Theorem fo1st 6099

Description: The 1st function maps the universe onto the universe. (Contributed by NM, 14-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fo1st	|- 1st : _V -onto-> _V

Proof of Theorem fo1st

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2715	. . . . . 6 |- x e. _V
2	1	snex 4145	. . . . 5 |- { x } e. _V
3	2	dmex 4849	. . . 4 |- dom { x } e. _V
4	3	uniex 4396	. . 3 |- U. dom { x } e. _V
5		df-1st 6082	. . 3 |- 1st = ( x e. _V |-> U. dom { x } )
6	4, 5	fnmpti 5295	. 2 |- 1st Fn _V
7	5	rnmpt 4831	. . 3 |- ran 1st = { y | E. x e. _V y = U. dom { x } }
8		vex 2715	. . . . 5 |- y e. _V
9	8, 8	opex 4188	. . . . . 6 |- <. y , y >. e. _V
10	8, 8	op1sta 5064	. . . . . . 7 |- U. dom { <. y , y >. } = y
11	10	eqcomi 2161	. . . . . 6 |- y = U. dom { <. y , y >. }
12		sneq 3571	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. y , y >. -> { x } = { <. y , y >. } )
13	12	dmeqd 4785	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. y , y >. -> dom { x } = dom { <. y , y >. } )
14	13	unieqd 3783	. . . . . . . 8 |- ( x = <. y , y >. -> U. dom { x } = U. dom { <. y , y >. } )
15	14	eqeq2d 2169	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , y >. -> ( y = U. dom { x } <-> y = U. dom { <. y , y >. } ) )
16	15	rspcev 2816	. . . . . 6 |- ( ( <. y , y >. e. _V /\ y = U. dom { <. y , y >. } ) -> E. x e. _V y = U. dom { x } )
17	9, 11, 16	mp2an 423	. . . . 5 |- E. x e. _V y = U. dom { x }
18	8, 17	2th 173	. . . 4 |- ( y e. _V <-> E. x e. _V y = U. dom { x } )
19	18	abbi2i 2272	. . 3 |- _V = { y | E. x e. _V y = U. dom { x } }
20	7, 19	eqtr4i 2181	. 2 |- ran 1st = _V
21		df-fo 5173	. 2 |- ( 1st : _V -onto-> _V <-> ( 1st Fn _V /\ ran 1st = _V ) )
22	6, 20, 21	mpbir2an 927	1 |- 1st : _V -onto-> _V

Syntax hints:   = wceq 1335   e. wcel 2128   {cab 2143   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   {csn 3560   <.cop 3563   U.cuni 3772   dom cdm 4583   ran crn 4584   Fn wfn 5162   -onto->wfo 5165   1stc1st 6080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-fun 5169  df-fn 5170  df-fo 5173  df-1st 6082

This theorem is referenced by:  1stcof  6105  1stexg  6109  df1st2  6160  1stconst  6162  algrflem  6170  algrflemg  6171  suplocexprlemell  7616  suplocexprlem2b  7617  suplocexprlemlub  7627  upxp  12632  uptx  12634  cnmpt1st  12648