Theorem oeiexg 6716

Description: Ordinal exponentiation is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oeiexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ↑o B ) e. _V )

Proof of Theorem oeiexg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . 4 |- y e. _V
2		1on 6684	. . . . . 6 |- 1o e. On
3	2	elexi 2834	. . . . 5 |- 1o e. _V
4		vex 2824	. . . . . . 7 |- z e. _V
5		vex 2824	. . . . . . 7 |- x e. _V
6		omexg 6714	. . . . . . 7 |- ( ( z e. _V /\ x e. _V ) -> ( z .o x ) e. _V )
7	4, 5, 6	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( z .o x ) e. _V
8		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) = ( z e. _V |-> ( z .o x ) )
9	7, 8	fnmpti 5507	. . . . 5 |- ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) Fn _V
10	3, 9	rdgexg 6650	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V )
11	1, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V
12	11	gen2 1503	. 2 |- A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V
13		df-oexpi 6683	. . 3 |- ↑o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) )
14	13	mpofvex 6431	. 2 |- ( ( A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> ( z .o x ) ) , 1o ) ` y ) e. _V /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( A ↑o B ) e. _V )
15	12, 14	mp3an1 1365	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ↑o B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1400   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4187   Oncon0 4503   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   reccrdg 6630   1oc1o 6670   .o comu 6675   ↑_o coei 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-oexpi 6683

This theorem is referenced by: (None)