ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnq0 Unicode version

Theorem mulcmpblnq0 7001
Description: Lemma showing compatibility of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq0  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C )  /\  ( F  .o  S )  =  ( G  .o  R
) )  ->  <. ( A  .o  F ) ,  ( B  .o  G
) >. ~Q0  <.
( C  .o  R
) ,  ( D  .o  S ) >.
) )

Proof of Theorem mulcmpblnq0
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5661 . 2  |-  ( ( ( A  .o  D
)  =  ( B  .o  C )  /\  ( F  .o  S
)  =  ( G  .o  R ) )  ->  ( ( A  .o  D )  .o  ( F  .o  S
) )  =  ( ( B  .o  C
)  .o  ( G  .o  R ) ) )
2 nnmcl 6242 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  F  e.  om )  ->  ( A  .o  F
)  e.  om )
3 mulpiord 6874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .N  G
)  =  ( B  .o  G ) )
4 mulclpi 6885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .N  G
)  e.  N. )
53, 4eqeltrrd 2165 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .o  G
)  e.  N. )
62, 5anim12i 331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  F  e.  om )  /\  ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .o  F )  e. 
om  /\  ( B  .o  G )  e.  N. ) )
76an4s 555 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  om  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .o  F )  e. 
om  /\  ( B  .o  G )  e.  N. ) )
8 nnmcl 6242 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  om  /\  R  e.  om )  ->  ( C  .o  R
)  e.  om )
9 mulpiord 6874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .N  S
)  =  ( D  .o  S ) )
10 mulclpi 6885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .N  S
)  e.  N. )
119, 10eqeltrrd 2165 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .o  S
)  e.  N. )
128, 11anim12i 331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  R  e.  om )  /\  ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .o  R )  e. 
om  /\  ( D  .o  S )  e.  N. ) )
1312an4s 555 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .o  R )  e. 
om  /\  ( D  .o  S )  e.  N. ) )
147, 13anim12i 331 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  om  /\  G  e.  N. ) )  /\  ( ( C  e. 
om  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  F )  e.  om  /\  ( B  .o  G )  e. 
N. )  /\  (
( C  .o  R
)  e.  om  /\  ( D  .o  S
)  e.  N. )
) )
1514an4s 555 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  F )  e.  om  /\  ( B  .o  G )  e. 
N. )  /\  (
( C  .o  R
)  e.  om  /\  ( D  .o  S
)  e.  N. )
) )
16 enq0breq 6993 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  .o  F )  e.  om  /\  ( B  .o  G
)  e.  N. )  /\  ( ( C  .o  R )  e.  om  /\  ( D  .o  S
)  e.  N. )
)  ->  ( <. ( A  .o  F ) ,  ( B  .o  G ) >. ~Q0 
<. ( C  .o  R
) ,  ( D  .o  S ) >.  <->  ( ( A  .o  F
)  .o  ( D  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  G )  .o  ( C  .o  R
) ) ) )
1715, 16syl 14 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( <. ( A  .o  F ) ,  ( B  .o  G
) >. ~Q0  <.
( C  .o  R
) ,  ( D  .o  S ) >.  <->  ( ( A  .o  F
)  .o  ( D  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  G )  .o  ( C  .o  R
) ) ) )
18 simplll 500 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  A  e.  om )
19 simprll 504 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  F  e.  om )
20 simplrr 503 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  N. )
21 pinn 6866 . . . . . 6  |-  ( D  e.  N.  ->  D  e.  om )
2220, 21syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  om )
23 nnmcom 6250 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  .o  y
)  =  ( y  .o  x ) )
2423adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
om  /\  y  e.  om ) )  ->  (
x  .o  y )  =  ( y  .o  x ) )
25 nnmass 6248 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  (
( x  .o  y
)  .o  z )  =  ( x  .o  ( y  .o  z
) ) )
2625adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
om  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om ) )  ->  (
( x  .o  y
)  .o  z )  =  ( x  .o  ( y  .o  z
) ) )
27 simprrr 507 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  S  e.  N. )
28 pinn 6866 . . . . . 6  |-  ( S  e.  N.  ->  S  e.  om )
2927, 28syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  S  e.  om )
30 nnmcl 6242 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  .o  y
)  e.  om )
3130adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
om  /\  y  e.  om ) )  ->  (
x  .o  y )  e.  om )
3218, 19, 22, 24, 26, 29, 31caov4d 5829 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( A  .o  F )  .o  ( D  .o  S
) )  =  ( ( A  .o  D
)  .o  ( F  .o  S ) ) )
33 simpllr 501 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  N. )
34 pinn 6866 . . . . . 6  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3533, 34syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  om )
36 simprlr 505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  G  e.  N. )
37 pinn 6866 . . . . . 6  |-  ( G  e.  N.  ->  G  e.  om )
3836, 37syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  G  e.  om )
39 simplrl 502 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  C  e.  om )
40 simprrl 506 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  R  e.  om )
4135, 38, 39, 24, 26, 40, 31caov4d 5829 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .o  G )  .o  ( C  .o  R
) )  =  ( ( B  .o  C
)  .o  ( G  .o  R ) ) )
4232, 41eqeq12d 2102 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  F )  .o  ( D  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  G )  .o  ( C  .o  R ) )  <-> 
( ( A  .o  D )  .o  ( F  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  C )  .o  ( G  .o  R
) ) ) )
4317, 42bitrd 186 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( <. ( A  .o  F ) ,  ( B  .o  G
) >. ~Q0  <.
( C  .o  R
) ,  ( D  .o  S ) >.  <->  ( ( A  .o  D
)  .o  ( F  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  C )  .o  ( G  .o  R
) ) ) )
441, 43syl5ibr 154 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C )  /\  ( F  .o  S )  =  ( G  .o  R
) )  ->  <. ( A  .o  F ) ,  ( B  .o  G
) >. ~Q0  <.
( C  .o  R
) ,  ( D  .o  S ) >.
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3449   class class class wbr 3845   omcom 4405  (class class class)co 5652    .o comu 6179   N.cnpi 6829    .N cmi 6831   ~Q0 ceq0 6843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-ni 6861  df-mi 6863  df-enq0 6981
This theorem is referenced by:  mulnq0mo  7005
  Copyright terms: Public domain W3C validator