ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec Unicode version
Theorem mulcanenq0ec 7558
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> [ <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ] ~Q0 = [ <. B , C >. ] ~Q0 )
Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 7548 . . 3 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
21a1i 9 . 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3 pinn 7422 . . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
433ad2ant1 1021 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> A e. om )
5 simp2 1001 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> B e. om )
6 pinn 7422 . . . . 5 |- ( C e. N. -> C e. om )
763ad2ant3 1023 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> C e. om )
8 nnmcom 6575 . . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
98adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
10 nnmass 6573 . . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
1110adantl 277 . . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
124, 5, 7, 9, 11caov32d 6127 . . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) )
13 nnmcl 6567 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
143, 13sylan 283 . . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
15 mulpiord 7430 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
16 mulclpi 7441 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
1715, 16eqeltrrd 2283 . . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o C ) e. N. )
1814, 17anim12i 338 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) )
19 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ A e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) -> ( B e. om /\ C e. N. ) )
2019an4s 588 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( B e. om /\ C e. N. ) )
2118, 20jca 306 . . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) )
22213impdi 1306 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) )
23 enq0breq 7549 . . . 4 |- ( ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) -> ( <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) ) )
2422, 23syl 14 . . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) ) )
2512, 24mpbird 167 . 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. )
262, 25erthi 6668 1 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> [ <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ] ~Q0 = [ <. B , C >. ] ~Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   class class class wbr 4044   omcom 4638   X. cxp 4673  (class class class)co 5944   .o comu 6500   Er wer 6617   [cec 6618   N.cnpi 7385   .N cmi 7387   ~Q0 ceq0 7399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-ni 7417  df-mi 7419  df-enq0 7537
This theorem is referenced by:  nnanq0  7571  distrnq0  7572
  Copyright terms: Public domain W3C validator