ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemdc GIF version

Theorem ennnfonelemdc 12139
Description: Lemma for ennnfone 12165. A direct consequence of fidcenumlemrk 6898. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemdc.dceq (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemdc.f (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
ennnfonelemdc.p (𝜑𝑃 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemdc (𝜑DECID (𝐹𝑃) ∈ (𝐹𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ennnfonelemdc
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemdc.dceq . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2 ennnfonelemdc.f . . 3 (𝜑𝐹:ω–onto𝐴)
3 ennnfonelemdc.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ω)
4 omelon 4568 . . . . 5 ω ∈ On
54onelssi 4389 . . . 4 (𝑃 ∈ ω → 𝑃 ⊆ ω)
63, 5syl 14 . . 3 (𝜑𝑃 ⊆ ω)
7 fof 5392 . . . . 5 (𝐹:ω–onto𝐴𝐹:ω⟶𝐴)
82, 7syl 14 . . . 4 (𝜑𝐹:ω⟶𝐴)
98, 3ffvelrnd 5603 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
101, 2, 3, 6, 9fidcenumlemrk 6898 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑃) ∈ (𝐹𝑃) ∨ ¬ (𝐹𝑃) ∈ (𝐹𝑃)))
11 df-dc 821 . 2 (DECID (𝐹𝑃) ∈ (𝐹𝑃) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝐹𝑃) ∨ ¬ (𝐹𝑃) ∈ (𝐹𝑃)))
1210, 11sylibr 133 1 (𝜑DECID (𝐹𝑃) ∈ (𝐹𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 698  DECID wdc 820  wcel 2128  wral 2435  wss 3102  ωcom 4549  cima 4589  wf 5166  ontowfo 5168  cfv 5170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fo 5176  df-fv 5178
This theorem is referenced by:  ennnfonelemg  12143  ennnfonelemp1  12146  ennnfonelemss  12150  ennnfonelemkh  12152  ennnfonelemhf1o  12153
  Copyright terms: Public domain W3C validator