Theorem ennnfonelemdc 13010

Description: Lemma for ennnfone 13036. A direct consequence of fidcenumlemrk 7144. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemdc.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemdc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemdc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdc	⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ennnfonelemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemdc.dceq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemdc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemdc.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ω)
4		omelon 4705	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
5	4	onelssi 4524	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ω → 𝑃 ⊆ ω)
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ ω)
7		fof 5556	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
8	2, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝐴)
9	8, 3	ffvelcdmd 5779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3, 6, 9	fidcenumlemrk 7144	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ∨ ¬ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃)))
11		df-dc 840	. 2 ⊢ (DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ∨ ¬ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃)))
12	10, 11	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3198  ωcom 4686   “ cima 4726  ⟶wf 5320  –onto→wfo 5322  ‘cfv 5324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fo 5330  df-fv 5332

This theorem is referenced by:  ennnfonelemg  13014  ennnfonelemp1  13017  ennnfonelemss  13021  ennnfonelemkh  13023  ennnfonelemhf1o  13024