Theorem exmidssfi 7201

Description: Excluded middle is equivalent to any subset of a finite set being finite. Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
exmidssfi	|- (EXMID <-> A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidssfi

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 531	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> x e. Fin )
2		simprr 533	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> y C_ x )
3		exmidexmid 4311	. . . . . . 7 |- (EXMID -> DECID w e. y )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> DECID w e. y )
5	4	ralrimivw 2618	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> A. w e. x DECID w e. y )
6		ssfidc 7200	. . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ y C_ x /\ A. w e. x DECID w e. y ) -> y e. Fin )
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> y e. Fin )
8	7	ex 115	. . 3 |- (EXMID -> ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) )
9	8	alrimivv 1924	. 2 |- (EXMID -> A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) )
10		ssfiexmidt 7135	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> ( z = { (/) } \/ -. z = { (/) } ) )
11		df-dc 843	. . . . 5 |- (DECID z = { (/) } <-> ( z = { (/) } \/ -. z = { (/) } ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> DECID z = { (/) } )
13	12	adantr 276	. . 3 |- ( ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) /\ z C_ { (/) } ) -> DECID z = { (/) } )
14	13	exmid1dc 4315	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> EXMID )
15	9, 14	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3213   (/)c0 3510   {csn 3691  EXMIDwem 4309   Fincfn 6977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-exmid 4310  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-fin 6980

This theorem is referenced by: (None)