ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ener GIF version

Theorem ener 6779
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ener ≈ Er V

Proof of Theorem ener
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 6744 . . . 4 Rel ≈
21a1i 9 . . 3 (⊤ → Rel ≈ )
3 bren 6747 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦)
4 f1ocnv 5475 . . . . . . 7 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑥)
5 vex 2741 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
6 vex 2741 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
7 f1oen2g 6755 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑓:𝑦1-1-onto𝑥) → 𝑦𝑥)
85, 6, 7mp3an12 1327 . . . . . . 7 (𝑓:𝑦1-1-onto𝑥𝑦𝑥)
94, 8syl 14 . . . . . 6 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
109exlimiv 1598 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
113, 10sylbi 121 . . . 4 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
1211adantl 277 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝑥)
13 bren 6747 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦)
14 bren 6747 . . . . 5 (𝑦𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧)
15 eeanv 1932 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧))
16 f1oco 5485 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝑦1-1-onto𝑧𝑔:𝑥1-1-onto𝑦) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
1716ancoms 268 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
18 vex 2741 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
19 f1oen2g 6755 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
206, 18, 19mp3an12 1327 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧𝑥𝑧)
2117, 20syl 14 . . . . . . 7 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2221exlimivv 1896 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2315, 22sylbir 135 . . . . 5 ((∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2413, 14, 23syl2anb 291 . . . 4 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
2524adantl 277 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑧)) → 𝑥𝑧)
266enref 6765 . . . . 5 𝑥𝑥
276, 262th 174 . . . 4 (𝑥 ∈ V ↔ 𝑥𝑥)
2827a1i 9 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ V ↔ 𝑥𝑥))
292, 12, 25, 28iserd 6561 . 2 (⊤ → ≈ Er V)
3029mptru 1362 1 ≈ Er V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105  wtru 1354  wex 1492  wcel 2148  Vcvv 2738   class class class wbr 4004  ccnv 4626  ccom 4631  Rel wrel 4632  1-1-ontowf1o 5216   Er wer 6532  cen 6738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-er 6535  df-en 6741
This theorem is referenced by:  ensymb  6780  entr  6784
  Copyright terms: Public domain W3C validator