Theorem nnnq0lem1 7656

Description: Decomposing nonnegative fractions into natural numbers. Lemma for addnnnq0 7659 and mulnnnq0 7660. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)

Assertion

Ref

Expression

nnnq0lem1

|- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, w, v, u, t, s, q, f, g, h, A   z, B, w, v, u, t, s, q, f, g, h

Allowed substitution hints:   C( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)   D( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)

Proof of Theorem nnnq0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 7645	. . . . . 6 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2		erdm 6707	. . . . . 6 |- ( ~Q0 Er ( om X. N. ) -> dom ~Q0 = ( om X. N. ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom ~Q0 = ( om X. N. )
4		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
5		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> A = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
6	5	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
8	4, 7	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
9		ecelqsdm 6769	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. w , v >. e. ( om X. N. ) )
10	3, 8, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. w , v >. e. ( om X. N. ) )
11		opelxp 4753	. . . 4 |- ( <. w , v >. e. ( om X. N. ) <-> ( w e. om /\ v e. N. ) )
12	10, 11	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( w e. om /\ v e. N. ) )
13		simprll 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> A = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
14	13	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
15	14	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
16	4, 15	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
17		ecelqsdm 6769	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. s , f >. e. ( om X. N. ) )
18	3, 16, 17	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. s , f >. e. ( om X. N. ) )
19		opelxp 4753	. . . 4 |- ( <. s , f >. e. ( om X. N. ) <-> ( s e. om /\ f e. N. ) )
20	18, 19	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( s e. om /\ f e. N. ) )
21	12, 20	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) )
22		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
23		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> B = [ <. u , t >. ] ~Q0 )
24	23	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
25	24	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
26	22, 25	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
27		ecelqsdm 6769	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. u , t >. e. ( om X. N. ) )
28	3, 26, 27	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. u , t >. e. ( om X. N. ) )
29		opelxp 4753	. . . 4 |- ( <. u , t >. e. ( om X. N. ) <-> ( u e. om /\ t e. N. ) )
30	28, 29	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( u e. om /\ t e. N. ) )
31		simprlr 538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> B = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
32	31	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
33	32	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
34	22, 33	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
35		ecelqsdm 6769	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. g , h >. e. ( om X. N. ) )
36	3, 34, 35	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. g , h >. e. ( om X. N. ) )
37		opelxp 4753	. . . 4 |- ( <. g , h >. e. ( om X. N. ) <-> ( g e. om /\ h e. N. ) )
38	36, 37	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( g e. om /\ h e. N. ) )
39	30, 38	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) )
40	5, 13	eqtr3d 2264	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
41	40	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
42	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
43	42, 10	erth 6743	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. <-> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 ) )
44	41, 43	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. )
45		enq0breq 7646	. . . . 5 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) -> ( <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. <-> ( w .o f ) = ( v .o s ) ) )
46	12, 20, 45	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. <-> ( w .o f ) = ( v .o s ) ) )
47	44, 46	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( w .o f ) = ( v .o s ) )
48	23, 31	eqtr3d 2264	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
49	48	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
50	42, 28	erth 6743	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. <-> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) )
51	49, 50	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. )
52		enq0breq 7646	. . . . 5 |- ( ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) -> ( <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. <-> ( u .o h ) = ( t .o g ) ) )
53	30, 38, 52	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. <-> ( u .o h ) = ( t .o g ) ) )
54	51, 53	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( u .o h ) = ( t .o g ) )
55	47, 54	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) )
56	21, 39, 55	jca31 309	1 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3670   class class class wbr 4086   omcom 4686   X. cxp 4721   dom cdm 4723  (class class class)co 6013   .o comu 6575   Er wer 6694   [cec 6695   /.cqs 6696   N.cnpi 7482   ~_Q0 ceq0 7496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-enq0 7634

This theorem is referenced by:  addnq0mo  7657  mulnq0mo  7658