Theorem oeiexg 6688

Description: Ordinal exponentiation is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oeiexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ↑o B ) e. _V )

Proof of Theorem oeiexg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2818	. . . 4 |- y e. _V
2		1on 6656	. . . . . 6 |- 1o e. On
3	2	elexi 2828	. . . . 5 |- 1o e. _V
4		vex 2818	. . . . . . 7 |- z e. _V
5		vex 2818	. . . . . . 7 |- x e. _V
6		omexg 6686	. . . . . . 7 |- ( ( z e. _V /\ x e. _V ) -> ( z .o x ) e. _V )
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( z .o x ) e. _V
8		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) = ( z e. _V |-> ( z .o x ) )
9	7, 8	fnmpti 5489	. . . . 5 |- ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) Fn _V
10	3, 9	rdgexg 6622	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V )
11	1, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V
12	11	gen2 1499	. 2 |- A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V
13		df-oexpi 6655	. . 3 |- ↑o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) )
14	13	mpofvex 6403	. 2 |- ( ( A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( A ↑o B ) e. _V )
15	12, 14	mp3an1 1361	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ↑o B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1396   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   |-> cmpt 4173   Oncon0 4486   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   reccrdg 6602   1oc1o 6642   .o comu 6647   ↑_o coei 6648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-oexpi 6655

This theorem is referenced by: (None)