ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qnnen Unicode version

Theorem qnnen 12434
Description: The rational numbers are countably infinite. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
qnnen  |-  QQ  ~~  NN

Proof of Theorem qnnen
Dummy variables  f  g  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qdceq 10249 . . 3  |-  ( ( p  e.  QQ  /\  q  e.  QQ )  -> DECID  p  =  q )
21rgen2a 2531 . 2  |-  A. p  e.  QQ  A. q  e.  QQ DECID  p  =  q
3 znnen 12401 . . . . . . . 8  |-  ZZ  ~~  NN
4 nnex 8927 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
54enref 6767 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  NN
6 xpen 6847 . . . . . . . 8  |-  ( ( ZZ  ~~  NN  /\  NN  ~~  NN )  -> 
( ZZ  X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
73, 5, 6mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN )
8 xpnnen 12397 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
97, 8entri 6788 . . . . . 6  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  NN
10 nnenom 10436 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
119, 10entri 6788 . . . . 5  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  om
1211ensymi 6784 . . . 4  |-  om  ~~  ( ZZ  X.  NN )
13 bren 6749 . . . 4  |-  ( om 
~~  ( ZZ  X.  NN )  <->  E. g  g : om -1-1-onto-> ( ZZ  X.  NN ) )
1412, 13mpbi 145 . . 3  |-  E. g 
g : om -1-1-onto-> ( ZZ  X.  NN )
15 f1ofo 5470 . . . . 5  |-  ( g : om -1-1-onto-> ( ZZ  X.  NN )  ->  g : om -onto->
( ZZ  X.  NN ) )
16 divfnzn 9623 . . . . . . . . 9  |-  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )
17 fnfun 5315 . . . . . . . . 9  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )  ->  Fun  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  Fun  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )
19 fndm 5317 . . . . . . . . 9  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )  ->  dom  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  =  ( ZZ  X.  NN ) )
20 eqimss2 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  =  ( ZZ  X.  NN )  ->  ( ZZ 
X.  NN )  C_  dom  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) )
2116, 19, 20mp2b 8 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
X.  NN )  C_  dom  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )
22 fores 5449 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  /\  ( ZZ  X.  NN )  C_  dom  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) )  -> 
( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )
" ( ZZ  X.  NN ) ) )
2318, 21, 22mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )
" ( ZZ  X.  NN ) )
24 resima 4942 . . . . . . . . 9  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) "
( ZZ  X.  NN ) )  =  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )
25 df-q 9622 . . . . . . . . 9  |-  QQ  =  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )
2624, 25eqtr4i 2201 . . . . . . . 8  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) "
( ZZ  X.  NN ) )  =  QQ
27 foeq3 5438 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )
" ( ZZ  X.  NN ) )  =  QQ 
->  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN ) -onto-> ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) " ( ZZ  X.  NN ) )  <-> 
( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> QQ ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )
" ( ZZ  X.  NN ) )  <->  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN ) -onto-> QQ )
2923, 28mpbi 145 . . . . . 6  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> QQ
30 foco 5450 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> QQ  /\  g : om -onto-> ( ZZ  X.  NN ) )  ->  (
( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  o.  g
) : om -onto-> QQ )
3129, 30mpan 424 . . . . 5  |-  ( g : om -onto-> ( ZZ 
X.  NN )  -> 
( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  o.  g ) : om -onto-> QQ )
32 zex 9264 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
3332, 4xpex 4743 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
X.  NN )  e. 
_V
34 resfunexg 5739 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  /\  ( ZZ  X.  NN )  e.  _V )  ->  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  e.  _V )
3518, 33, 34mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  e.  _V
36 vex 2742 . . . . . . 7  |-  g  e. 
_V
3735, 36coex 5176 . . . . . 6  |-  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  o.  g
)  e.  _V
38 foeq1 5436 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  o.  g
)  ->  ( f : om -onto-> QQ  <->  ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  o.  g
) : om -onto-> QQ ) )
3937, 38spcev 2834 . . . . 5  |-  ( ( ( (  /  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  |`  ( ZZ  X.  NN ) )  o.  g
) : om -onto-> QQ  ->  E. f  f : om -onto-> QQ )
4015, 31, 393syl 17 . . . 4  |-  ( g : om -1-1-onto-> ( ZZ  X.  NN )  ->  E. f  f : om -onto-> QQ )
4140exlimiv 1598 . . 3  |-  ( E. g  g : om -1-1-onto-> ( ZZ  X.  NN )  ->  E. f  f : om -onto-> QQ )
4214, 41ax-mp 5 . 2  |-  E. f 
f : om -onto-> QQ
4310ensymi 6784 . . 3  |-  om  ~~  NN
44 qex 9634 . . . 4  |-  QQ  e.  _V
45 nnssq 9631 . . . 4  |-  NN  C_  QQ
46 ssdomg 6780 . . . 4  |-  ( QQ  e.  _V  ->  ( NN  C_  QQ  ->  NN  ~<_  QQ ) )
4744, 45, 46mp2 16 . . 3  |-  NN  ~<_  QQ
48 endomtr 6792 . . 3  |-  ( ( om  ~~  NN  /\  NN 
~<_  QQ )  ->  om  ~<_  QQ )
4943, 47, 48mp2an 426 . 2  |-  om  ~<_  QQ
50 ctinf 12433 . 2  |-  ( QQ 
~~  NN  <->  ( A. p  e.  QQ  A. q  e.  QQ DECID  p  =  q  /\  E. f  f : om -onto-> QQ  /\  om  ~<_  QQ ) )
512, 42, 49, 50mpbir3an 1179 1  |-  QQ  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 105  DECID wdc 834    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2739    C_ wss 3131   class class class wbr 4005   omcom 4591    X. cxp 4626   dom cdm 4628    |` cres 4630   "cima 4631    o. ccom 4632   Fun wfun 5212    Fn wfn 5213   -onto->wfo 5216   -1-1-onto->wf1o 5217    ~~ cen 6740    ~<_ cdom 6741    / cdiv 8631   NNcn 8921   ZZcz 9255   QQcq 9621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-er 6537  df-pm 6653  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-dju 7039  df-inl 7048  df-inr 7049  df-case 7085  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-dvds 11797
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator