ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1oen2g GIF version

Theorem f1oen2g 6526
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. This variation of f1oeng 6528 does not require the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1oen2g ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oen2g
StepHypRef Expression
1 f1of 5266 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2 fex2 5192 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐹 ∈ V)
31, 2syl3an1 1208 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐹 ∈ V)
433coml 1151 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹 ∈ V)
5 simp3 946 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
6 f1oen3g 6525 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
74, 5, 6syl2anc 404 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 925  wcel 1439  Vcvv 2620   class class class wbr 3851  wf 5024  1-1-ontowf1o 5027  cen 6509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-en 6512
This theorem is referenced by:  f1oeng  6528  enrefg  6535  en2d  6539  en3d  6540  ener  6550  f1imaen2g  6564  cnven  6579  xpcomen  6597  xpfi  6694  nnenom  9895
  Copyright terms: Public domain W3C validator