Theorem triv1nsgd 13971

Description: A trivial group has exactly one normal subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
triv1nsgd.1	|- B = ( Base ` G )
triv1nsgd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
triv1nsgd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
triv1nsgd.4	|- ( ph -> B = { .0. } )

Assertion

Ref	Expression
triv1nsgd	|- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )

Proof of Theorem triv1nsgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		triv1nsgd.1	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		triv1nsgd.2	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		triv1nsgd.3	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
4		triv1nsgd.4	. . 3 |- ( ph -> B = { .0. } )
5	1, 2, 3, 4	trivnsgd 13970	. 2 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) = { B } )
6	1, 2	grpidcl 13784	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )
7	3, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. B )
8		snexg 4302	. . . . 5 |- ( .0. e. B -> { .0. } e. _V )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { .0. } e. _V )
10	4, 9	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
11		ensn1g 7050	. . 3 |- ( B e. _V -> { B } ~~ 1o )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ph -> { B } ~~ 1o )
13	5, 12	eqbrtrd 4136	1 |- ( ph -> (NrmSGrp ` G ) ~~ 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3694   class class class wbr 4114   ` cfv 5357   1oc1o 6653   ~~ cen 6986   Basecbs 13296   0gc0g 13553   Grpcgrp 13755  NrmSGrpcnsg 13921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-en 6989  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-sbg 13760  df-subg 13923  df-nsg 13924

This theorem is referenced by: (None)