Theorem fo1st 6215

Description: The 1st function maps the universe onto the universe. (Contributed by NM, 14-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fo1st	|- 1st : _V -onto-> _V

Proof of Theorem fo1st

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . . . . 6 |- x e. _V
2	1	snex 4218	. . . . 5 |- { x } e. _V
3	2	dmex 4932	. . . 4 |- dom { x } e. _V
4	3	uniex 4472	. . 3 |- U. dom { x } e. _V
5		df-1st 6198	. . 3 |- 1st = ( x e. _V |-> U. dom { x } )
6	4, 5	fnmpti 5386	. 2 |- 1st Fn _V
7	5	rnmpt 4914	. . 3 |- ran 1st = { y | E. x e. _V y = U. dom { x } }
8		vex 2766	. . . . 5 |- y e. _V
9	8, 8	opex 4262	. . . . . 6 |- <. y , y >. e. _V
10	8, 8	op1sta 5151	. . . . . . 7 |- U. dom { <. y , y >. } = y
11	10	eqcomi 2200	. . . . . 6 |- y = U. dom { <. y , y >. }
12		sneq 3633	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. y , y >. -> { x } = { <. y , y >. } )
13	12	dmeqd 4868	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. y , y >. -> dom { x } = dom { <. y , y >. } )
14	13	unieqd 3850	. . . . . . . 8 |- ( x = <. y , y >. -> U. dom { x } = U. dom { <. y , y >. } )
15	14	eqeq2d 2208	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , y >. -> ( y = U. dom { x } <-> y = U. dom { <. y , y >. } ) )
16	15	rspcev 2868	. . . . . 6 |- ( ( <. y , y >. e. _V /\ y = U. dom { <. y , y >. } ) -> E. x e. _V y = U. dom { x } )
17	9, 11, 16	mp2an 426	. . . . 5 |- E. x e. _V y = U. dom { x }
18	8, 17	2th 174	. . . 4 |- ( y e. _V <-> E. x e. _V y = U. dom { x } )
19	18	abbi2i 2311	. . 3 |- _V = { y | E. x e. _V y = U. dom { x } }
20	7, 19	eqtr4i 2220	. 2 |- ran 1st = _V
21		df-fo 5264	. 2 |- ( 1st : _V -onto-> _V <-> ( 1st Fn _V /\ ran 1st = _V ) )
22	6, 20, 21	mpbir2an 944	1 |- 1st : _V -onto-> _V

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   {csn 3622   <.cop 3625   U.cuni 3839   dom cdm 4663   ran crn 4664   Fn wfn 5253   -onto->wfo 5256   1stc1st 6196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fo 5264  df-1st 6198

This theorem is referenced by:  1stcof  6221  1stexg  6225  df1st2  6277  1stconst  6279  algrflem  6287  algrflemg  6288  suplocexprlemell  7780  suplocexprlem2b  7781  suplocexprlemlub  7791  upxp  14508  uptx  14510  cnmpt1st  14524