ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0breq Unicode version

Theorem enq0breq 7237
Description: Equivalence relation for nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
enq0breq  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0 
<. C ,  D >.  <->  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) )

Proof of Theorem enq0breq
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5776 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  A  /\  u  =  D )  ->  ( z  .o  u
)  =  ( A  .o  D ) )
2 oveq12 5776 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  B  /\  v  =  C )  ->  ( w  .o  v
)  =  ( B  .o  C ) )
31, 2eqeqan12d 2153 . . . . 5  |-  ( ( ( z  =  A  /\  u  =  D )  /\  ( w  =  B  /\  v  =  C ) )  -> 
( ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v )  <-> 
( A  .o  D
)  =  ( B  .o  C ) ) )
43an42s 578 . . . 4  |-  ( ( ( z  =  A  /\  w  =  B )  /\  ( v  =  C  /\  u  =  D ) )  -> 
( ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v )  <-> 
( A  .o  D
)  =  ( B  .o  C ) ) )
54copsex4g 4164 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C ) ) )
65anbi2d 459 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( (
( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om 
X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) ) )
7 opexg 4145 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
8 opexg 4145 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e. 
_V )
9 eleq1 2200 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( x  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
109anbi1d 460 . . . . 5  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
11 eqeq1 2144 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( x  = 
<. z ,  w >.  <->  <. A ,  B >.  =  <. z ,  w >. )
)
1211anbi1d 460 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) ) )
1312anbi1d 460 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
14134exbidv 1842 . . . . 5  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
1510, 14anbi12d 464 . . . 4  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( x  e.  ( om 
X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
16 eleq1 2200 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( y  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
1716anbi2d 459 . . . . 5  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( om 
X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. )
) ) )
18 eqeq1 2144 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( y  = 
<. v ,  u >.  <->  <. C ,  D >.  =  <. v ,  u >. )
)
1918anbi2d 459 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. z ,  w >.  /\  <. C ,  D >.  =  <. v ,  u >. )
) )
2019anbi1d 460 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
21204exbidv 1842 . . . . 5  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
2217, 21anbi12d 464 . . . 4  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )  <-> 
( ( <. A ,  B >.  e.  ( om 
X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
23 df-enq0 7225 . . . 4  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
2415, 22, 23brabg 4186 . . 3  |-  ( (
<. A ,  B >.  e. 
_V  /\  <. C ,  D >.  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0  <. C ,  D >.  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
257, 8, 24syl2an 287 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0 
<. C ,  D >.  <->  (
( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om 
X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
26 opelxpi 4566 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. ) )
27 opelxpi 4566 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )
2826, 27anim12i 336 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
2928biantrurd 303 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
)  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) ) )
306, 25, 293bitr4d 219 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0 
<. C ,  D >.  <->  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   _Vcvv 2681   <.cop 3525   class class class wbr 3924   omcom 4499    X. cxp 4532  (class class class)co 5767    .o comu 6304   N.cnpi 7073   ~Q0 ceq0 7087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-enq0 7225
This theorem is referenced by:  enq0eceq  7238  nqnq0pi  7239  addcmpblnq0  7244  mulcmpblnq0  7245  mulcanenq0ec  7246  nnnq0lem1  7247
  Copyright terms: Public domain W3C validator