Theorem ennnfonelemdc 13234

Description: Lemma for ennnfone 13260. A direct consequence of fidcenumlemrk 7237. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemdc.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemdc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemdc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdc	⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ennnfonelemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemdc.dceq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemdc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemdc.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ω)
4		omelon 4736	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
5	4	onelssi 4555	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ω → 𝑃 ⊆ ω)
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ ω)
7		fof 5595	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
8	2, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝐴)
9	8, 3	ffvelcdmd 5818	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3, 6, 9	fidcenumlemrk 7237	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ∨ ¬ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃)))
11		df-dc 843	. 2 ⊢ (DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ∨ ¬ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃)))
12	10, 11	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ⊆ wss 3214  ωcom 4717   “ cima 4757  ⟶wf 5353  –onto→wfo 5355  ‘cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fo 5363  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  ennnfonelemg  13238  ennnfonelemp1  13241  ennnfonelemss  13245  ennnfonelemkh  13247  ennnfonelemhf1o  13248