ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfidc Unicode version

Theorem ssfidc 6823
Description: A subset of a finite set is finite if membership in the subset is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
ssfidc  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  B  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem ssfidc
StepHypRef Expression
1 dfss1 3280 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  <->  ( A  i^i  B )  =  B )
21biimpi 119 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A  i^i  B )  =  B )
323ad2ant2 1003 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  ( A  i^i  B )  =  B )
4 dfin5 3078 . . 3  |-  ( A  i^i  B )  =  { x  e.  A  |  x  e.  B }
5 simp1 981 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  A  e.  Fin )
6 simp3 983 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
)
75, 6ssfirab 6822 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  { x  e.  A  |  x  e.  B }  e.  Fin )
84, 7eqeltrid 2226 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  ( A  i^i  B )  e. 
Fin )
93, 8eqeltrrd 2217 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4  DECID wdc 819    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420    i^i cin 3070    C_ wss 3071   Fincfn 6634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637
This theorem is referenced by:  fisumss  11168
  Copyright terms: Public domain W3C validator