ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec Unicode version
Theorem mulcanenq0ec 7802
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> [ <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ] ~Q0 = [ <. B , C >. ] ~Q0 )
Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 7792 . . 3 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
21a1i 9 . 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3 pinn 7666 . . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
433ad2ant1 1049 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> A e. om )
5 simp2 1029 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> B e. om )
6 pinn 7666 . . . . 5 |- ( C e. N. -> C e. om )
763ad2ant3 1051 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> C e. om )
8 nnmcom 6752 . . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
98adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
10 nnmass 6750 . . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
1110adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
124, 5, 7, 9, 11caov32d 6260 . . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) )
13 nnmcl 6744 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
143, 13sylan 283 . . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
15 mulpiord 7674 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
16 mulclpi 7685 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
1715, 16eqeltrrd 2316 . . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o C ) e. N. )
1814, 17anim12i 338 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) )
19 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ A e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) -> ( B e. om /\ C e. N. ) )
2019an4s 596 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( B e. om /\ C e. N. ) )
2118, 20jca 306 . . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) )
22213impdi 1334 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) )
23 enq0breq 7793 . . . 4 |- ( ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) -> ( <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) ) )
2422, 23syl 14 . . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) ) )
2512, 24mpbird 167 . 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. )
262, 25erthi 6845 1 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> [ <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ] ~Q0 = [ <. B , C >. ] ~Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3708   class class class wbr 4125   omcom 4732   X. cxp 4767  (class class class)co 6075   .o comu 6675   Er wer 6794   [cec 6795   N.cnpi 7629   .N cmi 7631   ~Q0 ceq0 7643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-ni 7661  df-mi 7663  df-enq0 7781
This theorem is referenced by:  nnanq0  7815  distrnq0  7816
  Copyright terms: Public domain W3C validator