ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0eceq Unicode version

Theorem enq0eceq 7424
Description: Equivalence class equality of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0eceq  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  <->  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C ) ) )

Proof of Theorem enq0eceq
StepHypRef Expression
1 enq0er 7422 . . . 4  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
21a1i 9 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  -> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
3 opelxpi 4655 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. ) )
43adantr 276 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  <. A ,  B >.  e.  ( om 
X.  N. ) )
52, 4erth 6573 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0 
<. C ,  D >.  <->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) )
6 enq0breq 7423 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >. ~Q0 
<. C ,  D >.  <->  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
) ) )
75, 6bitr3d 190 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  <->  ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   <.cop 3594   class class class wbr 4000   omcom 4586    X. cxp 4621  (class class class)co 5869    .o comu 6409    Er wer 6526   [cec 6527   N.cnpi 7259   ~Q0 ceq0 7273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-ni 7291  df-enq0 7411
This theorem is referenced by:  nq0m0r  7443
  Copyright terms: Public domain W3C validator