Theorem ennnfonelemss 13161

Description: Lemma for ennnfone 13176. We only add elements to H as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemss.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemss	|- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   P, j, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
8		ennnfonelemss.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. NN0 )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 13157	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
12	11	iftrued 3629	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) = ( H ` P ) )
13	10, 12	eqtrd 2265	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( H ` P ) )
14		eqimss2 3293	. . 3 |- ( ( H ` ( P + 1 ) ) = ( H ` P ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
15	13, 14	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
16		ssun1 3382	. . 3 |- ( H ` P ) C_ ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } )
17	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
18		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
19	18	iffalsed 3632	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
20	17, 19	eqtrd 2265	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
21	16, 20	sseqtrrid 3289	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
22	5	frechashgf1o 10790	. . . . . . 7 |- N : om -1-1-onto-> NN0
23		f1ocnv 5627	. . . . . . 7 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
24		f1of 5614	. . . . . . 7 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
25	22, 23, 24	mp2b 8	. . . . . 6 |- `' N : NN0 --> om
26	25	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> `' N : NN0 --> om )
27	26, 8	ffvelcdmd 5813	. . . 4 |- ( ph -> ( `' N ` P ) e. om )
28	1, 2, 27	ennnfonelemdc 13150	. . 3 |- ( ph -> DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
29		exmiddc 844	. . 3 |- (DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
30	28, 29	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
31	15, 21, 30	mpjaodan 806	1 |- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   A.wral 2520   E.wrex 2521   u. cun 3209   C_ wss 3211   (/)c0 3508   ifcif 3620   {csn 3689   <.cop 3692   |-> cmpt 4171   suc csuc 4486   omcom 4712   `'ccnv 4748   dom cdm 4749   "cima 4752   -->wf 5348   -onto->wfo 5350   -1-1-onto->wf1o 5351   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   e. cmpo 6052  freccfrec 6621   ^pm cpm 6883   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   - cmin 8444   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   seqcseq 10809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pm 6885  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-seqfrec 10810

This theorem is referenced by:  ennnfoneleminc  13162