ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ener GIF version

Theorem ener 6496
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ener ≈ Er V

Proof of Theorem ener
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 6461 . . . 4 Rel ≈
21a1i 9 . . 3 (⊤ → Rel ≈ )
3 bren 6464 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦)
4 f1ocnv 5266 . . . . . . 7 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑥)
5 vex 2622 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
6 vex 2622 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
7 f1oen2g 6472 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑓:𝑦1-1-onto𝑥) → 𝑦𝑥)
85, 6, 7mp3an12 1263 . . . . . . 7 (𝑓:𝑦1-1-onto𝑥𝑦𝑥)
94, 8syl 14 . . . . . 6 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
109exlimiv 1534 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
113, 10sylbi 119 . . . 4 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
1211adantl 271 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝑥)
13 bren 6464 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦)
14 bren 6464 . . . . 5 (𝑦𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧)
15 eeanv 1855 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧))
16 f1oco 5276 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝑦1-1-onto𝑧𝑔:𝑥1-1-onto𝑦) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
1716ancoms 264 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
18 vex 2622 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
19 f1oen2g 6472 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
206, 18, 19mp3an12 1263 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧𝑥𝑧)
2117, 20syl 14 . . . . . . 7 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2221exlimivv 1824 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2315, 22sylbir 133 . . . . 5 ((∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2413, 14, 23syl2anb 285 . . . 4 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
2524adantl 271 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑧)) → 𝑥𝑧)
266enref 6482 . . . . 5 𝑥𝑥
276, 262th 172 . . . 4 (𝑥 ∈ V ↔ 𝑥𝑥)
2827a1i 9 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ V ↔ 𝑥𝑥))
292, 12, 25, 28iserd 6318 . 2 (⊤ → ≈ Er V)
3029mptru 1298 1 ≈ Er V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  wtru 1290  wex 1426  wcel 1438  Vcvv 2619   class class class wbr 3845  ccnv 4437  ccom 4442  Rel wrel 4443  1-1-ontowf1o 5014   Er wer 6289  cen 6455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-er 6292  df-en 6458
This theorem is referenced by:  ensymb  6497  entr  6501
  Copyright terms: Public domain W3C validator