ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0breq Unicode version

Theorem enq0breq 7371
Description: Equivalence relation for nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
enq0breq  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0 
<. C ,  D >.  <->  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) )

Proof of Theorem enq0breq
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5848 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  A  /\  u  =  D )  ->  ( z  .o  u
)  =  ( A  .o  D ) )
2 oveq12 5848 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  B  /\  v  =  C )  ->  ( w  .o  v
)  =  ( B  .o  C ) )
31, 2eqeqan12d 2180 . . . . 5  |-  ( ( ( z  =  A  /\  u  =  D )  /\  ( w  =  B  /\  v  =  C ) )  -> 
( ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v )  <-> 
( A  .o  D
)  =  ( B  .o  C ) ) )
43an42s 579 . . . 4  |-  ( ( ( z  =  A  /\  w  =  B )  /\  ( v  =  C  /\  u  =  D ) )  -> 
( ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v )  <-> 
( A  .o  D
)  =  ( B  .o  C ) ) )
54copsex4g 4222 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C ) ) )
65anbi2d 460 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( (
( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om 
X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) ) )
7 opexg 4203 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
8 opexg 4203 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e. 
_V )
9 eleq1 2227 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( x  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
109anbi1d 461 . . . . 5  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
11 eqeq1 2171 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( x  = 
<. z ,  w >.  <->  <. A ,  B >.  =  <. z ,  w >. )
)
1211anbi1d 461 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) ) )
1312anbi1d 461 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
14134exbidv 1857 . . . . 5  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
1510, 14anbi12d 465 . . . 4  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( x  e.  ( om 
X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
16 eleq1 2227 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( y  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
1716anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( om 
X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. )
) ) )
18 eqeq1 2171 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( y  = 
<. v ,  u >.  <->  <. C ,  D >.  =  <. v ,  u >. )
)
1918anbi2d 460 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. z ,  w >.  /\  <. C ,  D >.  =  <. v ,  u >. )
) )
2019anbi1d 461 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
21204exbidv 1857 . . . . 5  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
2217, 21anbi12d 465 . . . 4  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )  <-> 
( ( <. A ,  B >.  e.  ( om 
X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
23 df-enq0 7359 . . . 4  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
2415, 22, 23brabg 4244 . . 3  |-  ( (
<. A ,  B >.  e. 
_V  /\  <. C ,  D >.  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0  <. C ,  D >.  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
257, 8, 24syl2an 287 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0 
<. C ,  D >.  <->  (
( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om 
X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
26 opelxpi 4633 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. ) )
27 opelxpi 4633 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )
2826, 27anim12i 336 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
2928biantrurd 303 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
)  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) ) )
306, 25, 293bitr4d 219 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0 
<. C ,  D >.  <->  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1342   E.wex 1479    e. wcel 2135   _Vcvv 2724   <.cop 3576   class class class wbr 3979   omcom 4564    X. cxp 4599  (class class class)co 5839    .o comu 6376   N.cnpi 7207   ~Q0 ceq0 7221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2726  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-br 3980  df-opab 4041  df-xp 4607  df-iota 5150  df-fv 5193  df-ov 5842  df-enq0 7359
This theorem is referenced by:  enq0eceq  7372  nqnq0pi  7373  addcmpblnq0  7378  mulcmpblnq0  7379  mulcanenq0ec  7380  nnnq0lem1  7381
  Copyright terms: Public domain W3C validator