ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssfidc Unicode version

Theorem ssfidc 6791
Description: A subset of a finite set is finite if membership in the subset is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
ssfidc  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  B  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem ssfidc
StepHypRef Expression
1 dfss1 3250 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  <->  ( A  i^i  B )  =  B )
21biimpi 119 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A  i^i  B )  =  B )
323ad2ant2 988 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  ( A  i^i  B )  =  B )
4 dfin5 3048 . . 3  |-  ( A  i^i  B )  =  { x  e.  A  |  x  e.  B }
5 simp1 966 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  A  e.  Fin )
6 simp3 968 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
)
75, 6ssfirab 6790 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  { x  e.  A  |  x  e.  B }  e.  Fin )
84, 7eqeltrid 2204 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  ( A  i^i  B )  e. 
Fin )
93, 8eqeltrrd 2195 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4  DECID wdc 804    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   {crab 2397    i^i cin 3040    C_ wss 3041   Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-1o 6281  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605
This theorem is referenced by:  fisumss  11129
  Copyright terms: Public domain W3C validator