Theorem exmidssfi 7174

Description: Excluded middle is equivalent to any subset of a finite set being finite. Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
exmidssfi	|- (EXMID <-> A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidssfi

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 531	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> x e. Fin )
2		simprr 533	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> y C_ x )
3		exmidexmid 4292	. . . . . . 7 |- (EXMID -> DECID w e. y )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> DECID w e. y )
5	4	ralrimivw 2607	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> A. w e. x DECID w e. y )
6		ssfidc 7173	. . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ y C_ x /\ A. w e. x DECID w e. y ) -> y e. Fin )
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( (EXMID /\ ( x e. Fin /\ y C_ x ) ) -> y e. Fin )
8	7	ex 115	. . 3 |- (EXMID -> ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) )
9	8	alrimivv 1923	. 2 |- (EXMID -> A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) )
10		ssfiexmidt 7108	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> ( z = { (/) } \/ -. z = { (/) } ) )
11		df-dc 843	. . . . 5 |- (DECID z = { (/) } <-> ( z = { (/) } \/ -. z = { (/) } ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> DECID z = { (/) } )
13	12	adantr 276	. . 3 |- ( ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) /\ z C_ { (/) } ) -> DECID z = { (/) } )
14	13	exmid1dc 4296	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> EXMID )
15	9, 14	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673  EXMIDwem 4290   Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-exmid 4291  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by: (None)