ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnq0lem1 Unicode version

Theorem nnnq0lem1 7436
Description: Decomposing nonnegative fractions into natural numbers. Lemma for addnnnq0 7439 and mulnnnq0 7440. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnnq0lem1  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  ( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( (
u  e.  om  /\  t  e.  N. )  /\  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
) )  /\  (
( w  .o  f
)  =  ( v  .o  s )  /\  ( u  .o  h
)  =  ( t  .o  g ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, w, v, u, t, s, q, f, g, h, A   
z, B, w, v, u, t, s, q, f, g, h
Allowed substitution hints:    C( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)    D( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)

Proof of Theorem nnnq0lem1
StepHypRef Expression
1 enq0er 7425 . . . . . 6  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
2 erdm 6539 . . . . . 6  |-  ( ~Q0  Er  ( om  X.  N. )  ->  dom ~Q0  =  ( om  X.  N. ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )
4 simpll 527 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
5 simplll 533 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  )
65eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <->  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
76adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) 
<->  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
84, 7mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
9 ecelqsdm 6599 . . . . 5  |-  ( ( dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )  /\  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  <. w ,  v >.  e.  ( om  X.  N. )
)
103, 8, 9sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. w ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
11 opelxp 4653 . . . 4  |-  ( <.
w ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)
1210, 11sylib 122 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)
13 simprll 537 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  A  =  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  )
1413eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <->  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
1514adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) 
<->  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
164, 15mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
17 ecelqsdm 6599 . . . . 5  |-  ( ( dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )  /\  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  <. s ,  f >.  e.  ( om  X.  N. )
)
183, 16, 17sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. s ,  f >.  e.  ( om  X.  N. ) )
19 opelxp 4653 . . . 4  |-  ( <.
s ,  f >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)
2018, 19sylib 122 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)
2112, 20jca 306 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. )  /\  (
s  e.  om  /\  f  e.  N. )
) )
22 simplr 528 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
23 simpllr 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  B  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )
2423eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  ( B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <->  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
2524adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) 
<->  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
2622, 25mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
27 ecelqsdm 6599 . . . . 5  |-  ( ( dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )  /\  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  <. u ,  t >.  e.  ( om  X.  N. )
)
283, 26, 27sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. u ,  t >.  e.  ( om  X.  N. ) )
29 opelxp 4653 . . . 4  |-  ( <.
u ,  t >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( u  e.  om  /\  t  e.  N. )
)
3028, 29sylib 122 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( u  e.  om  /\  t  e.  N. )
)
31 simprlr 538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )
3231eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  ( B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <->  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
3332adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) 
<->  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
3422, 33mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
35 ecelqsdm 6599 . . . . 5  |-  ( ( dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )  /\  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  <. g ,  h >.  e.  ( om  X.  N. ) )
363, 34, 35sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. g ,  h >.  e.  ( om  X.  N. ) )
37 opelxp 4653 . . . 4  |-  ( <.
g ,  h >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
)
3836, 37sylib 122 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
)
3930, 38jca 306 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( u  e. 
om  /\  t  e.  N. )  /\  (
g  e.  om  /\  h  e.  N. )
) )
405, 13eqtr3d 2212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  )
4140adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  )
421a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
4342, 10erth 6573 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( <. w ,  v
>. ~Q0  <. s ,  f >.  <->  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  ) )
4441, 43mpbird 167 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. w ,  v >. ~Q0  <. s ,  f >. )
45 enq0breq 7426 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  ( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( <. w ,  v >. ~Q0 
<. s ,  f >.  <->  ( w  .o  f )  =  ( v  .o  s ) ) )
4612, 20, 45syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( <. w ,  v
>. ~Q0  <. s ,  f >.  <->  ( w  .o  f )  =  ( v  .o  s ) ) )
4744, 46mpbid 147 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( w  .o  f
)  =  ( v  .o  s ) )
4823, 31eqtr3d 2212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )
4948adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )
5042, 28erth 6573 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( <. u ,  t
>. ~Q0  <. g ,  h >.  <->  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  ) )
5149, 50mpbird 167 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. u ,  t >. ~Q0  <. g ,  h >. )
52 enq0breq 7426 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  om  /\  t  e.  N. )  /\  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
)  ->  ( <. u ,  t >. ~Q0 
<. g ,  h >.  <->  (
u  .o  h )  =  ( t  .o  g ) ) )
5330, 38, 52syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( <. u ,  t
>. ~Q0  <. g ,  h >.  <->  ( u  .o  h )  =  ( t  .o  g ) ) )
5451, 53mpbid 147 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( u  .o  h
)  =  ( t  .o  g ) )
5547, 54jca 306 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( w  .o  f )  =  ( v  .o  s )  /\  ( u  .o  h )  =  ( t  .o  g ) ) )
5621, 39, 55jca31 309 1  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  ( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( (
u  e.  om  /\  t  e.  N. )  /\  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
) )  /\  (
( w  .o  f
)  =  ( v  .o  s )  /\  ( u  .o  h
)  =  ( t  .o  g ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   <.cop 3594   class class class wbr 4000   omcom 4586    X. cxp 4621   dom cdm 4623  (class class class)co 5869    .o comu 6409    Er wer 6526   [cec 6527   /.cqs 6528   N.cnpi 7262   ~Q0 ceq0 7276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-enq0 7414
This theorem is referenced by:  addnq0mo  7437  mulnq0mo  7438
  Copyright terms: Public domain W3C validator