Theorem ficardon 7329

Description: The cardinal number of a finite set is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ficardon	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ On)

Proof of Theorem ficardon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6882	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		omsson 4682	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ On
3		ssrexv 3269	. . . . 5 ⊢ (ω ⊆ On → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥)
5	1, 4	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥)
6		ensymb 6902	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 𝐴)
7	6	rexbii 2517	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴)
8	5, 7	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴)
9		cardcl 7321	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴 → (card‘𝐴) ∈ On)
10	8, 9	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2180  ∃wrex 2489   ⊆ wss 3177   class class class wbr 4062  Oncon0 4431  ωcom 4659  ‘cfv 5294   ≈ cen 6855  Fincfn 6857  cardccrd 7317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-er 6650  df-en 6858  df-fin 6860  df-card 7319

This theorem is referenced by: (None)