Theorem ssfiexmidt 7135

Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ssfiexmidt	|- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ssfiexmidt

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 4303	. . . 4 |- { (/) } e. _V
2		eleq1 2297	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( x e. Fin <-> { (/) } e. Fin ) )
3		sseq2 3264	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( y C_ x <-> y C_ { (/) } ) )
4	2, 3	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( x = { (/) } -> ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) ) )
5	4	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( x = { (/) } -> ( ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
6	5	albidv 1873	. . . 4 |- ( x = { (/) } -> ( A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) <-> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) ) )
7	1, 6	spcv 2913	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) )
8		0ex 4239	. . . . 5 |- (/) e. _V
9		snfig 7058	. . . . 5 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 |- { (/) } e. Fin
11		ssrab2 3325	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
12	10, 11	pm3.2i 272	. . 3 |- ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } )
13	1	rabex 4258	. . . 4 |- { z e. { (/) } | ph } e. _V
14		sseq1 3263	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y C_ { (/) } <-> { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) )
15	14	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) <-> ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) ) )
16		eleq1 2297	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. Fin <-> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
17	15, 16	imbi12d 234	. . . 4 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) <-> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) ) )
18	13, 17	spcv 2913	. . 3 |- ( A. y ( ( { (/) } e. Fin /\ y C_ { (/) } ) -> y e. Fin ) -> ( ( { (/) } e. Fin /\ { z e. { (/) } | ph } C_ { (/) } ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin ) )
19	7, 12, 18	mpisyl 1492	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> { z e. { (/) } | ph } e. Fin )
20	19	ssfilemd 7134	1 |- ( A. x A. y ( ( x e. Fin /\ y C_ x ) -> y e. Fin ) -> ( ph \/ -. ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2205   {crab 2526   _Vcvv 2815   C_ wss 3213   (/)c0 3510   {csn 3691   Fincfn 6977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-fin 6980

This theorem is referenced by:  exmidssfi  7201