Theorem exmidssfi 7201

Description: Excluded middle is equivalent to any subset of a finite set being finite. Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
exmidssfi	⊢ (EXMID ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem exmidssfi

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 531	. . . . 5 ⊢ ((EXMID ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ Fin)
2		simprr 533	. . . . 5 ⊢ ((EXMID ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
3		exmidexmid 4311	. . . . . . 7 ⊢ (EXMID → DECID 𝑤 ∈ 𝑦)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((EXMID ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → DECID 𝑤 ∈ 𝑦)
5	4	ralrimivw 2618	. . . . 5 ⊢ ((EXMID ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ∀𝑤 ∈ 𝑥 DECID 𝑤 ∈ 𝑦)
6		ssfidc 7200	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑥 DECID 𝑤 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ Fin)
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((EXMID ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ Fin)
8	7	ex 115	. . 3 ⊢ (EXMID → ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin))
9	8	alrimivv 1924	. 2 ⊢ (EXMID → ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin))
10		ssfiexmidt 7135	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → (𝑧 = {∅} ∨ ¬ 𝑧 = {∅}))
11		df-dc 843	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑧 = {∅} ↔ (𝑧 = {∅} ∨ ¬ 𝑧 = {∅}))
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → DECID 𝑧 = {∅})
13	12	adantr 276	. . 3 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) → DECID 𝑧 = {∅})
14	13	exmid1dc 4315	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → EXMID)
15	9, 14	impbii 126	1 ⊢ (EXMID ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842  ∀wal 1396   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ⊆ wss 3213  ∅c0 3510  {csn 3691  EXMIDwem 4309  Fincfn 6977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-exmid 4310  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-fin 6980

This theorem is referenced by: (None)