Theorem fidifsnid 7177

Description: If we remove a single element from a finite set then put it back in, we end up with the original finite set. This strengthens difsnss 3861 from subset to equality when the set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fidifsnid	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)

Proof of Theorem fidifsnid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 7175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 = 𝑦)
2	1	3expb 1235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → DECID 𝑥 = 𝑦)
3	2	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
4		dcdifsnid 6781	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
5	3, 4	sylan 283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218  {csn 3709  Fincfn 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-en 7027  df-fin 7029

This theorem is used by:  findcard2  7197  findcard2s  7198  xpfi  7243  fisseneq  7246  zfz1isolem1  11314