Theorem ennnfonelemdc 13150

Description: Lemma for ennnfone 13176. A direct consequence of fidcenumlemrk 7224. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemdc.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemdc.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemdc.p	|- ( ph -> P e. om )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdc	|- ( ph -> DECID ( F ` P ) e. ( F " P ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   x, P, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem ennnfonelemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemdc.dceq	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemdc.f	. . 3 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemdc.p	. . 3 |- ( ph -> P e. om )
4		omelon 4731	. . . . 5 |- om e. On
5	4	onelssi 4550	. . . 4 |- ( P e. om -> P C_ om )
6	3, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> P C_ om )
7		fof 5590	. . . . 5 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
8	2, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : om --> A )
9	8, 3	ffvelcdmd 5813	. . 3 |- ( ph -> ( F ` P ) e. A )
10	1, 2, 3, 6, 9	fidcenumlemrk 7224	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` P ) e. ( F " P ) \/ -. ( F ` P ) e. ( F " P ) ) )
11		df-dc 843	. 2 |- (DECID ( F ` P ) e. ( F " P ) <-> ( ( F ` P ) e. ( F " P ) \/ -. ( F ` P ) e. ( F " P ) ) )
12	10, 11	sylibr 134	1 |- ( ph -> DECID ( F ` P ) e. ( F " P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 716  DECID wdc 842   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3211   omcom 4712   "cima 4752   -->wf 5348   -onto->wfo 5350   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fo 5358  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  ennnfonelemg  13154  ennnfonelemp1  13157  ennnfonelemss  13161  ennnfonelemkh  13163  ennnfonelemhf1o  13164