Theorem ennnfonelemdc 11948

Description: Lemma for ennnfone 11974. A direct consequence of fidcenumlemrk 6850. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemdc.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemdc.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemdc.p	|- ( ph -> P e. om )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdc	|- ( ph -> DECID ( F ` P ) e. ( F " P ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   x, P, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem ennnfonelemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemdc.dceq	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemdc.f	. . 3 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemdc.p	. . 3 |- ( ph -> P e. om )
4		omelon 4530	. . . . 5 |- om e. On
5	4	onelssi 4359	. . . 4 |- ( P e. om -> P C_ om )
6	3, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> P C_ om )
7		fof 5353	. . . . 5 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
8	2, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : om --> A )
9	8, 3	ffvelrnd 5564	. . 3 |- ( ph -> ( F ` P ) e. A )
10	1, 2, 3, 6, 9	fidcenumlemrk 6850	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` P ) e. ( F " P ) \/ -. ( F ` P ) e. ( F " P ) ) )
11		df-dc 821	. 2 |- (DECID ( F ` P ) e. ( F " P ) <-> ( ( F ` P ) e. ( F " P ) \/ -. ( F ` P ) e. ( F " P ) ) )
12	10, 11	sylibr 133	1 |- ( ph -> DECID ( F ` P ) e. ( F " P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 698  DECID wdc 820   e. wcel 1481   A.wral 2417   C_ wss 3076   omcom 4512   "cima 4550   -->wf 5127   -onto->wfo 5129   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fo 5137  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  ennnfonelemg  11952  ennnfonelemp1  11955  ennnfonelemss  11959  ennnfonelemkh  11961  ennnfonelemhf1o  11962