Theorem ssfidc 6993

Description: A subset of a finite set is finite if membership in the subset is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ssfidc	|- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> B e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssfidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss1 3364	. . . 4 |- ( B C_ A <-> ( A i^i B ) = B )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- ( B C_ A -> ( A i^i B ) = B )
3	2	3ad2ant2 1021	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) = B )
4		dfin5 3161	. . 3 |- ( A i^i B ) = { x e. A | x e. B }
5		simp1 999	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A e. Fin )
6		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A. x e. A DECID x e. B )
7	5, 6	ssfirab 6992	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> { x e. A | x e. B } e. Fin )
8	4, 7	eqeltrid 2280	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
9	3, 8	eqeltrrd 2271	1 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   i^i cin 3153   C_ wss 3154   Fincfn 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799

This theorem is referenced by:  opabfi  6994  infidc  6995  fisumss  11538  fprodssdc  11736  eulerthlemfi  12369  phisum  12381  sumhashdc  12488  1arith  12508  4sqlemafi  12536