ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnq0 Unicode version

Theorem mulcmpblnq0 7473
Description: Lemma showing compatibility of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq0  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C )  /\  ( F  .o  S )  =  ( G  .o  R
) )  ->  <. ( A  .o  F ) ,  ( B  .o  G
) >. ~Q0  <.
( C  .o  R
) ,  ( D  .o  S ) >.
) )

Proof of Theorem mulcmpblnq0
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5905 . 2  |-  ( ( ( A  .o  D
)  =  ( B  .o  C )  /\  ( F  .o  S
)  =  ( G  .o  R ) )  ->  ( ( A  .o  D )  .o  ( F  .o  S
) )  =  ( ( B  .o  C
)  .o  ( G  .o  R ) ) )
2 nnmcl 6506 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  F  e.  om )  ->  ( A  .o  F
)  e.  om )
3 mulpiord 7346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .N  G
)  =  ( B  .o  G ) )
4 mulclpi 7357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .N  G
)  e.  N. )
53, 4eqeltrrd 2267 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .o  G
)  e.  N. )
62, 5anim12i 338 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  F  e.  om )  /\  ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .o  F )  e. 
om  /\  ( B  .o  G )  e.  N. ) )
76an4s 588 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  om  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .o  F )  e. 
om  /\  ( B  .o  G )  e.  N. ) )
8 nnmcl 6506 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  om  /\  R  e.  om )  ->  ( C  .o  R
)  e.  om )
9 mulpiord 7346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .N  S
)  =  ( D  .o  S ) )
10 mulclpi 7357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .N  S
)  e.  N. )
119, 10eqeltrrd 2267 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .o  S
)  e.  N. )
128, 11anim12i 338 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  R  e.  om )  /\  ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .o  R )  e. 
om  /\  ( D  .o  S )  e.  N. ) )
1312an4s 588 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .o  R )  e. 
om  /\  ( D  .o  S )  e.  N. ) )
147, 13anim12i 338 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  om  /\  G  e.  N. ) )  /\  ( ( C  e. 
om  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  F )  e.  om  /\  ( B  .o  G )  e. 
N. )  /\  (
( C  .o  R
)  e.  om  /\  ( D  .o  S
)  e.  N. )
) )
1514an4s 588 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  F )  e.  om  /\  ( B  .o  G )  e. 
N. )  /\  (
( C  .o  R
)  e.  om  /\  ( D  .o  S
)  e.  N. )
) )
16 enq0breq 7465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  .o  F )  e.  om  /\  ( B  .o  G
)  e.  N. )  /\  ( ( C  .o  R )  e.  om  /\  ( D  .o  S
)  e.  N. )
)  ->  ( <. ( A  .o  F ) ,  ( B  .o  G ) >. ~Q0 
<. ( C  .o  R
) ,  ( D  .o  S ) >.  <->  ( ( A  .o  F
)  .o  ( D  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  G )  .o  ( C  .o  R
) ) ) )
1715, 16syl 14 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( <. ( A  .o  F ) ,  ( B  .o  G
) >. ~Q0  <.
( C  .o  R
) ,  ( D  .o  S ) >.  <->  ( ( A  .o  F
)  .o  ( D  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  G )  .o  ( C  .o  R
) ) ) )
18 simplll 533 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  A  e.  om )
19 simprll 537 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  F  e.  om )
20 simplrr 536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  N. )
21 pinn 7338 . . . . . 6  |-  ( D  e.  N.  ->  D  e.  om )
2220, 21syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  om )
23 nnmcom 6514 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  .o  y
)  =  ( y  .o  x ) )
2423adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
om  /\  y  e.  om ) )  ->  (
x  .o  y )  =  ( y  .o  x ) )
25 nnmass 6512 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  (
( x  .o  y
)  .o  z )  =  ( x  .o  ( y  .o  z
) ) )
2625adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
om  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om ) )  ->  (
( x  .o  y
)  .o  z )  =  ( x  .o  ( y  .o  z
) ) )
27 simprrr 540 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  S  e.  N. )
28 pinn 7338 . . . . . 6  |-  ( S  e.  N.  ->  S  e.  om )
2927, 28syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  S  e.  om )
30 nnmcl 6506 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  .o  y
)  e.  om )
3130adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
om  /\  y  e.  om ) )  ->  (
x  .o  y )  e.  om )
3218, 19, 22, 24, 26, 29, 31caov4d 6081 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( A  .o  F )  .o  ( D  .o  S
) )  =  ( ( A  .o  D
)  .o  ( F  .o  S ) ) )
33 simpllr 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  N. )
34 pinn 7338 . . . . . 6  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3533, 34syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  om )
36 simprlr 538 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  G  e.  N. )
37 pinn 7338 . . . . . 6  |-  ( G  e.  N.  ->  G  e.  om )
3836, 37syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  G  e.  om )
39 simplrl 535 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  C  e.  om )
40 simprrl 539 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  R  e.  om )
4135, 38, 39, 24, 26, 40, 31caov4d 6081 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .o  G )  .o  ( C  .o  R
) )  =  ( ( B  .o  C
)  .o  ( G  .o  R ) ) )
4232, 41eqeq12d 2204 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  F )  .o  ( D  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  G )  .o  ( C  .o  R ) )  <-> 
( ( A  .o  D )  .o  ( F  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  C )  .o  ( G  .o  R
) ) ) )
4317, 42bitrd 188 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( <. ( A  .o  F ) ,  ( B  .o  G
) >. ~Q0  <.
( C  .o  R
) ,  ( D  .o  S ) >.  <->  ( ( A  .o  D
)  .o  ( F  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  C )  .o  ( G  .o  R
) ) ) )
441, 43imbitrrid 156 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C )  /\  ( F  .o  S )  =  ( G  .o  R
) )  ->  <. ( A  .o  F ) ,  ( B  .o  G
) >. ~Q0  <.
( C  .o  R
) ,  ( D  .o  S ) >.
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   <.cop 3610   class class class wbr 4018   omcom 4607  (class class class)co 5896    .o comu 6439   N.cnpi 7301    .N cmi 7303   ~Q0 ceq0 7315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-ni 7333  df-mi 7335  df-enq0 7453
This theorem is referenced by:  mulnq0mo  7477
  Copyright terms: Public domain W3C validator