Theorem ennnfonelemss 13279

Description: Lemma for ennnfone 13294. We only add elements to H as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemss.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemss	|- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   x, H, y   j, J   x, N, y   P, j, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
8		ennnfonelemss.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. NN0 )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ennnfonelemp1 13275	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
11		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
12	11	iftrued 3644	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) = ( H ` P ) )
13	10, 12	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( H ` P ) )
14		eqimss2 3303	. . 3 |- ( ( H ` ( P + 1 ) ) = ( H ` P ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
15	13, 14	syl 14	. 2 |- ( ( ph /\ ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
16		ssun1 3392	. . 3 |- ( H ` P ) C_ ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } )
17	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) )
18		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
19	18	iffalsed 3647	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) , ( H ` P ) , ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
20	17, 19	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` ( P + 1 ) ) = ( ( H ` P ) u. { <. dom ( H ` P ) , ( F ` ( `' N ` P ) ) >. } ) )
21	16, 20	sseqtrrid 3299	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )
22	5	frechashgf1o 10843	. . . . . . 7 |- N : om -1-1-onto-> NN0
23		f1ocnv 5647	. . . . . . 7 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
24		f1of 5634	. . . . . . 7 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
25	22, 23, 24	mp2b 8	. . . . . 6 |- `' N : NN0 --> om
26	25	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> `' N : NN0 --> om )
27	26, 8	ffvelcdmd 5835	. . . 4 |- ( ph -> ( `' N ` P ) e. om )
28	1, 2, 27	ennnfonelemdc 13268	. . 3 |- ( ph -> DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) )
29		exmiddc 848	. . 3 |- (DECID ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
30	28, 29	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` P ) ) e. ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
31	15, 21, 30	mpjaodan 810	1 |- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( P + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3635   {csn 3705   <.cop 3708   |-> cmpt 4187   suc csuc 4505   omcom 4732   `'ccnv 4768   dom cdm 4769   "cima 4772   -->wf 5368   -onto->wfo 5370   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077  freccfrec 6651   ^pm cpm 6913   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   - cmin 8487   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   seqcseq 10862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pm 6915  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863

This theorem is referenced by:  ennnfoneleminc  13280