Theorem ennnfonelemdc 12641

Description: Lemma for ennnfone 12667. A direct consequence of fidcenumlemrk 7029. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemdc.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemdc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemdc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdc	⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ennnfonelemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemdc.dceq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemdc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemdc.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ω)
4		omelon 4646	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
5	4	onelssi 4465	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ω → 𝑃 ⊆ ω)
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ ω)
7		fof 5483	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
8	2, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝐴)
9	8, 3	ffvelcdmd 5701	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3, 6, 9	fidcenumlemrk 7029	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ∨ ¬ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃)))
11		df-dc 836	. 2 ⊢ (DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ∨ ¬ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃)))
12	10, 11	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ⊆ wss 3157  ωcom 4627   “ cima 4667  ⟶wf 5255  –onto→wfo 5257  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fo 5265  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  ennnfonelemg  12645  ennnfonelemp1  12648  ennnfonelemss  12652  ennnfonelemkh  12654  ennnfonelemhf1o  12655