Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfone Unicode version

Theorem ennnfone 12010
 Description: A condition for a set being countably infinite. Corollary 8.1.13 of [AczelRathjen], p. 73. Roughly speaking, the condition says that is countable (that's the part, as seen in theorems like ctm 7011), infinite (that's the part about being able to find an element of distinct from any mapping of a natural number via ), and has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
ennnfone DECID
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ennnfone
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemim 12009 . 2 DECID
2 simpl 108 . . . . . 6 DECID DECID
3 simprl 521 . . . . . 6 DECID
4 simprr 522 . . . . . 6 DECID
52, 3, 4ennnfonelemr 12008 . . . . 5 DECID
65ex 114 . . . 4 DECID
76exlimdv 1793 . . 3 DECID
87imp 123 . 2 DECID
91, 8impbii 125 1 DECID
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wb 104  DECID wdc 820  wex 1469   wne 2310  wral 2418  wrex 2419   class class class wbr 3939  wfo 5133  cfv 5135  (class class class)co 5786   cen 6644  cc0 7673  cn 8773  cn0 9030  cfz 9850 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-addcom 7773  ax-addass 7775  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-ltadd 7789 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1738  df-eu 2004  df-mo 2005  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-frec 6300  df-er 6441  df-pm 6557  df-en 6647  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-inn 8774  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-fz 9851  df-seqfrec 10279 This theorem is referenced by:  ctinfom  12013
 Copyright terms: Public domain W3C validator