ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemdc Unicode version

Theorem ennnfonelemdc 11919
Description: Lemma for ennnfone 11945. A direct consequence of fidcenumlemrk 6842. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemdc.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemdc.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemdc.p  |-  ( ph  ->  P  e.  om )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemdc  |-  ( ph  -> DECID  ( F `  P )  e.  ( F " P ) )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, F, y    x, P, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem ennnfonelemdc
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemdc.dceq . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
2 ennnfonelemdc.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
3 ennnfonelemdc.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  om )
4 omelon 4522 . . . . 5  |-  om  e.  On
54onelssi 4351 . . . 4  |-  ( P  e.  om  ->  P  C_ 
om )
63, 5syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  P  C_  om )
7 fof 5345 . . . . 5  |-  ( F : om -onto-> A  ->  F : om --> A )
82, 7syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : om --> A )
98, 3ffvelrnd 5556 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  P
)  e.  A )
101, 2, 3, 6, 9fidcenumlemrk 6842 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  P )  e.  ( F " P )  \/  -.  ( F `
 P )  e.  ( F " P
) ) )
11 df-dc 820 . 2  |-  (DECID  ( F `
 P )  e.  ( F " P
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( F " P
)  \/  -.  ( F `  P )  e.  ( F " P
) ) )
1210, 11sylibr 133 1  |-  ( ph  -> DECID  ( F `  P )  e.  ( F " P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 697  DECID wdc 819    e. wcel 1480   A.wral 2416    C_ wss 3071   omcom 4504   "cima 4542   -->wf 5119   -onto->wfo 5121   ` cfv 5123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fo 5129  df-fv 5131
This theorem is referenced by:  ennnfonelemg  11923  ennnfonelemp1  11926  ennnfonelemss  11930  ennnfonelemkh  11932  ennnfonelemhf1o  11933
  Copyright terms: Public domain W3C validator