Theorem exmidssfi 7246

Description: Excluded middle is equivalent to any subset of a finite set being finite. Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
exmidssfi	|- (EXMID <-> A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidssfi

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 535	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> x e. Fin )
2		simprr 537	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> y C_ x )
3		exmidexmid 4333	. . . . . . 7 |- (EXMID -> DECID w e. y )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> DECID w e. y )
5	4	ralrimivw 2624	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> A. w e. x DECID w e. y )
6		ssfidc 7245	. . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ y C_ x /\ A. w e. x DECID w e. y ) -> y e. Fin )
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> y e. Fin )
8	7	ex 115	. . 3 |- (EXMID -> ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) )
9	8	alrimivv 1928	. 2 |- (EXMID -> A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) )
10		ssfiexmidt 7180	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> ( z = { (/) } \/ -. z = { (/) } ) )
11		df-dc 847	. . . . 5 |- (DECID z = { (/) } <-> ( z = { (/) } \/ -. z = { (/) } ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> DECID z = { (/) } )
13	12	adantr 276	. . 3 |- ( ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) /\ z C_ { (/) } ) -> DECID z = { (/) } )
14	13	exmid1dc 4337	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> EXMID )
15	9, 14	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709  EXMIDwem 4331   Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-exmid 4332  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by: (None)