Theorem fo1st 6210

Description: The 1st function maps the universe onto the universe. (Contributed by NM, 14-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fo1st	|- 1st : _V -onto-> _V

Proof of Theorem fo1st

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2763	. . . . . 6 |- x e. _V
2	1	snex 4214	. . . . 5 |- { x } e. _V
3	2	dmex 4928	. . . 4 |- dom { x } e. _V
4	3	uniex 4468	. . 3 |- U. dom { x } e. _V
5		df-1st 6193	. . 3 |- 1st = ( x e. _V |-> U. dom { x } )
6	4, 5	fnmpti 5382	. 2 |- 1st Fn _V
7	5	rnmpt 4910	. . 3 |- ran 1st = { y | E. x e. _V y = U. dom { x } }
8		vex 2763	. . . . 5 |- y e. _V
9	8, 8	opex 4258	. . . . . 6 |- <. y , y >. e. _V
10	8, 8	op1sta 5147	. . . . . . 7 |- U. dom { <. y , y >. } = y
11	10	eqcomi 2197	. . . . . 6 |- y = U. dom { <. y , y >. }
12		sneq 3629	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. y , y >. -> { x } = { <. y , y >. } )
13	12	dmeqd 4864	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. y , y >. -> dom { x } = dom { <. y , y >. } )
14	13	unieqd 3846	. . . . . . . 8 |- ( x = <. y , y >. -> U. dom { x } = U. dom { <. y , y >. } )
15	14	eqeq2d 2205	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , y >. -> ( y = U. dom { x } <-> y = U. dom { <. y , y >. } ) )
16	15	rspcev 2864	. . . . . 6 |- ( ( <. y , y >. e. _V /\ y = U. dom { <. y , y >. } ) -> E. x e. _V y = U. dom { x } )
17	9, 11, 16	mp2an 426	. . . . 5 |- E. x e. _V y = U. dom { x }
18	8, 17	2th 174	. . . 4 |- ( y e. _V <-> E. x e. _V y = U. dom { x } )
19	18	abbi2i 2308	. . 3 |- _V = { y | E. x e. _V y = U. dom { x } }
20	7, 19	eqtr4i 2217	. 2 |- ran 1st = _V
21		df-fo 5260	. 2 |- ( 1st : _V -onto-> _V <-> ( 1st Fn _V /\ ran 1st = _V ) )
22	6, 20, 21	mpbir2an 944	1 |- 1st : _V -onto-> _V

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   {csn 3618   <.cop 3621   U.cuni 3835   dom cdm 4659   ran crn 4660   Fn wfn 5249   -onto->wfo 5252   1stc1st 6191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fo 5260  df-1st 6193

This theorem is referenced by:  1stcof  6216  1stexg  6220  df1st2  6272  1stconst  6274  algrflem  6282  algrflemg  6283  suplocexprlemell  7773  suplocexprlem2b  7774  suplocexprlemlub  7784  upxp  14440  uptx  14442  cnmpt1st  14456