Theorem ficardon 7393

Description: The cardinal number of a finite set is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ficardon	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ On)

Proof of Theorem ficardon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6934	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		omsson 4711	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ On
3		ssrexv 3292	. . . . 5 ⊢ (ω ⊆ On → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥)
5	1, 4	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥)
6		ensymb 6954	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 𝐴)
7	6	rexbii 2539	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴)
8	5, 7	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴)
9		cardcl 7385	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴 → (card‘𝐴) ∈ On)
10	8, 9	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088  Oncon0 4460  ωcom 4688  ‘cfv 5326   ≈ cen 6907  Fincfn 6909  cardccrd 7381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-card 7383

This theorem is referenced by: (None)