Theorem f1oen2g 6649

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. This variation of f1oeng 6651 does not require the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1oen2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of 5367	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fex2 5291	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)
3	1, 2	syl3an1 1249	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)
4	3	3coml 1188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹 ∈ V)
5		simp3 983	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
6		f1oen3g 6648	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
7	4, 5, 6	syl2anc 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   class class class wbr 3929  ⟶wf 5119  –1-1-onto→wf1o 5122   ≈ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-en 6635

This theorem is referenced by:  f1oeng  6651  enrefg  6658  en2d  6662  en3d  6663  ener  6673  f1imaen2g  6687  cnven  6702  xpcomen  6721  xpfi  6818  nnenom  10207