ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnq0lem1 Unicode version

Theorem nnnq0lem1 7222
Description: Decomposing nonnegative fractions into natural numbers. Lemma for addnnnq0 7225 and mulnnnq0 7226. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnnq0lem1  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  ( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( (
u  e.  om  /\  t  e.  N. )  /\  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
) )  /\  (
( w  .o  f
)  =  ( v  .o  s )  /\  ( u  .o  h
)  =  ( t  .o  g ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, w, v, u, t, s, q, f, g, h, A   
z, B, w, v, u, t, s, q, f, g, h
Allowed substitution hints:    C( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)    D( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)

Proof of Theorem nnnq0lem1
StepHypRef Expression
1 enq0er 7211 . . . . . 6  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
2 erdm 6407 . . . . . 6  |-  ( ~Q0  Er  ( om  X.  N. )  ->  dom ~Q0  =  ( om  X.  N. ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )
4 simpll 503 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
5 simplll 507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  )
65eleq1d 2186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <->  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
76adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) 
<->  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
84, 7mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
9 ecelqsdm 6467 . . . . 5  |-  ( ( dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )  /\  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  <. w ,  v >.  e.  ( om  X.  N. )
)
103, 8, 9sylancr 410 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. w ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
11 opelxp 4539 . . . 4  |-  ( <.
w ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)
1210, 11sylib 121 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)
13 simprll 511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  A  =  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  )
1413eleq1d 2186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <->  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
1514adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) 
<->  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
164, 15mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
17 ecelqsdm 6467 . . . . 5  |-  ( ( dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )  /\  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  <. s ,  f >.  e.  ( om  X.  N. )
)
183, 16, 17sylancr 410 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. s ,  f >.  e.  ( om  X.  N. ) )
19 opelxp 4539 . . . 4  |-  ( <.
s ,  f >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)
2018, 19sylib 121 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)
2112, 20jca 304 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. )  /\  (
s  e.  om  /\  f  e.  N. )
) )
22 simplr 504 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
23 simpllr 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  B  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )
2423eleq1d 2186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  ( B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <->  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
2524adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) 
<->  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
2622, 25mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
27 ecelqsdm 6467 . . . . 5  |-  ( ( dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )  /\  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  <. u ,  t >.  e.  ( om  X.  N. )
)
283, 26, 27sylancr 410 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. u ,  t >.  e.  ( om  X.  N. ) )
29 opelxp 4539 . . . 4  |-  ( <.
u ,  t >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( u  e.  om  /\  t  e.  N. )
)
3028, 29sylib 121 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( u  e.  om  /\  t  e.  N. )
)
31 simprlr 512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )
3231eleq1d 2186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  ( B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  <->  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
3332adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) 
<->  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
3422, 33mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
35 ecelqsdm 6467 . . . . 5  |-  ( ( dom ~Q0  =  ( om  X.  N. )  /\  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  <. g ,  h >.  e.  ( om  X.  N. ) )
363, 34, 35sylancr 410 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. g ,  h >.  e.  ( om  X.  N. ) )
37 opelxp 4539 . . . 4  |-  ( <.
g ,  h >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
)
3836, 37sylib 121 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
)
3930, 38jca 304 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( u  e. 
om  /\  t  e.  N. )  /\  (
g  e.  om  /\  h  e.  N. )
) )
405, 13eqtr3d 2152 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  )
4140adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. s ,  f
>. ] ~Q0  )
421a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
4342, 10erth 6441 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( <. w ,  v
>. ~Q0  <. s ,  f >.  <->  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  ) )
4441, 43mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. w ,  v >. ~Q0  <. s ,  f >. )
45 enq0breq 7212 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  ( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( <. w ,  v >. ~Q0 
<. s ,  f >.  <->  ( w  .o  f )  =  ( v  .o  s ) ) )
4612, 20, 45syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( <. w ,  v
>. ~Q0  <. s ,  f >.  <->  ( w  .o  f )  =  ( v  .o  s ) ) )
4744, 46mpbid 146 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( w  .o  f
)  =  ( v  .o  s ) )
4823, 31eqtr3d 2152 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) )  ->  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )
4948adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )
5042, 28erth 6441 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( <. u ,  t
>. ~Q0  <. g ,  h >.  <->  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  ) )
5149, 50mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  ->  <. u ,  t >. ~Q0  <. g ,  h >. )
52 enq0breq 7212 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  om  /\  t  e.  N. )  /\  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
)  ->  ( <. u ,  t >. ~Q0 
<. g ,  h >.  <->  (
u  .o  h )  =  ( t  .o  g ) ) )
5330, 38, 52syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( <. u ,  t
>. ~Q0  <. g ,  h >.  <->  ( u  .o  h )  =  ( t  .o  g ) ) )
5451, 53mpbid 146 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( u  .o  h
)  =  ( t  .o  g ) )
5547, 54jca 304 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( w  .o  f )  =  ( v  .o  s )  /\  ( u  .o  h )  =  ( t  .o  g ) ) )
5621, 39, 55jca31 307 1  |-  ( ( ( A  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  B  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  (
( ( A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ C ] ~Q0  )  /\  ( ( A  =  [ <. s ,  f >. ] ~Q0  /\  B  =  [ <. g ,  h >. ] ~Q0  )  /\  q  =  [ D ] ~Q0  ) ) )  -> 
( ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  ( s  e.  om  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( (
u  e.  om  /\  t  e.  N. )  /\  ( g  e.  om  /\  h  e.  N. )
) )  /\  (
( w  .o  f
)  =  ( v  .o  s )  /\  ( u  .o  h
)  =  ( t  .o  g ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   <.cop 3500   class class class wbr 3899   omcom 4474    X. cxp 4507   dom cdm 4509  (class class class)co 5742    .o comu 6279    Er wer 6394   [cec 6395   /.cqs 6396   N.cnpi 7048   ~Q0 ceq0 7062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-enq0 7200
This theorem is referenced by:  addnq0mo  7223  mulnq0mo  7224
  Copyright terms: Public domain W3C validator