Theorem enq0breq 7793

Description: Equivalence relation for nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enq0breq	|- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q0 <. C , D >. <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem enq0breq

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 6084	. . . . . 6 |- ( ( z = A /\ u = D ) -> ( z .o u ) = ( A .o D ) )
2		oveq12 6084	. . . . . 6 |- ( ( w = B /\ v = C ) -> ( w .o v ) = ( B .o C ) )
3	1, 2	eqeqan12d 2254	. . . . 5 |- ( ( ( z = A /\ u = D ) /\ ( w = B /\ v = C ) ) -> ( ( z .o u ) = ( w .o v ) <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )
4	3	an42s 597	. . . 4 |- ( ( ( z = A /\ w = B ) /\ ( v = C /\ u = D ) ) -> ( ( z .o u ) = ( w .o v ) <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )
5	4	copsex4g 4382	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )
6	5	anbi2d 468	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) /\ ( A .o D ) = ( B .o C ) ) ) )
7		opexg 4363	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. _V )
8		opexg 4363	. . 3 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> <. C , D >. e. _V )
9		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = <. A , B >. -> ( x e. ( om X. N. ) <-> <. A , B >. e. ( om X. N. ) ) )
10	9	anbi1d 469	. . . . 5 |- ( x = <. A , B >. -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
11		eqeq1 2245	. . . . . . . 8 |- ( x = <. A , B >. -> ( x = <. z , w >. <-> <. A , B >. = <. z , w >. ) )
12	11	anbi1d 469	. . . . . . 7 |- ( x = <. A , B >. -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
13	12	anbi1d 469	. . . . . 6 |- ( x = <. A , B >. -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
14	13	4exbidv 1923	. . . . 5 |- ( x = <. A , B >. -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
15	10, 14	anbi12d 477	. . . 4 |- ( x = <. A , B >. -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
16		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( y = <. C , D >. -> ( y e. ( om X. N. ) <-> <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) )
17	16	anbi2d 468	. . . . 5 |- ( y = <. C , D >. -> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) ) )
18		eqeq1 2245	. . . . . . . 8 |- ( y = <. C , D >. -> ( y = <. v , u >. <-> <. C , D >. = <. v , u >. ) )
19	18	anbi2d 468	. . . . . . 7 |- ( y = <. C , D >. -> ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) ) )
20	19	anbi1d 469	. . . . . 6 |- ( y = <. C , D >. -> ( ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
21	20	4exbidv 1923	. . . . 5 |- ( y = <. C , D >. -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
22	17, 21	anbi12d 477	. . . 4 |- ( y = <. C , D >. -> ( ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
23		df-enq0 7781	. . . 4 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
24	15, 22, 23	brabg 4406	. . 3 |- ( ( <. A , B >. e. _V /\ <. C , D >. e. _V ) -> ( <. A , B >. ~Q0 <. C , D >. <-> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
25	7, 8, 24	syl2an 289	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q0 <. C , D >. <-> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
26		opelxpi 4801	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( om X. N. ) )
27		opelxpi 4801	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> <. C , D >. e. ( om X. N. ) )
28	26, 27	anim12i 338	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) )
29	28	biantrurd 305	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( ( A .o D ) = ( B .o C ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) /\ ( A .o D ) = ( B .o C ) ) ) )
30	6, 25, 29	3bitr4d 220	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q0 <. C , D >. <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3708   class class class wbr 4125   omcom 4732   X. cxp 4767  (class class class)co 6075   .o comu 6675   N.cnpi 7629   ~_Q0 ceq0 7643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-enq0 7781

This theorem is referenced by:  enq0eceq  7794  nqnq0pi  7795  addcmpblnq0  7800  mulcmpblnq0  7801  mulcanenq0ec  7802  nnnq0lem1  7803