Theorem ennnfonelemdc 12855

Description: Lemma for ennnfone 12881. A direct consequence of fidcenumlemrk 7077. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemdc.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemdc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemdc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdc	⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ennnfonelemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemdc.dceq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemdc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemdc.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ω)
4		omelon 4670	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
5	4	onelssi 4489	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ω → 𝑃 ⊆ ω)
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ ω)
7		fof 5515	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
8	2, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝐴)
9	8, 3	ffvelcdmd 5734	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3, 6, 9	fidcenumlemrk 7077	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ∨ ¬ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃)))
11		df-dc 837	. 2 ⊢ (DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ∨ ¬ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃)))
12	10, 11	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   ⊆ wss 3170  ωcom 4651   “ cima 4691  ⟶wf 5281  –onto→wfo 5283  ‘cfv 5285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fo 5291  df-fv 5293

This theorem is referenced by:  ennnfonelemg  12859  ennnfonelemp1  12862  ennnfonelemss  12866  ennnfonelemkh  12868  ennnfonelemhf1o  12869