Theorem nnnq0lem1 7530

Description: Decomposing nonnegative fractions into natural numbers. Lemma for addnnnq0 7533 and mulnnnq0 7534. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)

Assertion

Ref

Expression

nnnq0lem1

|- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, w, v, u, t, s, q, f, g, h, A   z, B, w, v, u, t, s, q, f, g, h

Allowed substitution hints:   C( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)   D( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)

Proof of Theorem nnnq0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 7519	. . . . . 6 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2		erdm 6611	. . . . . 6 |- ( ~Q0 Er ( om X. N. ) -> dom ~Q0 = ( om X. N. ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom ~Q0 = ( om X. N. )
4		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
5		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> A = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
6	5	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
8	4, 7	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
9		ecelqsdm 6673	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. w , v >. e. ( om X. N. ) )
10	3, 8, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. w , v >. e. ( om X. N. ) )
11		opelxp 4694	. . . 4 |- ( <. w , v >. e. ( om X. N. ) <-> ( w e. om /\ v e. N. ) )
12	10, 11	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( w e. om /\ v e. N. ) )
13		simprll 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> A = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
14	13	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
15	14	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
16	4, 15	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
17		ecelqsdm 6673	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. s , f >. e. ( om X. N. ) )
18	3, 16, 17	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. s , f >. e. ( om X. N. ) )
19		opelxp 4694	. . . 4 |- ( <. s , f >. e. ( om X. N. ) <-> ( s e. om /\ f e. N. ) )
20	18, 19	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( s e. om /\ f e. N. ) )
21	12, 20	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) )
22		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
23		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> B = [ <. u , t >. ] ~Q0 )
24	23	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
25	24	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
26	22, 25	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
27		ecelqsdm 6673	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. u , t >. e. ( om X. N. ) )
28	3, 26, 27	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. u , t >. e. ( om X. N. ) )
29		opelxp 4694	. . . 4 |- ( <. u , t >. e. ( om X. N. ) <-> ( u e. om /\ t e. N. ) )
30	28, 29	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( u e. om /\ t e. N. ) )
31		simprlr 538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> B = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
32	31	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
33	32	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
34	22, 33	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
35		ecelqsdm 6673	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. g , h >. e. ( om X. N. ) )
36	3, 34, 35	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. g , h >. e. ( om X. N. ) )
37		opelxp 4694	. . . 4 |- ( <. g , h >. e. ( om X. N. ) <-> ( g e. om /\ h e. N. ) )
38	36, 37	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( g e. om /\ h e. N. ) )
39	30, 38	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) )
40	5, 13	eqtr3d 2231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
41	40	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
42	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
43	42, 10	erth 6647	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. <-> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 ) )
44	41, 43	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. )
45		enq0breq 7520	. . . . 5 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) -> ( <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. <-> ( w .o f ) = ( v .o s ) ) )
46	12, 20, 45	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. <-> ( w .o f ) = ( v .o s ) ) )
47	44, 46	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( w .o f ) = ( v .o s ) )
48	23, 31	eqtr3d 2231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
49	48	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
50	42, 28	erth 6647	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. <-> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) )
51	49, 50	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. )
52		enq0breq 7520	. . . . 5 |- ( ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) -> ( <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. <-> ( u .o h ) = ( t .o g ) ) )
53	30, 38, 52	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. <-> ( u .o h ) = ( t .o g ) ) )
54	51, 53	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( u .o h ) = ( t .o g ) )
55	47, 54	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) )
56	21, 39, 55	jca31 309	1 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3626   class class class wbr 4034   omcom 4627   X. cxp 4662   dom cdm 4664  (class class class)co 5925   .o comu 6481   Er wer 6598   [cec 6599   /.cqs 6600   N.cnpi 7356   ~_Q0 ceq0 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-enq0 7508

This theorem is referenced by:  addnq0mo  7531  mulnq0mo  7532