Theorem mulcmpblnq0 7443

Description: Lemma showing compatibility of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcmpblnq0	|- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. ) )

Proof of Theorem mulcmpblnq0

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 5884	. 2 |- ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) )
2		nnmcl 6482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ F e. om ) -> ( A .o F ) e. om )
3		mulpiord 7316	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) = ( B .o G ) )
4		mulclpi 7327	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
5	3, 4	eqeltrrd 2255	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .o G ) e. N. )
6	2, 5	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ F e. om ) /\ ( B e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) )
7	6	an4s 588	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( F e. om /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) )
8		nnmcl 6482	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. om /\ R e. om ) -> ( C .o R ) e. om )
9		mulpiord 7316	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) = ( D .o S ) )
10		mulclpi 7327	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
11	9, 10	eqeltrrd 2255	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .o S ) e. N. )
12	8, 11	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. om /\ R e. om ) /\ ( D e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) )
13	12	an4s 588	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. om /\ D e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) )
14	7, 13	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( F e. om /\ G e. N. ) ) /\ ( ( C e. om /\ D e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) )
15	14	an4s 588	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) )
16		enq0breq 7435	. . . 4 |- ( ( ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) -> ( <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) ) )
18		simplll 533	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> A e. om )
19		simprll 537	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> F e. om )
20		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
21		pinn 7308	. . . . . 6 |- ( D e. N. -> D e. om )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. om )
23		nnmcom 6490	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
24	23	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
25		nnmass 6488	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
26	25	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
27		simprrr 540	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
28		pinn 7308	. . . . . 6 |- ( S e. N. -> S e. om )
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. om )
30		nnmcl 6482	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) e. om )
31	30	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) e. om )
32	18, 19, 22, 24, 26, 29, 31	caov4d 6059	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) )
33		simpllr 534	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
34		pinn 7308	. . . . . 6 |- ( B e. N. -> B e. om )
35	33, 34	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. om )
36		simprlr 538	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
37		pinn 7308	. . . . . 6 |- ( G e. N. -> G e. om )
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. om )
39		simplrl 535	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> C e. om )
40		simprrl 539	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> R e. om )
41	35, 38, 39, 24, 26, 40, 31	caov4d 6059	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) )
42	32, 41	eqeq12d 2192	. . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) <-> ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) ) )
43	17, 42	bitrd 188	. 2 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) ) )
44	1, 43	imbitrrid 156	1 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3596   class class class wbr 4004   omcom 4590  (class class class)co 5875   .o comu 6415   N.cnpi 7271   .N cmi 7273   ~_Q0 ceq0 7285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-ni 7303  df-mi 7305  df-enq0 7423

This theorem is referenced by:  mulnq0mo  7447