Theorem exmidssfi 7131

Description: Excluded middle is equivalent to any subset of a finite set being finite. Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2026.)

Assertion

Ref	Expression
exmidssfi	⊢ (EXMID ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem exmidssfi

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 531	. . . . 5 ⊢ ((EXMID ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ∈ Fin)
2		simprr 533	. . . . 5 ⊢ ((EXMID ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
3		exmidexmid 4286	. . . . . . 7 ⊢ (EXMID → DECID 𝑤 ∈ 𝑦)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((EXMID ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → DECID 𝑤 ∈ 𝑦)
5	4	ralrimivw 2606	. . . . 5 ⊢ ((EXMID ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → ∀𝑤 ∈ 𝑥 DECID 𝑤 ∈ 𝑦)
6		ssfidc 7130	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑥 DECID 𝑤 ∈ 𝑦) → 𝑦 ∈ Fin)
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ ((EXMID ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ Fin)
8	7	ex 115	. . 3 ⊢ (EXMID → ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin))
9	8	alrimivv 1923	. 2 ⊢ (EXMID → ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin))
10		ssfiexmidt 7065	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → (𝑧 = {∅} ∨ ¬ 𝑧 = {∅}))
11		df-dc 842	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑧 = {∅} ↔ (𝑧 = {∅} ∨ ¬ 𝑧 = {∅}))
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → DECID 𝑧 = {∅})
13	12	adantr 276	. . 3 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) → DECID 𝑧 = {∅})
14	13	exmid1dc 4290	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin) → EXMID)
15	9, 14	impbii 126	1 ⊢ (EXMID ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841  ∀wal 1395   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  {csn 3669  EXMIDwem 4284  Fincfn 6909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-exmid 4285  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912

This theorem is referenced by: (None)