Theorem ssfiexmidt 7132

Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ssfiexmidt	|- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ssfiexmidt

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 4300	. . . 4 |- { (/) } e. _V
2		eleq1 2295	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( x e. Fin <-> { (/) } e. Fin ) )
3		sseq2 3261	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( y C_ x <-> y C_ { (/) } ) )
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( x = { (/) } -> ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) ) )
5	4	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( x = { (/) } -> ( ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
6	5	albidv 1873	. . . 4 |- ( x = { (/) } -> ( A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) <-> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
7	1, 6	spcv 2910	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) )
8		0ex 4236	. . . . 5 |- (/) e. _V
9		snfig 7055	. . . . 5 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 |- { (/) } e. Fin
11		ssrab2 3322	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
12	10, 11	pm3.2i 272	. . 3 |- ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } )
13	1	rabex 4255	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } e. _V
14		sseq1 3260	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y C_ { (/) } <-> { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) )
15	14	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) ) )
16		eleq1 2295	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. Fin <-> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
17	15, 16	imbi12d 234	. . . 4 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) ) )
18	13, 17	spcv 2910	. . 3 |- ( A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) -> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
19	7, 12, 18	mpisyl 1492	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin )
20	19	ssfilemd 7131	1 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   _Vcvv 2812   C_ wss 3210   (/)c0 3507   {csn 3688   Fincfn 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-fin 6977

This theorem is referenced by:  exmidssfi  7198