p = q /\ E. f f : om -onto-> QQ /\ om ~<_ QQ ) )
51	2, 42, 49, 50	mpbir3an 1206	1 |- QQ ~~ NN

Syntax hints:   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   omcom 4694   X. cxp 4729   dom cdm 4731   |` cres 4733   "cima 4734   o. ccom 4735   Fun wfun 5327   Fn wfn 5328   -onto->wfo 5331   -1-1-onto->wf1o 5332   ~~ cen 6950   ~<_ cdom 6951   / cdiv 8911   NNcn 9202   ZZcz 9540   QQcq 9914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-dju 7297  df-inl 7306  df-inr 7307  df-case 7343  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-dvds 12429

This theorem is referenced by: (None)