Theorem ssfidc 6912

Description: A subset of a finite set is finite if membership in the subset is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ssfidc	|- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> B e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssfidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss1 3331	. . . 4 |- ( B C_ A <-> ( A i^i B ) = B )
2	1	biimpi 119	. . 3 |- ( B C_ A -> ( A i^i B ) = B )
3	2	3ad2ant2 1014	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) = B )
4		dfin5 3128	. . 3 |- ( A i^i B ) = { x e. A | x e. B }
5		simp1 992	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A e. Fin )
6		simp3 994	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A. x e. A DECID x e. B )
7	5, 6	ssfirab 6911	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> { x e. A | x e. B } e. Fin )
8	4, 7	eqeltrid 2257	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
9	3, 8	eqeltrrd 2248	1 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   i^i cin 3120   C_ wss 3121   Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by:  fisumss  11355  fprodssdc  11553  eulerthlemfi  12182  phisum  12194  sumhashdc  12299  1arith  12319