Theorem enq0eceq 7550

Description: Equivalence class equality of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0eceq	|- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem enq0eceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 7548	. . . 4 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3		opelxpi 4707	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( om X. N. ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> <. A , B >. e. ( om X. N. ) )
5	2, 4	erth 6666	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q0 <. C , D >. <-> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) )
6		enq0breq 7549	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q0 <. C , D >. <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )
7	5, 6	bitr3d 190	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   class class class wbr 4044   omcom 4638   X. cxp 4673  (class class class)co 5944   .o comu 6500   Er wer 6617   [cec 6618   N.cnpi 7385   ~_Q0 ceq0 7399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-ni 7417  df-enq0 7537

This theorem is referenced by:  nq0m0r  7569