Theorem mulcanenq0ec 7407

Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanenq0ec	|- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> [ <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ] ~Q0 = [ <. B , C >. ] ~Q0 )

Proof of Theorem mulcanenq0ec

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 7397	. . 3 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3		pinn 7271	. . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
4	3	3ad2ant1 1013	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> A e. om )
5		simp2 993	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> B e. om )
6		pinn 7271	. . . . 5 |- ( C e. N. -> C e. om )
7	6	3ad2ant3 1015	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> C e. om )
8		nnmcom 6468	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
9	8	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
10		nnmass 6466	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
11	10	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
12	4, 5, 7, 9, 11	caov32d 6033	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) )
13		nnmcl 6460	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
14	3, 13	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
15		mulpiord 7279	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
16		mulclpi 7290	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
17	15, 16	eqeltrrd 2248	. . . . . . 7 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o C ) e. N. )
18	14, 17	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) )
19		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ A e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) -> ( B e. om /\ C e. N. ) )
20	19	an4s 583	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( B e. om /\ C e. N. ) )
21	18, 20	jca 304	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. om ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) )
22	21	3impdi 1288	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) )
23		enq0breq 7398	. . . 4 |- ( ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o C ) e. N. ) /\ ( B e. om /\ C e. N. ) ) -> ( <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) ) )
24	22, 23	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> ( <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) .o B ) ) )
25	12, 24	mpbird 166	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ~Q0 <. B , C >. )
26	2, 25	erthi 6559	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. om /\ C e. N. ) -> [ <. ( A .o B ) , ( A .o C ) >. ] ~Q0 = [ <. B , C >. ] ~Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989   omcom 4574   X. cxp 4609  (class class class)co 5853   .o comu 6393   Er wer 6510   [cec 6511   N.cnpi 7234   .N cmi 7236   ~_Q0 ceq0 7248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-ni 7266  df-mi 7268  df-enq0 7386

This theorem is referenced by:  nnanq0  7420  distrnq0  7421