Theorem ficardon 7498

Description: The cardinal number of a finite set is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ficardon	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ On)

Proof of Theorem ficardon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7013	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		omsson 4740	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ On
3		ssrexv 3307	. . . . 5 ⊢ (ω ⊆ On → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥)
5	1, 4	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥)
6		ensymb 7033	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 𝐴)
7	6	rexbii 2551	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴)
8	5, 7	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴)
9		cardcl 7490	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴 → (card‘𝐴) ∈ On)
10	8, 9	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114  Oncon0 4489  ωcom 4717  ‘cfv 5357   ≈ cen 6986  Fincfn 6988  cardccrd 7486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-card 7488

This theorem is referenced by: (None)