ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec Unicode version
Theorem mulcanenq0ec 7725
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> [ <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ] ~Q0 = [ <. B , C >. ] ~Q0 )
Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 7715 . . 3 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
21a1i 9 . 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3 pinn 7589 . . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
433ad2ant1 1045 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> A e. om )
5 simp2 1025 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> B e. om )
6 pinn 7589 . . . . 5 |- ( C e. N. -> C e. om )
763ad2ant3 1047 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> C e. om )
8 nnmcom 6700 . . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
98adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
10 nnmass 6698 . . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
1110adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
124, 5, 7, 9, 11caov32d 6213 . . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) )
13 nnmcl 6692 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
143, 13sylan 283 . . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
15 mulpiord 7597 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
16 mulclpi 7608 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
1715, 16eqeltrrd 2309 . . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o C ) e. N. )
1814, 17anim12i 338 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) )
19 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ A e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) -> ( B e. om /\ C e. N. ) )
2019an4s 592 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( B e. om /\ C e. N. ) )
2118, 20jca 306 . . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) )
22213impdi 1330 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) )
23 enq0breq 7716 . . . 4 |- ( ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) -> ( <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) ) )
2422, 23syl 14 . . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) ) )
2512, 24mpbird 167 . 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. )
262, 25erthi 6793 1 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> [ <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ] ~Q0 = [ <. B , C >. ] ~Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   <.cop 3676   class class class wbr 4093   omcom 4694   X. cxp 4729  (class class class)co 6028   .o comu 6623   Er wer 6742   [cec 6743   N.cnpi 7552   .N cmi 7554   ~Q0 ceq0 7566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-ni 7584  df-mi 7586  df-enq0 7704
This theorem is referenced by:  nnanq0  7738  distrnq0  7739
  Copyright terms: Public domain W3C validator