ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0breq Unicode version

Theorem enq0breq 6993
Description: Equivalence relation for nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
enq0breq  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0 
<. C ,  D >.  <->  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) )

Proof of Theorem enq0breq
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5661 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  A  /\  u  =  D )  ->  ( z  .o  u
)  =  ( A  .o  D ) )
2 oveq12 5661 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  B  /\  v  =  C )  ->  ( w  .o  v
)  =  ( B  .o  C ) )
31, 2eqeqan12d 2103 . . . . 5  |-  ( ( ( z  =  A  /\  u  =  D )  /\  ( w  =  B  /\  v  =  C ) )  -> 
( ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v )  <-> 
( A  .o  D
)  =  ( B  .o  C ) ) )
43an42s 556 . . . 4  |-  ( ( ( z  =  A  /\  w  =  B )  /\  ( v  =  C  /\  u  =  D ) )  -> 
( ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v )  <-> 
( A  .o  D
)  =  ( B  .o  C ) ) )
54copsex4g 4074 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C ) ) )
65anbi2d 452 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( (
( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om 
X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) ) )
7 opexg 4055 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
8 opexg 4055 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e. 
_V )
9 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( x  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
109anbi1d 453 . . . . 5  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
11 eqeq1 2094 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( x  = 
<. z ,  w >.  <->  <. A ,  B >.  =  <. z ,  w >. )
)
1211anbi1d 453 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) ) )
1312anbi1d 453 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
14134exbidv 1798 . . . . 5  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
1510, 14anbi12d 457 . . . 4  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( x  e.  ( om 
X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
16 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( y  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
1716anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( om 
X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. )
) ) )
18 eqeq1 2094 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( y  = 
<. v ,  u >.  <->  <. C ,  D >.  =  <. v ,  u >. )
)
1918anbi2d 452 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. z ,  w >.  /\  <. C ,  D >.  =  <. v ,  u >. )
) )
2019anbi1d 453 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
21204exbidv 1798 . . . . 5  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
2217, 21anbi12d 457 . . . 4  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )  <-> 
( ( <. A ,  B >.  e.  ( om 
X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
23 df-enq0 6981 . . . 4  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
2415, 22, 23brabg 4096 . . 3  |-  ( (
<. A ,  B >.  e. 
_V  /\  <. C ,  D >.  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0  <. C ,  D >.  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
257, 8, 24syl2an 283 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0 
<. C ,  D >.  <->  (
( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om 
X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
26 opelxpi 4469 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. ) )
27 opelxpi 4469 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )
2826, 27anim12i 331 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
2928biantrurd 299 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
)  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) ) )
306, 25, 293bitr4d 218 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0 
<. C ,  D >.  <->  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   <.cop 3449   class class class wbr 3845   omcom 4405    X. cxp 4436  (class class class)co 5652    .o comu 6179   N.cnpi 6829   ~Q0 ceq0 6843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-iota 4980  df-fv 5023  df-ov 5655  df-enq0 6981
This theorem is referenced by:  enq0eceq  6994  nqnq0pi  6995  addcmpblnq0  7000  mulcmpblnq0  7001  mulcanenq0ec  7002  nnnq0lem1  7003
  Copyright terms: Public domain W3C validator