Theorem ssfiexmidt 7174

Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ssfiexmidt	|- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ssfiexmidt

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 4323	. . . 4 |- { (/) } e. _V
2		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( x e. Fin <-> { (/) } e. Fin ) )
3		sseq2 3272	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( y C_ x <-> y C_ { (/) } ) )
4	2, 3	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( x = { (/) } -> ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) ) )
5	4	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( x = { (/) } -> ( ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
6	5	albidv 1877	. . . 4 |- ( x = { (/) } -> ( A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) <-> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
7	1, 6	spcv 2919	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) )
8		0ex 4258	. . . . 5 |- (/) e. _V
9		snfig 7097	. . . . 5 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 |- { (/) } e. Fin
11		ssrab2 3333	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
12	10, 11	pm3.2i 272	. . 3 |- ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } )
13	1	rabex 4278	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } e. _V
14		sseq1 3271	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y C_ { (/) } <-> { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) )
15	14	anbi2d 468	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) ) )
16		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. Fin <-> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
17	15, 16	imbi12d 234	. . . 4 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) ) )
18	13, 17	spcv 2919	. . 3 |- ( A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) -> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
19	7, 12, 18	mpisyl 1496	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin )
20	19	ssfilemd 7173	1 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3708   Fincfn 7016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019

This theorem is referenced by:  exmidssfi  7240