Theorem ennnfonelemdc 12970

Description: Lemma for ennnfone 12996. A direct consequence of fidcenumlemrk 7121. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemdc.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemdc.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemdc.p	|- ( ph -> P e. om )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdc	|- ( ph -> DECID ( F ` P ) e. ( F " P ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   x, P, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem ennnfonelemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemdc.dceq	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemdc.f	. . 3 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemdc.p	. . 3 |- ( ph -> P e. om )
4		omelon 4701	. . . . 5 |- om e. On
5	4	onelssi 4520	. . . 4 |- ( P e. om -> P C_ om )
6	3, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> P C_ om )
7		fof 5548	. . . . 5 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
8	2, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : om --> A )
9	8, 3	ffvelcdmd 5771	. . 3 |- ( ph -> ( F ` P ) e. A )
10	1, 2, 3, 6, 9	fidcenumlemrk 7121	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` P ) e. ( F " P ) \/ -. ( F ` P ) e. ( F " P ) ) )
11		df-dc 840	. 2 |- (DECID ( F ` P ) e. ( F " P ) <-> ( ( F ` P ) e. ( F " P ) \/ -. ( F ` P ) e. ( F " P ) ) )
12	10, 11	sylibr 134	1 |- ( ph -> DECID ( F ` P ) e. ( F " P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 713  DECID wdc 839   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   omcom 4682   "cima 4722   -->wf 5314   -onto->wfo 5316   ` cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  ennnfonelemg  12974  ennnfonelemp1  12977  ennnfonelemss  12981  ennnfonelemkh  12983  ennnfonelemhf1o  12984