Theorem ficardon 7398

Description: The cardinal number of a finite set is an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ficardon	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ On)

Proof of Theorem ficardon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6939	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		omsson 4713	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ On
3		ssrexv 3291	. . . . 5 ⊢ (ω ⊆ On → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥)
5	1, 4	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥)
6		ensymb 6959	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 𝐴)
7	6	rexbii 2538	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴)
8	5, 7	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴)
9		cardcl 7390	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴 → (card‘𝐴) ∈ On)
10	8, 9	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2201  ∃wrex 2510   ⊆ wss 3199   class class class wbr 4089  Oncon0 4462  ωcom 4690  ‘cfv 5328   ≈ cen 6912  Fincfn 6914  cardccrd 7386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-er 6707  df-en 6915  df-fin 6917  df-card 7388

This theorem is referenced by: (None)