Theorem ennnfonelemdc 13100

Description: Lemma for ennnfone 13126. A direct consequence of fidcenumlemrk 7196. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemdc.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemdc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemdc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdc	⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ennnfonelemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemdc.dceq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		ennnfonelemdc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
3		ennnfonelemdc.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ω)
4		omelon 4713	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
5	4	onelssi 4532	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ω → 𝑃 ⊆ ω)
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ ω)
7		fof 5568	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
8	2, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝐴)
9	8, 3	ffvelcdmd 5791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3, 6, 9	fidcenumlemrk 7196	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ∨ ¬ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃)))
11		df-dc 843	. 2 ⊢ (DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃) ∨ ¬ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃)))
12	10, 11	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐹‘𝑃) ∈ (𝐹 “ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511   ⊆ wss 3201  ωcom 4694   “ cima 4734  ⟶wf 5329  –onto→wfo 5331  ‘cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fo 5339  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  ennnfonelemg  13104  ennnfonelemp1  13107  ennnfonelemss  13111  ennnfonelemkh  13113  ennnfonelemhf1o  13114