ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec Unicode version

Theorem mulcanenq0ec 7201
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .o  B ) ,  ( A  .o  C ) >. ] ~Q0  =  [ <. B ,  C >. ] ~Q0  )

Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 7191 . . 3  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
21a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  -> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
3 pinn 7065 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
433ad2ant1 985 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  A  e.  om )
5 simp2 965 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  B  e.  om )
6 pinn 7065 . . . . 5  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
763ad2ant3 987 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  C  e.  om )
8 nnmcom 6339 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  .o  y
)  =  ( y  .o  x ) )
98adantl 273 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  /\  ( x  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( x  .o  y )  =  ( y  .o  x ) )
10 nnmass 6337 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  (
( x  .o  y
)  .o  z )  =  ( x  .o  ( y  .o  z
) ) )
1110adantl 273 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  /\  ( x  e.  om  /\  y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( (
x  .o  y )  .o  z )  =  ( x  .o  (
y  .o  z ) ) )
124, 5, 7, 9, 11caov32d 5905 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( ( A  .o  C )  .o  B ) )
13 nnmcl 6331 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
143, 13sylan 279 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
15 mulpiord 7073 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  =  ( A  .o  C ) )
16 mulclpi 7084 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  e.  N. )
1715, 16eqeltrrd 2192 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .o  C
)  e.  N. )
1814, 17anim12i 334 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .o  B )  e. 
om  /\  ( A  .o  C )  e.  N. ) )
19 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( B  e.  om  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( B  e.  om  /\  C  e. 
N. ) )
2019an4s 560 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( B  e.  om  /\  C  e. 
N. ) )
2118, 20jca 302 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( (
( A  .o  B
)  e.  om  /\  ( A  .o  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  om  /\  C  e.  N. )
) )
22213impdi 1254 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  (
( ( A  .o  B )  e.  om  /\  ( A  .o  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  om  /\  C  e.  N. )
) )
23 enq0breq 7192 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  .o  B )  e.  om  /\  ( A  .o  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  om  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( <. ( A  .o  B ) ,  ( A  .o  C ) >. ~Q0 
<. B ,  C >.  <->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( ( A  .o  C )  .o  B ) ) )
2422, 23syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  ( <. ( A  .o  B
) ,  ( A  .o  C ) >. ~Q0  <. B ,  C >. 
<->  ( ( A  .o  B )  .o  C
)  =  ( ( A  .o  C )  .o  B ) ) )
2512, 24mpbird 166 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .o  B ) ,  ( A  .o  C
) >. ~Q0  <. B ,  C >. )
262, 25erthi 6429 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .o  B ) ,  ( A  .o  C ) >. ] ~Q0  =  [ <. B ,  C >. ] ~Q0  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   <.cop 3496   class class class wbr 3895   omcom 4464    X. cxp 4497  (class class class)co 5728    .o comu 6265    Er wer 6380   [cec 6381   N.cnpi 7028    .N cmi 7030   ~Q0 ceq0 7042
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-oadd 6271  df-omul 6272  df-er 6383  df-ec 6385  df-ni 7060  df-mi 7062  df-enq0 7180
This theorem is referenced by:  nnanq0  7214  distrnq0  7215
  Copyright terms: Public domain W3C validator