ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnq0 Unicode version
Theorem mulcmpblnq0 7811
Description: Lemma showing compatibility of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq0 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. ) )
Proof of Theorem mulcmpblnq0
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 6094 . 2 |- ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) )
2 nnmcl 6754 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ F e. om ) -> ( A .o F ) e. om )
3 mulpiord 7684 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) = ( B .o G ) )
4 mulclpi 7695 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
53, 4eqeltrrd 2316 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .o G ) e. N. )
62, 5anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ F e. om ) /\ ( B e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) )
76an4s 596 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( F e. om /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) )
8 nnmcl 6754 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. om /\ R e. om ) -> ( C .o R ) e. om )
9 mulpiord 7684 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) = ( D .o S ) )
10 mulclpi 7695 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
119, 10eqeltrrd 2316 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .o S ) e. N. )
128, 11anim12i 338 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. om /\ R e. om ) /\ ( D e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) )
1312an4s 596 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. om /\ D e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) )
147, 13anim12i 338 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( F e. om /\ G e. N. ) ) /\ ( ( C e. om /\ D e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) )
1514an4s 596 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) )
16 enq0breq 7803 . . . 4 |- ( ( ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) -> ( <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) ) )
1715, 16syl 14 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) ) )
18 simplll 539 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> A e. om )
19 simprll 543 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> F e. om )
20 simplrr 542 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
21 pinn 7676 . . . . . 6 |- ( D e. N. -> D e. om )
2220, 21syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. om )
23 nnmcom 6762 . . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
2423adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
25 nnmass 6760 . . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
2625adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
27 simprrr 546 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
28 pinn 7676 . . . . . 6 |- ( S e. N. -> S e. om )
2927, 28syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. om )
30 nnmcl 6754 . . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) e. om )
3130adantl 277 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) e. om )
3218, 19, 22, 24, 26, 29, 31caov4d 6274 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) )
33 simpllr 540 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
34 pinn 7676 . . . . . 6 |- ( B e. N. -> B e. om )
3533, 34syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. om )
36 simprlr 544 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
37 pinn 7676 . . . . . 6 |- ( G e. N. -> G e. om )
3836, 37syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. om )
39 simplrl 541 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> C e. om )
40 simprrl 545 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> R e. om )
4135, 38, 39, 24, 26, 40, 31caov4d 6274 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) )
4232, 41eqeq12d 2253 . . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) <-> ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) ) )
4317, 42bitrd 188 . 2 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) ) )
441, 43imbitrrid 156 1 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   class class class wbr 4130   omcom 4737  (class class class)co 6085   .o comu 6685   N.cnpi 7639   .N cmi 7641   ~Q0 ceq0 7653
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-ni 7671  df-mi 7673  df-enq0 7791
This theorem is used by:  mulnq0mo  7815
  Copyright terms: Public domain W3C validator