Theorem ennnfonelemss 12394

Description: Lemma for ennnfone 12409. We only add elements to H as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemss.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemss	|- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   P, j, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
8		ennnfonelemss.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. NN0 )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 12390	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
12	11	iftrued 3541	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) = ( H ` P ) )
13	10, 12	eqtrd 2210	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( H ` P ) )
14		eqimss2 3210	. . 3 |- ( ( H ` ( P + 1 ) ) = ( H ` P ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
15	13, 14	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
16		ssun1 3298	. . 3 |- ( H ` P ) C_ ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } )
17	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
18		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
19	18	iffalsed 3544	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
20	17, 19	eqtrd 2210	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
21	16, 20	sseqtrrid 3206	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
22	5	frechashgf1o 10414	. . . . . . 7 |- N : om -1-1-onto-> NN0
23		f1ocnv 5470	. . . . . . 7 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
24		f1of 5457	. . . . . . 7 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
25	22, 23, 24	mp2b 8	. . . . . 6 |- `' N : NN0 --> om
26	25	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> `' N : NN0 --> om )
27	26, 8	ffvelcdmd 5648	. . . 4 |- ( ph -> ( `' N ` P ) e. om )
28	1, 2, 27	ennnfonelemdc 12383	. . 3 |- ( ph -> DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
29		exmiddc 836	. . 3 |- (DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
30	28, 29	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
31	15, 21, 30	mpjaodan 798	1 |- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   E.wrex 2456   u. cun 3127   C_ wss 3129   (/)c0 3422   ifcif 3534   {csn 3591   <.cop 3594   |-> cmpt 4061   suc csuc 4362   omcom 4586   `'ccnv 4622   dom cdm 4623   "cima 4626   -->wf 5208   -onto->wfo 5210   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   e. cmpo 5871  freccfrec 6385   ^pm cpm 6643   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   - cmin 8118   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   seqcseq 10431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pm 6645  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432

This theorem is referenced by:  ennnfoneleminc  12395