Theorem ennnfonelemss 12343

Description: Lemma for ennnfone 12358. We only add elements to H as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemss.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemss	|- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   P, j, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
8		ennnfonelemss.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. NN0 )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 12339	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
10	9	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
11		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
12	11	iftrued 3527	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) = ( H ` P ) )
13	10, 12	eqtrd 2198	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( H ` P ) )
14		eqimss2 3197	. . 3 |- ( ( H ` ( P + 1 ) ) = ( H ` P ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
15	13, 14	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
16		ssun1 3285	. . 3 |- ( H ` P ) C_ ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } )
17	9	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
18		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
19	18	iffalsed 3530	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
20	17, 19	eqtrd 2198	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
21	16, 20	sseqtrrid 3193	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
22	5	frechashgf1o 10363	. . . . . . 7 |- N : om -1-1-onto-> NN0
23		f1ocnv 5445	. . . . . . 7 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
24		f1of 5432	. . . . . . 7 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
25	22, 23, 24	mp2b 8	. . . . . 6 |- `' N : NN0 --> om
26	25	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> `' N : NN0 --> om )
27	26, 8	ffvelrnd 5621	. . . 4 |- ( ph -> ( `' N ` P ) e. om )
28	1, 2, 27	ennnfonelemdc 12332	. . 3 |- ( ph -> DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
29		exmiddc 826	. . 3 |- (DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
30	28, 29	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
31	15, 21, 30	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   E.wrex 2445   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ifcif 3520   {csn 3576   <.cop 3579   |-> cmpt 4043   suc csuc 4343   omcom 4567   `'ccnv 4603   dom cdm 4604   "cima 4607   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844  freccfrec 6358   ^pm cpm 6615   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   - cmin 8069   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pm 6617  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  ennnfoneleminc  12344