Theorem ennnfonelemss 12464

Description: Lemma for ennnfone 12479. We only add elements to H as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemss.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemss	|- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   P, j, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
8		ennnfonelemss.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. NN0 )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 12460	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
12	11	iftrued 3556	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) = ( H ` P ) )
13	10, 12	eqtrd 2222	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( H ` P ) )
14		eqimss2 3225	. . 3 |- ( ( H ` ( P + 1 ) ) = ( H ` P ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
15	13, 14	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
16		ssun1 3313	. . 3 |- ( H ` P ) C_ ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } )
17	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
18		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
19	18	iffalsed 3559	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
20	17, 19	eqtrd 2222	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
21	16, 20	sseqtrrid 3221	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
22	5	frechashgf1o 10461	. . . . . . 7 |- N : om -1-1-onto-> NN0
23		f1ocnv 5493	. . . . . . 7 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
24		f1of 5480	. . . . . . 7 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
25	22, 23, 24	mp2b 8	. . . . . 6 |- `' N : NN0 --> om
26	25	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> `' N : NN0 --> om )
27	26, 8	ffvelcdmd 5673	. . . 4 |- ( ph -> ( `' N ` P ) e. om )
28	1, 2, 27	ennnfonelemdc 12453	. . 3 |- ( ph -> DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
29		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
30	28, 29	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
31	15, 21, 30	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   A.wral 2468   E.wrex 2469   u. cun 3142   C_ wss 3144   (/)c0 3437   ifcif 3549   {csn 3607   <.cop 3610   |-> cmpt 4079   suc csuc 4383   omcom 4607   `'ccnv 4643   dom cdm 4644   "cima 4647   -->wf 5231   -onto->wfo 5233   -1-1-onto->wf1o 5234   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   e. cmpo 5899  freccfrec 6416   ^pm cpm 6676   0cc0 7842   1c1 7843   + caddc 7845   - cmin 8159   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   seqcseq 10478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pm 6678  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-seqfrec 10479

This theorem is referenced by:  ennnfoneleminc  12465