Theorem ficardon 7369

Description: The cardinal number of a finite set is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ficardon	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ On)

Proof of Theorem ficardon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6920	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		omsson 4705	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ On
3		ssrexv 3289	. . . . 5 ⊢ (ω ⊆ On → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥)
5	1, 4	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥)
6		ensymb 6940	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 𝐴)
7	6	rexbii 2537	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴)
8	5, 7	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴)
9		cardcl 7361	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴 → (card‘𝐴) ∈ On)
10	8, 9	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083  Oncon0 4454  ωcom 4682  ‘cfv 5318   ≈ cen 6893  Fincfn 6895  cardccrd 7357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898  df-card 7359

This theorem is referenced by: (None)