Theorem triv1nsgd 13771

Description: A trivial group has exactly one normal subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
triv1nsgd.1	|- B = ( Base ` G )
triv1nsgd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
triv1nsgd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
triv1nsgd.4	|- ( ph -> B = { .0. } )

Assertion

Ref	Expression
triv1nsgd	|- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )

Proof of Theorem triv1nsgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		triv1nsgd.1	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		triv1nsgd.2	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		triv1nsgd.3	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
4		triv1nsgd.4	. . 3 |- ( ph -> B = { .0. } )
5	1, 2, 3, 4	trivnsgd 13770	. 2 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) = { B } )
6	1, 2	grpidcl 13578	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )
7	3, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. B )
8		snexg 4268	. . . . 5 |- ( .0. e. B -> { .0. } e. _V )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { .0. } e. _V )
10	4, 9	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
11		ensn1g 6957	. . 3 |- ( B e. _V -> { B } ~~ 1o )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ph -> { B } ~~ 1o )
13	5, 12	eqbrtrd 4105	1 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {csn 3666   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   1oc1o 6561   ~~ cen 6893   Basecbs 13048   0gc0g 13305   Grpcgrp 13549  NrmSGrpcnsg 13721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-en 6896  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-sets 13055  df-iress 13056  df-plusg 13139  df-0g 13307  df-mgm 13405  df-sgrp 13451  df-mnd 13466  df-grp 13552  df-minusg 13553  df-sbg 13554  df-subg 13723  df-nsg 13724

This theorem is referenced by: (None)