ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnq0 Unicode version
Theorem mulcmpblnq0 7619
Description: Lemma showing compatibility of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq0 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. ) )
Proof of Theorem mulcmpblnq0
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 6003 . 2 |- ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) )
2 nnmcl 6617 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ F e. om ) -> ( A .o F ) e. om )
3 mulpiord 7492 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) = ( B .o G ) )
4 mulclpi 7503 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
53, 4eqeltrrd 2307 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .o G ) e. N. )
62, 5anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ F e. om ) /\ ( B e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) )
76an4s 590 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( F e. om /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) )
8 nnmcl 6617 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. om /\ R e. om ) -> ( C .o R ) e. om )
9 mulpiord 7492 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) = ( D .o S ) )
10 mulclpi 7503 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
119, 10eqeltrrd 2307 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .o S ) e. N. )
128, 11anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. om /\ R e. om ) /\ ( D e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) )
1312an4s 590 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. om /\ D e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) )
147, 13anim12i 338 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( F e. om /\ G e. N. ) ) /\ ( ( C e. om /\ D e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) )
1514an4s 590 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) )
16 enq0breq 7611 . . . 4 |- ( ( ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) -> ( <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) ) )
1715, 16syl 14 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) ) )
18 simplll 533 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> A e. om )
19 simprll 537 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> F e. om )
20 simplrr 536 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
21 pinn 7484 . . . . . 6 |- ( D e. N. -> D e. om )
2220, 21syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. om )
23 nnmcom 6625 . . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
2423adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
25 nnmass 6623 . . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
2625adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
27 simprrr 540 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
28 pinn 7484 . . . . . 6 |- ( S e. N. -> S e. om )
2927, 28syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. om )
30 nnmcl 6617 . . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) e. om )
3130adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) e. om )
3218, 19, 22, 24, 26, 29, 31caov4d 6181 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) )
33 simpllr 534 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
34 pinn 7484 . . . . . 6 |- ( B e. N. -> B e. om )
3533, 34syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. om )
36 simprlr 538 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
37 pinn 7484 . . . . . 6 |- ( G e. N. -> G e. om )
3836, 37syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. om )
39 simplrl 535 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> C e. om )
40 simprrl 539 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> R e. om )
4135, 38, 39, 24, 26, 40, 31caov4d 6181 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) )
4232, 41eqeq12d 2244 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) <-> ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) ) )
4317, 42bitrd 188 . 2 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) ) )
441, 43imbitrrid 156 1 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   class class class wbr 4082   omcom 4679  (class class class)co 5994   .o comu 6550   N.cnpi 7447   .N cmi 7449   ~Q0 ceq0 7461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-oadd 6556  df-omul 6557  df-ni 7479  df-mi 7481  df-enq0 7599
This theorem is referenced by:  mulnq0mo  7623
  Copyright terms: Public domain W3C validator